结构力学第六章 结构位移计算

第六章 结构位移计算
§6-1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移 相对线位移
C

A
FP
A
y

C

C

FP

D
D
D
x
线位移

相对角位移


线位移，角位移，相对线位移、相对角位移等统称广义位移 机械系 董达善 教授
第六章 结构位移计算
t C
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P
t
W P t
第六章 结构位移计算
§2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)
21 22
P2
P1
11
P1 P2
12
12
注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；
已有基础：
1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
kFQ FQds FN FN ds M M P ds P EI EA GA
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第六章 结构位移计算
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI 1 x tan M P dx EI tan xM P dx EI tan 1 xc yc EI EI
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第六章 结构位移计算
§2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功 P 1 W P 2 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
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第六章 结构位移计算
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3) 施工要求
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), (3)理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
q x
a
a
b a a b
b b b
1.利用变形连续性条件计算 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 体系外力 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 相互作用力 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 体系外力功dWe 微段外力功 在刚体位移上的功dWs 分为两部分 相互作用力功dWi 分为两部分 在变形位移上的功dWv 微段外力功 dW= dWe+dWi 微段外力功 dW= dWs+dWv 所有微段的外力功之和: W=∫dWe+∫dWi =∫dWe =δWe 所有微段的外力功之和: W=∫dWv =δWv
A
θ
θ
3
Rd Q ds 1 1 N M NPNi kQ P Q i M P ip [ M 400i ] ds M 1200 EA GA 3 EI PR kPR PR 小曲率杆可利用直杆公式近 ( ) 4 EA 4 GA 4 EI 似计算;轴向变形,剪切变形对位 机械系 董达善 教授 移的影响可略去不计
力状态 （虚力状态） 位移状态 （虚位移状态）
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二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移 例: 1)作虚功的力系为一个集中力 P P
引起结构位移的原因：
荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等 二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
如：
在工程上：吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
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例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
q
A
h b
N i ( x) 0, N P ( x) 0
Qi ( x) 1, QP ( x) q(l x)
M i ( x) x l , M P ( x) q(l x) 2 / 2
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故有δWe=δWv成立。
第六章 结构位移计算
变形体虚功原理的证明: 几个问题: q x
b b b a 1. 虚功原理里存在两个状态： b a a b 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 1.利用变形连续性条件计算 2.利用平衡条件条件计算 条件。因此原理仅是必要性命题。
适用于各种杆件体系(线性,非线性). 机械系 董达善 教授
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§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 ΔK =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
----适用于各种杆件体系(线性,非线性). 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 适用于线弹性 直杆体系,
NP kQP MP P , P , P EA GA EI M PM i N N kQ PQi KP [ P i ]d s EA GA EI
第六章 结构位移计算
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
P B R P=1
QP M P
R
P
NP R PR kPR PR , Q , N 设 : M O 4EI 4GA 4EA 解：构造虚设的力状态如图示 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, NP P, sin G ,N .5 (sin ) M P PR sin , M i R sin i 2 h/ R 1 / 10 E/ 钢砼
百度文库六章 结构位移计算
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移时所作的总虚功δWe，恒等于变 形体所接受的总虚变形功δWv。也即恒有 如下虚功方程成立
δWe =δWv
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变形体虚功原理的证明:
N P N il EA
P
P 0
1 P
1 [( P)(1)a ( P)(1)a EA
NP
0
2P
a 1
2 2 Ni
1
k
Pa 2 P 2 2a] 2(1 2 ) () EA
a
1
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第六章 结构位移计算
§6-5 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
QP P cos , Qi cos
第六章 结构位移计算
KP

M PM i NPNi kQ PQi [ E A G A E I ]d s
在实际计算中，根据结构的具体情况，常常可以只考虑其中的一项（或两项）
1.梁与刚架
ip
4.拱
M PM EI
i

ds
ip
所有微段的外力功之和:
所有微段的外力虚功之和 W 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 体系外力 微段位移分 刚体位移 ab ab 2. 原理的证明表明 : 原理适用于任何 ( 线性和非线性 )的 为两部分 相互作用力 为两部分 变形位移 a b ab 变形体，适用于任何结构。 微段外力功 体系外力功dWe 微段外力功 在刚体位移上的功dWs 分为两部分 相互作用力功dWi 分为两部分 在变形位移上的功dWv 3. 原理可有两种应用： 微段外力功 dW= dWe+dWi 微段外力功 dW= dWs+dWv
2
P 1
2)作虚功的力系为一个集中力偶
W P
M

W M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
P
A B
M
M
P
W P A P B P( A B ) P
W M A M B M ( A B ) M
a
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 所有微段的外力功之和: 将平衡问题化为几何问题来求解——虚位移原理。 W=∫dWv =δWv W=∫dWe+∫dWi =∫dWe =δWe 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解 故有δWe=δWv成立。——虚力原理。 机械系 董达善 教授
结构力学
第六章 结构位移计算
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第六章 结构位移计算
§6-1. §6-2. §6-3. §6-4. §6-5. §6-6. §6-7. §6-8. 结构位移计算概述 变形体虚功原理 单位荷载法 荷载作用下的位移计算 图乘法 温度变化时的位移计算 支座移动时的位移计算 互等定理
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l
P 1 x
4 2 ql qkl q MP 设 Q : , M PM i NPNi kQ P Q i M ip [ ] ds 8EI 2GA EA GA EI Q 4 EIk 3 l q (l x ) k QP 2 q(l x) [ ]dx M M GAl P 1 0 i GA 2 EI A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, 2 4 位移方向是如 qkl ql () h / l 1 / 10 E / G 2.5(钢砼) Q 何确定的 ?, 对于细长杆 ,剪切变形 2GA 8EI i Q 1l x 对位移的贡献与弯曲变 机械系 董达善 教授 形相比可略去不计. M 100
2
1
FN 2
第六章 结构位移计算
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反 力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必 要和充分条件是： 对于任何可能的虚位 移，作用于刚体系的所 有外力所做虚功之和为 零。
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-FP ΔP +FB ΔB=0
ΔP FP ΔB
FAx
FAy
FB
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§6-3 单位荷载法
一.单位荷载法
求k点竖向位移. 由变形体虚功方程:
K
k
P 1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
δW e = δWv δWe =P ΔK δWv =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds ΔK =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
[
M PM EI
i

NPNi ] ds EA
2.桁架
ip

NPNi ds EA N P N il EA
M M EI
P
3.组合结构
ip
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i
ds

N
N il EA
P
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例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移. 解：
kx

A
B
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三、变形杆件的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在某一位 置处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FN1
FP1
→. → Σfi δri=0
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FP 2
m m
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（4）变形体虚功方程的展开式
M 微段外力: N q M dM N dN
Q
ds
Q dQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
ds
微段弯曲
ds 微段剪切
对于直杆体系，有:
δWv =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
δW =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds