【小站教育】GRE数学—排列组合公式及例题讲解

GRE 数学—排列组合公式及例题讲解

排列 A------和顺序有关

组合 C -------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序,组合不分

例如把5 本不同的书分给3 个人,有几种分法. "排列"

把5 本书分给3 个人,有几种分法"组合"

1．排列及计算公式

从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示.

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素

的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示.

c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

3．其他排列与组合公式

从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Anm(n 为下标，m 为上标)）

Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n 为下标1 为上标）=n

组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）

Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n 为下标1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m

2008-07-08 13:30

公式A 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。

公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列。

N-元素的总个数

R 参与选择的元素个数

！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N 倒数r 个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从 n 到（n-r+1)个数为 n－（n-r+1)＝r

举例：

Q1: 有从1 到9 共计9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

A1: 123 和213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997 之类的组合，我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数则应该有9-1 种可能，个位数则应该只有9-1-1 种可能，最终共有9*8*7 个三位数。计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9 倒数3 个的乘积）

Q2: 有从1 到9 共计9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2: 213 组合和312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1 设有3 名学生和4 个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多

有一名学生参加．各有多少种不同方法？

解（1）由于每名学生都可以参加4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

例 2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴ 符合题意的不同排法共有9 种．

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11 人：①每两人互通一封信，共通了多少

封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有 8 盆花：①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2 盆放在教室有多少种不同的选法？

分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不