回归分析的基本思想及其初步应用(精)

中国GDP散点图
100000
80000
GDP
60000
40000
20000
0 1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
年
1999
2000
2001
2002
2003
函数模型： y f x 回归模型：y f xe
样本点在函数曲线上 样本点不在回归函数曲线上
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问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
回归分析的基本思想及其初步应用
2010年7月
回归分析的基本思想及其初步应用
1 选修2-3回归部分增加的内容
2Βιβλιοθήκη Baidu
回归分析知识结构图
3
回归分析教学内容分析
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选修2-3回归部分增加的内容
必修3已学回归内容： 1.画散点图；
2.最小二乘法的思想； 3.求回归直线方程y=bx+a; 4. 用回归直线方程解决应用问题。
两个变量线性相关 线性回归模型
最小二乘法 残差分析 相关指数
两个变量非线性相关 非线性回归模型
注：虚线表示高中阶段不涉及的关系 ljzh.
应用
回归分析教学内容分析
一、教学任务分析 1、利用残差和R2探讨回归模型拟合的效果，让学生理解在统 计中回归诊断的重要性，只有拟合效果好的模型才能利用回归 模型预报。
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.
注：1、随机误差e包含预报体重不能由身高的线性函数解释的所有部分。
2、E(e)=0可用回归方程必过样本点中心 ( x , 解y 释) 。
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问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
模型和回归模型。
函数模型与“回归模型”的关系
120000
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问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
模型和回归模型。
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg
48 57 50 54 64 61 43 59
答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值， 只能给出她们平均体重的值。
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问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
模型和回归模型。 由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高 和体重的关系可以用线性回归模型来表示：
y=bx+a+e， E(e)=0,D(e)= 2 .
模型和回归模型。
函数模型与“回归模型”的关系 函数模型：因变量y完全由自变量x确定 回归模型： 预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定
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问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差， 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？
残 差 ： 一 般 的 对 于 样 本 点 （ x1,y1 ） ,(x2,y2),...,(xn,yn),它 们 的 随 机 误 差 为
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问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？
2、建立回归模型的步骤，特别强调回归诊断中如何利用残差和 相关指数R2
3、注意提炼案例所蕴含的统计思想。应用统计方法解决实际问 题需要注意的问题。
三、教学难点 借助函数变换把非线性相关关系转化为线性相关关系，例2中所 建立的两个模型：一个是把预报变量对数化，一个是把解释变量 平方化。
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四、教学情境设计
eiyibxia,i1,2,...n,其 估 计 值 为 eiyiyiyibxia,i1,2,...n
ei称 为 相 应 于 点 (xi,yi)的 残 差 。
结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获 取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包 含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用，因此在此 我们引入残差概念。
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
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问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
模型和回归模型。
2.回归方程：
y ˆ0.84x 98.5 172
身 高 1 7 2 c m 女 大 学 生 体 重 y ˆ=0 . 8 4 9 × 1 7 2-8 5 . 7 1 2=6 0 . 3 1 6 ( k g ) 探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果 不是，你能解析一下原因吗？
2、通过例1归纳出建立回归模型的基本步骤，并归纳出利用回 归模型预报体重时应该注意的适用性。
3、通过例2让学生体会如何借助线性回归模型研究具有非线性关 系的两个变量。
4、寻求近似效果好的模型及寻求最有效的数据处理方法是人们 不断追求的目标。
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回归分析教学内容分析
二、教学重点 1、函数模型与“回归模型”的关系；散点图与模型的选择。
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问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？
(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。
残差分析（ （ 12） ）计 画算 残差 ei 图 yi
bxi
a（i=1,2,...n）
（ 3）分析残差图（ （ 水12） ） 平查 残 方找 差 向异 点 散常 分 点样 布 的本 在 分数 以 布据 O规为律中相心同的。水平带状区域，并沿
选修2-3中增加内容： 1.引入线性回归模型y=bx+a+e.
2.了解模型中随机误差e产生的原因。 3.了解相关指数R2和模型拟合效果之间的关系。 4.了解残差图的作用。 5.利用线性回归模型解决一类非线性回归模型。 6.正确理解统计分析方法与分析结果。
ljzh.
回归分析知识结构图
问题背景分析 散点图
问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
模型和回归模型。
问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差， 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？
问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？
问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？ 问题五：归纳建立回归模型的基本步骤。 问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）