二次函数课题学习数学建模
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义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
数 学 建 模
离黄志明同学所在学校不远的一条双行线公路上有一个 隧道，如下图所示：
通过隧道的车辆应该有一个限制高度，这个限制高度怎 么确定呢？
为了解决这个问题，黄志明和他的同学经实地考察取了以下的情况： 1.隧道的纵截面由因矩形和一抛物线构成； 2隧道内路面的总宽度为8m，双行车道宽度为6m，隧道顶部最高处距 路面6m，的矩形的高为2m. 3.为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶 部在竖直方向上高度差至少要0.5m.
黄志Leabharlann Baidu和他的同学们运用已知的数学知识，解决了这个实 际问题，其过程如下：
画出隧道的截面图，设双行道的两个端点分别为A，B，以AB 为x轴的正方向，AB的中点为原点建立直角坐标系，如图所示， 于是（0，6）为抛物线的顶点，因此可设抛物线表达式为
y ax 6,
2
4 x 4
y
又因为抛物线经过点（4，2），所以2＝16a＋6
a
1 4
1 4 x 6
2
6cm
这样，抛物线的表达式确定为 y 令x=3，得y=3.75 3.75－0.5＝3.25≈3.2
A
B
2cm x
o
3cm 3cm 8cm
黄志明和他的同学们把通过隧道的车辆限制高度定为3.2m.
从黄志明和他的同学们解决这个实际问题的过 程中，我们看到，将一个实际问题，用所学过的数 学语言加以抽象概括，建立数学模型（这里是建立 适当的直角坐标系，求抛物线的表达式），再应用 数学方法来求出能够反映实据问题所要求的实际结 果（这里是求当x=3时，y的值，所求的限制高度则 为y－0.5），这就是简单数学建模的全过程，本问 题的数学模型是二次函数模型.
简单数学建模的过程，我们可用下面的框图来 说明：
实际问题
抽象，概括，数学化
数学问题 求解数学问题 数学结果 结合实际加以检验
实际结果
1.某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用去1500元， 按该书定价8.4元/册出售，并很快售完，由于该书畅销，第二次购 书时，每本的批发价已比第一次高0.5元/册，用去了2000元，所购 书数量比第一次多50本，当这批书售出时，出现滞销，便以定价的 8折售完剩余图书，试问该老板第一次售书赚了多少钱？第二次售 书是赔钱，还是赚钱（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚 钱，赚多少？
2.某塑料厂销售科，策划销售一种新式样的塑料鞋，经销人员并不 是仅仅根据估计的生产成本确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经 营塑料鞋的零售经销商进行调查，看看在不同价格下他们会进多少 货，一番调查，确定需求关系式为p＝－750x+15000（p为每个零售 经销商进货的数量，x为零售经销商愿意支付的价格），并求得工厂 生产该塑料鞋的固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和 劳动生产费用为4元，为了获得最大利润，工厂对零售经销商规定多 少价格合适？
湖南教育出版社
数 学 建 模
离黄志明同学所在学校不远的一条双行线公路上有一个 隧道，如下图所示：
通过隧道的车辆应该有一个限制高度，这个限制高度怎 么确定呢？
为了解决这个问题，黄志明和他的同学经实地考察取了以下的情况： 1.隧道的纵截面由因矩形和一抛物线构成； 2隧道内路面的总宽度为8m，双行车道宽度为6m，隧道顶部最高处距 路面6m，的矩形的高为2m. 3.为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶 部在竖直方向上高度差至少要0.5m.
黄志Leabharlann Baidu和他的同学们运用已知的数学知识，解决了这个实 际问题，其过程如下：
画出隧道的截面图，设双行道的两个端点分别为A，B，以AB 为x轴的正方向，AB的中点为原点建立直角坐标系，如图所示， 于是（0，6）为抛物线的顶点，因此可设抛物线表达式为
y ax 6,
2
4 x 4
y
又因为抛物线经过点（4，2），所以2＝16a＋6
a
1 4
1 4 x 6
2
6cm
这样，抛物线的表达式确定为 y 令x=3，得y=3.75 3.75－0.5＝3.25≈3.2
A
B
2cm x
o
3cm 3cm 8cm
黄志明和他的同学们把通过隧道的车辆限制高度定为3.2m.
从黄志明和他的同学们解决这个实际问题的过 程中，我们看到，将一个实际问题，用所学过的数 学语言加以抽象概括，建立数学模型（这里是建立 适当的直角坐标系，求抛物线的表达式），再应用 数学方法来求出能够反映实据问题所要求的实际结 果（这里是求当x=3时，y的值，所求的限制高度则 为y－0.5），这就是简单数学建模的全过程，本问 题的数学模型是二次函数模型.
简单数学建模的过程，我们可用下面的框图来 说明：
实际问题
抽象，概括，数学化
数学问题 求解数学问题 数学结果 结合实际加以检验
实际结果
1.某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用去1500元， 按该书定价8.4元/册出售，并很快售完，由于该书畅销，第二次购 书时，每本的批发价已比第一次高0.5元/册，用去了2000元，所购 书数量比第一次多50本，当这批书售出时，出现滞销，便以定价的 8折售完剩余图书，试问该老板第一次售书赚了多少钱？第二次售 书是赔钱，还是赚钱（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚 钱，赚多少？
2.某塑料厂销售科，策划销售一种新式样的塑料鞋，经销人员并不 是仅仅根据估计的生产成本确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经 营塑料鞋的零售经销商进行调查，看看在不同价格下他们会进多少 货，一番调查，确定需求关系式为p＝－750x+15000（p为每个零售 经销商进货的数量，x为零售经销商愿意支付的价格），并求得工厂 生产该塑料鞋的固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和 劳动生产费用为4元，为了获得最大利润，工厂对零售经销商规定多 少价格合适？