Delta函数介绍

§5.1 δ 函数
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 )δ ( z − z 0 ) 为三维函数 ; dv = dxdydz
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) 为二维函数 ; dv = dxdy
总电量q = 1, 集中在x = 0处
x
Δq ⎧0 x ≠ 0 =⎨ 则电荷密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ⎩∞ x = 0
∞
−∞
∫ ρ ( x)dx = 1
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一、δ函数的引入
2、定义：
§5.1 δ 函数
⎧ ⎧0 x ≠ 0 ⎪δ ( x) = ⎨ ⎩∞ x = 0 ⎪ ⎨∞ ⎪ δ ( x)dx = 1 ⎪∫ ⎩− ∞
∞
f (t ) =
−∞
∫ f (τ )δ (τ − t )dτ = ∫
b
a
f (τ )δ (τ − t )dτ
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三、高维δ 函数
1、定义：
⎧ ⎧0 , M ≠ M 0 ⎪δ ( M − M 0 ) = ⎨ ⎩∞ M = M 0 ⎪ (1) ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ ∫ ∫ δ ( M − M 0 )dv = 1 ⎩ −∞
第五章格林函数法
Method of Green’s Function
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引言：
第五章格林函数法
⎧行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ⎪ ⎨分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ⎪积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ⎩ 1、格林函数法：
其解为含有格林函数的有限积分。 ⎧Δ u = − h( M ) ⎪ 由§5.2: → ⎨ ⎪u σ = f ( M ) ⎩
⎧ ⎧0 , M ≠ M 0 ⎪δ ( M − M 0 ) = ⎨ ⎪ ⎩∞ M = M 0 ( 2) ⎨ ⎪ ∞ ⎪ ∫ ∫− ∞ δ ( M − M 0 ) dxdy = 1 ⎩
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三、高维δ 函数 2、性质：
(1) ∫
∞ −∞
§5.1 δ 函数
∫ ∫ f ( M )δ ( M − M
0
)dxdydz
= f ( x0 , y 0 , z 0 ) = f (M 0 )
∞
( 2) ∫
−∞
∫ f ( M )δ ( M − M
0
)δxdy
= f (M 0 ) = f ( x0 , y 0 )
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五、小结
§5.1 δ 函数
⎧ ⎧0 x ≠ x0 ⎪δ ( x − x0 ) = ⎨ ⎩∞ x = x0 ⎪ 一般 : ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ δ ( x − x0 )dx = 1 ⎩− ∞
m =1
§5.1 δ 函数
总质量m = 1, 集中在x = 0处
x
Δm ⎧0 x ≠ 0 =⎨ 则密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ⎩∞ x = 0
∞
0
−∞
∫ ρ ( x)dx = 1
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一、δ函数的引入
1、物理背景 （2）带电导线
q =1
0
§5.1 δ 函数
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 )h( M )dτ − ∫∫
τ
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σ
∂G f (M 0 ) dσ 0 ∂n0
G(M,M0)－狄氏格林函数
§5.1 δ 函数
The Delta Function
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一、δ函数的引入
1、物理背景 （1）金属线
− δ函数
⎧ ⎧0 x ≠ x0 ⎪δ ( x − x0 ) = ⎨ ⎩∞ x = x0 ⎪ 一般 : ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ δ ( x − x0 )dx = 1 ⎩− ∞
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一、δ函数的引入
3、注意：
§5.1 δ 函数
(1) δ − 密度函数和点源函数
若在x = x 0点放有m质量, 总质量m 则 ρ ( x) = mδ ( x − x0 ) 同样若在x = x 0 放有电量为q的点电荷，总电量为q， 则 ρ ( x) = qδ ( x − x0 )
(2) δ − 广义函数
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二、δ函数的性质
设 f ( x)在(−∞, ∞)连续, 则
∞ ∞
§5.1 δ 函数
1、
−∞
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x ) [ ∫ f ( x)δ ( x)dx = f (0)]
0 0 −∞
注意 : δ 也能表示连续分布的函 数
∞
−∞
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x ) [ ∫ f ( x)δ ( x)dx = f (0)]
0 0 −∞
∞
∞
Байду номын сангаас
−∞
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∫
f ( x )δ
(n)
( x − x 0 )dx = ( − 1) f
n
(n)
( x0 )