立体几何中的计算

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数学高考综合能力题选讲14

立体几何中的有关计算

题型预测

立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．

范例选讲

例1 长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，

21=AA ，E 是侧棱1BB 中点．

（1）求直线1AA 与平面E D A 11所成角的大小；

（2）求二面角B AC E --1的大小； （3）求三棱锥E D C A 11-的体积．

讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面E D A 11的一条垂线．不难发现，AE 正为所求．

由长方体1111D C B A ABCD -知：1111A ABB A D 面⊥，又11A ABB AE 面⊂，所以，

AE A D ⊥11．

在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，1=AB ，所以，21==E A AE ，所以，AE A 1∆为等腰直角三角形，AE EA ⊥1．

所以，⊥AE 面E D A 11．

所以，AE A 1∠就是直线1AA 与平面E D A 11所成的角，为︒45．

（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一

条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．

A

C

A C 1

注意到11BCC B AB 面⊥，所以，面

E 作

⊥1ABC 11BCC B 面，所以，只需在11BCC B 面内过点1BC EF ⊥于F ，则⊥EF 面1ABC ．

是二

过F 作1AC FG ⊥于G ，连EG ，则EGF ∠就

面角B AC E --1的平面角．

在1EBC ∆中，

5

5

21111

1

=

⋅=

=

∆BC B C EB BC S EF EBC ， 所以，5

5

32211=

-=EF E C F C ．

在1ABC ∆中，10

30

sin 1111=

⋅

=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG ． 在EFG Rt ∆中，3

6

tan ==

∠FG EF EGF ． 所以，二面角B AC E --1的平面角的大小为3

6

arctan

．

（3）要求三棱锥E D C A 11-的体积，注意到（2）中已经求出了点E 到平

面11D AC 的距离EF ．所以，

6

1

613111111111=⋅⋅=⋅==∆--EF CD AD EF S V V D AC D AC E E D C A ．

另一方面，也可以利用等积转化．

因为11//C D AB ，所以，//AB E D C 11面．所以，点A 到平E D C 11面的距离就

等于点B 到平E D C 11面的距离．所以，

6

1

61311111111111111=⋅⋅=⋅===∆---C D B C EB C D S V V V EBC EBC D E D C B E D C A ．

C

A C 1

点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂

线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．

例2 如图：三棱台111C B A ABC -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，︒=∠120ACB ，

a BC a AC 2,==，a C B =11，直线1AB 与1CC 所

成的角等于60°．

（1）求二面角B AC B --1的大小； （2）求点B 到平面AC B 1的距离． 讲解 无论从已知（直线1AB 与

1

CC 所成的角等于60°）的角度还是从所求作

（二面角B AC B --1）的角度，过1

B 1C

C 的平行线都是当然之举．

在平面CB C B 11中，过1B 作

C C

D B 11//交CB 于点D ，连接AD ，则1ADB ∠就是直线1AB 与1CC 所成的角．所以，︒=∠601ADB ．

又因为1CC ⊥底面ABC ，所以，D B 1⊥底面ABC ．

在平面ABC 内过点D 作AC DE ⊥于E ，连E B 1，则AC E B ⊥1，所以，

ED B 1∠就是二面角B AC B --1的平面角．

在ACD ∆中，a CD AC CD AC AD 3120cos 222=︒⋅-+=． 在Rt D AB 1∆中，a AD D B =︒⋅=60cot 1．

在Rt CED ∆中，a CE DE 2

3

60sin =

︒⋅=． A

B

C A

B

C

在Rt D EB 1∆中，3

3

22

3tan 1=

=

∠a a ED B ． 所以，二面角B AC B --1的平面角的大小为：3

3

2arctan

．

（2）由D 为BC 中点，故点B 到平面AC B 1的距离等于点D 到平面AC

B 1的距离的2倍，作E B DH 1⊥于H ．由（1）知ED B A

C 1面⊥，所以，DH AC ⊥，所以，AC B DH 1面⊥，所以，DH 就是点

D 到平面AC B 1的距离．

在Rt D EB 1∆中，a DB DE DB DE EB DB DE DH 7

21

2

1

211

1

=

+⋅=⋅=

．

所以，点B 到平面AC B 1的距离等于

a 7

21

2． 另外，我们也可以用体积法求出这个距离．

设点B 到平面AC B 1的距离为h ．则由=-ACB B V 1

1

ACB B V -及

31163sin 2131311a D B ACB BC AC D B S V ABC ACB B =⋅⎪⎭

⎫

⎝⎛∠⋅⋅⋅=⋅=∆-，

221214

721211a D B ED AC E B AC S ACB =+⋅=⋅=

∆可得： =⋅

=

=

∆-4

763332

3

1

1a a S V h ACB ACB B a 7212．

所以，点B 到平面AC B 1的距离等于a 7

21

2． 点评

等积变形是求体积和求距离时常用的方法．

高考真题

1．（1998年全国高考）已知斜三棱柱ABC －A'B'C'的侧面A'ACC'与底面ABC 垂直,∠ABC ＝︒90,BC ＝2,AC ＝32且AA'⊥A'C,AA'＝A'C.