零极点配置自校正

Bm ( z 1 ) z d E ( z 1 ) （2.6.13） 1 1 1 E ( z ) C ( z ) R ( z ) ，那么闭环系统方程为 如果选择
y (k ) R( z 1 ) (k d ) F ( z 1 ) (k ) （2.6.14）
显然，（2.6.14）与用最小方差控制律得到的闭环系统方差 相同。这也说明对随机系统实现极点配置时，给定极点配置多 项式为什么要选择为 C ( z 1 ) R ( z 1 ) ，而不像确定性系统那样选为 T ( z 1 )的原因。此外，由（2.6.11）可看出：为了消除跟踪误差 1 必须合理的选择 E ( z ) ，下面介绍两种消除跟踪误差的方法。
§2.6零极点配置自校正控制器
前面介绍的隐式和显式自校正控制器都是基于最优控制 策略设计的，它们要求被控系统的时延已知且不变化，而且性 能指标中加权多项式的选择也比较费事。实际上许多被控系统 往往是非最小相位系统，且其时延是未知、变化的。处理这类 被控系统的有效控制方法是采用零极点配置策略，它是一种经 典的控制系统设计综合方法，其中心思想是将闭环系统的极点 配置到设计者预先规定的位置上。众所周知，对于线性定常系 统来说，闭环系统的极点分布决定着系统的稳定性。零极点的 分布与系统的控制性能，如上升时间、超调量、震荡次数和建 立时间等密切相关，因此进行闭环零极点配置，易于将零极点 位置与系统的动态响应联系起来，易于被人们掌握。此外，通 过特殊的零极点配置，还可导出最小方差控制律或广义最小方 差控制律。
1 1 1 G ( z ), H ( z ), E ( z ) 的多项式后，即可按（2.6.2）式 求得 计算对消所有过程零点的零极点配置控制律。
2.保留所有过程零点 当被控系统有过程零点在单位圆外时，可采用保留过程全部 零点的零极点配置算法，这时的极点配置（2.6.9）是应写成 A(z1)H(z1) B(z1)G(z1) C(z1)T (z1) deg H nb 1, deg G na 1, deg T na nb nc 1 由于A( z 1 ) 与 B( z 1 ) 互质，上式一定有解。
E


1/ H
B/ A


yHale Waihona Puke Baiduk )
G
图2.6.1 零极点配置控制器结构框图
闭环系统方程可由（2.6.2）式求出 u (k ) 再代入(2.6.1)即
[ A( z 1 ) H ( z 1 ) B( z 1 )G ( z 1 )] y ( k ) B( z 1 ) E ( z 1 ) (k ) H ( z 1 )C ( z 1 ) (k )
E (1) C (1)T (1) / B (1)
(2.6.25)
1 1 1 G ( z ), H ( z ), E ( z ) 等多项式后，即可按（2.6.2） 求得
计算保留所有过程零点的零极点配置控制律。本算法可适用于 非最小相位系统。
3.保留所有开环系统的极点 当被控系统开环稳定，即 的全部零点在Z平面的单位 1 圆内时，则可将 A( z ) 的所有零点作为闭环系统的一部分极 点处理。首先选择 G ( z 1 )为 G ( z 1 ) A( z 1 )G1 ( z 1 ) （2.6.26） 极点配置方程（2.6.9）变为 A(z1)H(z1) B(z1) A(z1)G1(z1) C(z1)T (z1) 如选择 T ( z 1 )为 A( z 1 ) ，则上式可改写为 H ( z 1 ) B( z 1 )G1 ( z 1 ) C ( z 1 ) deg H max(nb 1, nc 1), deg G1 0 （2.6.28） （2.6.29） （2.6.27）
deg T deg A deg B deg C 1, deg E deg Bm deg B
因此闭环系统方程（2.6.3）可写成
B ( z 1 ) E ( z 1 ) H ( z 1 ) y (k ) (k ) (k ) 1 1 1 C ( z )T ( z ) T (z )
计算保留所有过程零点的零极点配置控制律。本算法可适用于 非最小相位系统。
3.6.2
零极点配置自校正控制器
当被控系统的参数未知或慢时变时，就需应用递推估计算 法在先辨识参数。下面分别就显式和隐式两类零极点配置自校 正算法进行讨论。 一、显式零极点配置自校正控制算法 上面讨论的几种零极点配置控制器，当系统参数未知时，均可 直接引入在线辨识原系统模型参数实现显式零极点配置自校正 控制。下面分别给出各类显式算法的计算步骤。
H ( z 1 )u (k ) E ( z 1 ) (k ) G ( z 1 ) y (k )
（2.6.2）
式中 H ( z 1 ), G ( z 1 ), E ( z 1 ) 为 z 1 多项式，其系数待定。控制器 结构图如图2.6.1所示。
(k )
C/A
(k )
（2.6.5）
1 B ( z ) 分解 假设系统为非最小相位系统，则需将
B( z 1 ) B ( z 1 ) B ( z 1 )
（2.6.6）
式中 B ( z 1 )为稳定零点，B ( z 1 ) 为不稳定零点，令 H ( z 1 ) H1 ( z 1 ) B ( z 1 ) 则（2.6.5）式可化简为 B ( z 1 ) E ( z 1 ) Bm ( z 1 ) 1 1 1 1 A( z ) H1 ( z ) B ( z )G ( z ) C ( z 1 )T ( z 1 ) （2.6.8） （2.6.7）
H1 ( z 1 )和 G ( z 1 )有唯 因 A(z1) 与 z d 互质，在上述介次配合下， 一解。
控制器参数 E(z1)的选取原则与零极点配置控制器同。当引 入积分器是。
E (1) G (1)
当不引人积分器时
(2.6.19)
E (1) C (1)T (1)
(2.6.20)
(2) 不引入积分器 由（2.6.11）式知为使 y (k ) 与 (k )之间的传递函数的稳 1 E ( z )必须取为 态值为1， E (1) C (1)T (1) / B (1) (2.6.16)
通过（2.6.6）（2.6.7）和（2.6.9）式解得 G(z1), H(z1) ， deg G na , deg H1 n ，并利用（ 2.6.15）或（2.6.14）求得 E ( z 1 ) b 后，即可由（2.6.2）式计算零极点配置控制律。 上述零极点配置控制算法可适用于开环不稳的非最小相位 系统，但要求分解 B( z 1 ) 为 B ( z 1 ) 和 B ( z 1 ) ，在自适应情况下不 易在线实现。下面介绍三种不用分解的零极点配置算法。
控制的目标是将闭环系统的零极点配置到理想位置，使
Bm ( z 1 ) 输出 y (k )与参考输入 ( k ) 之间的传递函数为 ， 1 1 C ( z )T ( z )
1 T ( z 1 )是首 这里在极点中加进 C ( z ) 是为了抑制随机干扰噪声， 1的稳定多项式，其零点是理想的闭环系统极点，且有 Bm ( z 1 ) 与 T ( z 1 ) 互质。采用下列控制器方程
1.对消所有过程零点 当被控系统是最小相位系统时，即 B( z 1 ) 的全部零点在z平面 单位圆内，B( z 1 ) 就是 B ( z 1 ) 。假定系统的时延为 z d，那么 H ( z 1 ) z d H1 ( z 1 ) B( z 1 ) 。于是极点配置方程（2.6.9）变为 A( z 1 ) H1 ( z 1 ) z d G ( z 1 ) C ( z 1 )T ( z 1 ) deg H1 d 1, deg G na 1, deg T na d nc 1 （2.6.17） （2.6.18）
(1) 引入积分器 为了引入积分器选择H ( z 1 )使 H (1) 0 ，即取(1 z 1 ) H1 ( z 1 ) 则由（2.6.8）和（2.6.11）式知：为了使 y(k )和 (k )之间的 传递函数稳态时为1，E ( z 1 ) 必须取为
E (1) G (1)
（2.6.15）
A( z 1 )
E ( z 1 ) 的选择为 引入积分器时，
H (1) 0
E (1) G (1) G1 (1) A(1)
不引入积分器时， E (1) C (1) A(1) / B(1)
（2.6.30） （2.6.31） （2.6.32）
1 1 1 G ( z ), H ( z ), E ( z ) 等多项式后，即可按（2.6.2） 求得
1 控制器参数 E ( z )可根据下列两种情况确定 (1)引入积分器时
（2.6.21） （2.6.22）
E (1) G (1)
（2.6.23）
此时要求
H (1) 0
(2.6.24)
将（2.6.24）作为（2.6.21）的约束条件，并取得 deg H nb , deg G na ，在求解 H ( z 1 ) 和 G ( z 1 )。 （2）不加积分器时
3.6.1 零极点配置控制器 设被控系统的数学模型为 A( z 1 ) y (k ) B( z 1 )u (k ) C ( z 1 ) (k ) 其中 (2.6.1)
B( z 1 ) b1 z 1 bi z i bnb z nb
如果系统的时延为 d 时，将 bi (i 0,1, , d ) 置为零即可。且 1 假设 A( z ) 和 B ( z 1 )互质，即两者无公因子。
显然闭环极点和零点配置方程分别为 A( z 1 ) H1 ( z 1 ) B ( z 1 )G ( z 1 ) C ( z 1 )T ( z 1 ) （2.6.9 ） （2.6.10）
B ( z 1 ) E ( z 1 ) Bm ( z 1 )
deg H1 deg B 1, deg G deg A 1
（2.6.11）
1 1 从上式可看出：选择 C ( z )T ( z ) 作为闭环系统的极点可 1 C ( z ) ，从而可对随机干扰进行抑制。 对消噪声项系数多项式
对于最小相位系统，这种零极点配置方案，可导出最小方 差控制规律。如系统延时为d，选择 H ( z 1 ) z d F ( z 1 ) B( z 1 ), T ( z 1 ) 1 ，则（2.6.9）和（2.6.10）式变为 （2.6.12） A( z 1 ) F ( z 1 ) z d G ( z 1 ) C ( z 1 )
（2.6.3）
y (k ) 和 ( k ) 之间的传递函数为 从上式中可看出：
B ( z 1 ) E ( z 1 ) A( z 1 ) H ( z 1 ) B( z 1 )G ( z 1 )
它与理想闭环传递函数的关系为
（2.6.4）
B ( z 1 ) E ( z 1 ) Bm ( z 1 ) 1 1 1 1 A( z ) H ( z ) B( z )G ( z ) C ( z 1 )T ( z 1 )