1.2随机过程的有限维特征函数族

(u1 , u2 , un ) E[e
j ( u1 X1 u2 X 2 un X n )
]
E[e


juX T
]
e
j ( u1x1 u2 x2 un xn )



dF ( x1, x2 ,
, xn )
为n维随机变量X的特征函数. 也称多元特征函数
多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质 n维随机变量的特征函数与其联合分布函数 是一一对应的
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x , , ( 0)常数
则特征函数
(u) E[e juX ] e jux f ( x)dx


令v
x

e dv
1 2



e e
( x )2 jux 2 2
k nk 二项分布 P(X k ) C k p q , n
k=0,1,…,n.0<p<1,q=1-p.
则特征函数
(e ju p)k
(u ) E[e
juX
] e C p q
juk k 0 k n k
n
n k
( pe q)
ju
n
Poisson分布
P(X k )
5. 均方值函数
设{X(t)}是一S.P. 对任意的t∈T, 若E[X(t)]2存在,则称 E[X(t)]2为S.P.X(t)的均方值函数.
记ΦX(t).即 ΦX(t)= E[X(t)]2 t∈T
随机过程的数字特征有如下关系
CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈ T t∈ T s,t∈T
a a b
lim

b
f ( x) g ( x) 存在
则称此极限为f(x)对g(x)在无穷区间(-∞,+ ∞)上的 Stieltjes积分.记



f ( x)dg ( x)
关于Stieltjes积分有如下性质
⑴当g(x)为跳跃函数,且在xi (i=1,2,…)具有跃度pi时有

f ( x) 0, x 0
juX
则特征函数
(u) E[e
0
] e


jux
f ( x)dx
( ju ) x 0
e e
jux
x


dx e
dx
ju
(4)随机变量的分布函数与其特征函数 相互唯一确定.
定义(多元特征函数) 设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数 为F(x1,x2,…,xn),则称
为随机过程的有限维特征函数族
§4 随机过程的数字特征
有限维分布函数族虽然能够完整描述随机 过程的统计特征,但是在实际中很难得到.
因此,如同随机变量一样,也用数字特征来 表征随机过程.即将随机变量的数字特征 推广到随机过程中.
但要注意其区别:随机过程的数字特征 不再是确定的数,而是确定的时间的函数.
RX ( s , t ) a2 cos (t s), 2
a2 DX ( t ) C X ( t , t ) 2
s, t
t
2. 设S.P. X(t)=Acosωt+Bsinωt t≥0, ω为常数. A,B相互独立,同服从正态分布N(0,σ2) 求该过程的数字特征.
4. 相关函数
设{X(t)}是一S.P.对任意的s,t∈T, 若 E[X(s)X(t)] 存在, 则称E[X(s)X(t)]为 S.P.X(t)的相关函数. (自相关函数)
记RX(s,t).即 RX(s,t)=E[X(s)X(t)]
显然 mX(t)=0时, CX(s,t)= RX(s,t)
s,t∈T
1 dx 2



e
v2 ju ( v ) 2
1 e 2
1 j u 2u 2 2



e
( v ju ) 2 2
dv e
1 j u 2u 2 2
特别X～N(0,1)时
（u ) e
u2 2
指数分布 r.v.X服从参数为λ (>0)的指数分布, 概率 密度为 e x , x 0

2 k
n

n
N ( k , )
定义 (随机过程的有限维特征函数族)
设{X(t),t∈T}是一个S.P.对于任意固定的t1,t2,…,tn ∈T, X(t1),X(t2),…,X(tn)是n个随机变量,称
(t1, t2 ,..., tn ; u1, u2 ,..., un )
E[e


f ( x)dg ( x) f ( xi ) pi
i
⑵当g(x)存在导数g´(x)时,有



f ( x)dg ( x) f ( x) g ( x)dx


利用Stieltjes积分可以统一离散型r.v.与连续型r.v.(或 随机变量的函数)的数学期望定义.如下
定义 设随机变量X的分布函数为F(x),若
k=1
解：由题意 X k (u) e
n k 1
, k 1,2,..., n
源自文库
Y (u) X k (u) e
k 1
1 2 2 j k u k u 2
e
Y= Xk
k=1 n n n k 1 k 1
1 2 2 j ( k ) u ( k )u 2 k 1 k 1
特征函数应用举例:
1.设X服从参数为的 Poisson 分布，求 EX， EX ， DX
2
解： 由题意 (u) e
( e ju 1)
则 (u) je e
ju ( e ju 1)
, (u) (e e )e
ju 2 2 ju
( e ju 1)
则利用特征函数性质： ( k ) (0) j k EXk

(2)一般设v.r.(X1,…,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,…,xn),g(x1,x2,…,xn)为连续函数. 若



g ( x1 , x2 ,..., xn ) dF ( x1 , x2 ,..., xn )


则v.r.Y=g(X1,X2,…,Xn)的数学期望存在.且
2
RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )]

2
0
1 2 a cos( s ) cos(t ) d 2 s, t
a2 cos (t s ), 2
CX ( s, t ) RX ( s, t ) mX ( s)mX (t )
得 EX
(0)
j
2

EX
2
(0)
j2
2
DX EX ( EX )
2
2. 设X 1 ,X 2 , ,X n相互独立，且 Xk N （k， ）,k = 1,2, ,n
2 k
n
1 2 2 jk u k u 2
n
用特征函数求随机变量Y= Xk的概率分布
k 1
n
S 存在,且与[a,b]的分法及ξ 的取法无关. 若极限 lim 0 k
则称此极限为f(x)对函数g(x)在[a,b]上的Stieltjes积分. 简称S积分.也称f(x)对g(x)在[a,b]上S可积. 记

b
a
f ( x)dg ( x)
设f(x), g(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的两个函数,若 在任意有限区间[a,b] f(x)对 g(x)在[a,b] S可积,且
3. 协方差函数 设{X(t)}是一S.P. 对任意的s,t∈T,若
Cov(X(s),X(t))=E[X(s)-mX(s)][X(t)-mX(t)]
存在,则称Cov(X(s),X(t))为S.P.X(t)的 协方差函数.记 CX(s,t). 即 CX(s,t)= E[X(s)-mX(s)][X(t)-mX(t)] s,t∈T


j ( u1 X ( t1 ) un X ( t n ))


j

e
ui X ( ti )
i 1
n
]
tn ; x1, xn )
dF (t1 ,
(ui ∈R, i=1,2,…,n)
为S.P.{X(t),t∈T}的n维特征函数.
称 { (t1 , t2 ,..., tn;u1, u2 ,..., un ), ti T , ui R, i 1,2,.., n}
1 a xb , f ( x) b a 其它 0 ,
则特征函数
(u) E[e
e
a b
juX
] e


jux
f ( x)dx
jux
1 1 jbu jua dx (e e ) ba jt (b a )
正态分布 r.v.X～N(µ , σ2),密度函数为
Y (u) e X (au)
jbu
ⅳ (u)在（ ， ）上一致连续.
ⅴ 若X与Y相互独立,Z=X+Y,则
Z (u) X (u)Y (u)
(可推广到n个相互独立随机变量)
ⅵ (u ) 是非负定的.
即对任意的n,任意复数Zk,任意实数uk (k=1,2,…,n),有
1. 均值函数 设{X(t)}是一S.P.
对任意的t∈T,若E[X(t)]存在,则称 E[X(t)]为S.P.X(t)的 均值函数. 记mX(t) 即 mX(t)= E[X(t)] t∈ T
2. 方差函数 设{X(t)}是一S.P.对任意的t∈T, 若 D[X(t)]=E[X(t)-mX(t)]2 存在, 则称D[X(t)]为S.P.X(t)的方差函数. 记DX(t). 即 DX(t)= E[X(t)-mX(t)]2 t∈ T
所以最关键的数字特征是均值函数 与相关函数
本节内容举例
1. 设S.P. X(t)=acos(ωt+Θ). a, ω常数, Θ~U[0, 2π] 求该过程的均值函数,相关函数,方差函数.
解
mX (t ) E[ X (t )]
1 a cos(t )d 0 2 0 t
E (Y ) g ( x1 , x2 ,..., xn )dF ( x1 , x2 ,..., xn )

2.随机变量的特征函数
定义 设随机变量X的分布函数F(x),则称
(u) E[e
juX
] e dF ( x )
jux

u
§3 随机过程的有限维特征函数族
1.Stieltjes积分 定义 设f(x), g(x)是定义在[a,b]上的两个有界函数,对 [a,b] 的任一划分 a=x0 <x1<…<xn=b, 记 △=max{△xk} 任取ξ k∈[xk-1,xk],k=0,1,…,n.作和
S f ( k )[ g ( xk ) g ( xk 1 )]
k
k!
e ,
k=0,1,2,…, λ >0
则特征函数
(u) E[e juX ] e
k 0

k juk
k!
e
ju k ( e ) e ju ( e ju 1) e e e e k! k 0
均匀分布 r.v.X～U(a,b],密度函数为



x dF ( x )
则X的期望为
E ( X ) xdF ( x)


并有以下结论
(1)设 v.r.X的分布函数为F(x), y=g(x)是连 续函数,若



g ( x) dF ( x)
则v.r.Y=g(X)的期望为
E (Y ) g ( x)dF ( x)
(u
l 1 k 1
n
n
l
uk ) zl z k 0
ⅶ 设随机变量X的n阶原点矩(即E[Xk])存在,
则 (u ) 存在k(k≤n)阶导数,且有
(0) j EX , k n
(k ) k k
(3)一些重要分布的特征函数
单点分布 P(X=c)=1, c常数.则
(u) E[e juX ] e juc
为随机变量X的特征函数. 其中u为实参变量, e juX 为复随机变量
关于特征函数的几点说明
(1) 特征函数总是存在的. 对任意实数u,有|ejux|=1.故E[ejux]总存在.
(2)特征函数的性质(证明page17)
（u） （0） 1 ⅰ
ⅱ (u) (u)
ⅲ 若Y=aX+b ,a,b为常数,则