高三上学期一轮复习数学单元过关检测--- 复数

综合检测

一、选择题（第小题5分，共40分） 1．1.已知z 1=2－i,z 2=1+3i ，则复数

5

i 2

1z z +的虚部为（ ） A.1

B.－1

C.i

D.－i

答案: C 解：

5

i

31i 21i 315i)2i 5i 31i 2i 5z i 2++

+-=+++=++=+55(-1z =i. 2．(1－i)2

·i 等于（ ） A.2－2i

B.2+2i

C.－2

D.2

答案:D 解:(1－i)2

·i=(1－2i+i 2

)·i=(1－2i －1)·i=－2i ·i=(－2)×(－1)=2. 3．复数z 1=3+i,z 2=1－i ，则z =z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案: D 解:z 1·z 2=(3+i)·(1－i)=4－2i.

4．已知复数z 与(z +2)2

－8i 均是纯虚数,则z 等于（ ） A.2i

B.－2i

C.i

D.－i

答案:B 解:设z =b i(b ∈R 且b ≠0),则(z +2)2

－8i=(b i+2)2

－8i=b 2i 2

+4b i+4－8i=(4－b 2

)+(4b

－8)i.∴⎩⎨⎧≠-=-.084,042b b ∴⎩

⎨⎧≠±=.22b b ,

∴b =－2.∴z =－2i.

5．定义：a b ad bc c d

=-.若复数z 满足

1

12z i i i

=-+-，则z 等于

A.1i +

B.1i -

C.3i +

D.3i -

答案：A

6．Z ∈C ，若12z z i -=- 则43i

z

+的值是（ ） A ．2i

B ．2i -

C ．2

D ．2-

答案：A

7．设复数21(1)1i

z i i

+=+--，则7(1)z +展开式的第五项是（ ） A ．-2i B ．-21i C ．35 D ．-35i

答案：C

8．设f (n )=(

i i -+11)n +(i

i +-11)n

,n ∈N,如果A ⊆{f (n )},则满足条件的集合A 有（ ） A.8个

B.7个

C.3个

D.无穷多个

答案: A 解:∵f (n )=(

i i -+11)n +(i

i +-11)n =i n +(－i)n

(n ∈N )= ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧∈+=∈+=-∈+=∈=,,34,0,,24,2,

,14,0,

,4,2N N N N k k n k k n k k n k k n 当 当 当 当 ∴{f (n )}={0,2,－2}.∵A ⊆{f (n )}={0,2,－2}, ∴A 的个数是23

=8.

二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）

9．

i

i

-+15的值等于__________. 解:2

)15()15()1)(1()1)(5(15i i i i i i i ++-=

+-++=-+ =2+3i. 10．若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________

答案：3 提示：利用复数相等可得。

11．已知复数z = (1 – i )(2 – i )，则| z |的值是 ． 答案：10

12．已知实数x ，y 满足条件5003x y x y x -+⎧⎪

+⎨⎪⎩

≥≥≤，i z x y =+（i 为虚数单位），则|12i |z -+的最

小值是 ． 答案：

2

2

提示：几何意义是可行域上的点到定点（1，-2）的距离的最小值。 13．（选做题）设z=log 2(m 2-3m-3)+i log 2(m-3) (m ∈R), 若z 对应点在直线x-2y+1=0上, 则m 的值是 .

[解析]: 设z=log 2(m 2-3m-3)+i log 2(m-3) (m ∈R), 若z 对应点在直线x-2y+1=0上,

则log 2(m 2-3m-3)-2 log 2(m-3)+1=0 故2（m 2-3m-3）=(m-3)2 ∴m=15或m=-15（不适合）

14．（选做题）若a ≥0, 且z |z |+az+i=0, 则复数z = [解析]: 若a ≥0, 且z |z |+az+i=0, 则z(|z |+a)+i=0, |z |+a>0,故 z 为纯虚数，

设z = yi (y )R ∈ , 则 (|y |+a)yi+i=0 故y 2-y-1=0

y = 2

42+-a a

z =

i a a 2

4

2+- 15．（选做题）若t ∈R, t ≠-1, t ≠0时,复数z =

i t t

t t +++11的模的取值范围是 . [解析]: 若t ∈R, t ≠-1, t ≠0时,复数z =i t

t

t t +++11的模为|z|

则|z|2

=2)1()1(22≥+++t

t t t

故z 的模的取值范围是

[

)

+∞,2

三、解答题（共80分）

16．（本题满分13分）已知复数(2k 2

－3k －2)+(k 2

－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.

解:∵复数对应的点在第二象限，

∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222

k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.

10,221k k k 或…………12分

∴k 的取值范围为(－

2

1

，0)∪(1，2). …………13分 17．（本题满分13分）已知集合A={z||z-2|≤2}，B=|z|z=2

1

z 1i+b ，z 1∈A，b∈R}． （1）若A ∩B=Φ，求b 的取值范围； （2）若A ∩B=B ，求b 的值． 解：由B 中元素z=

2

1

z 1i+b ，得z 1=-i(2z-2b)，∵z 1∈A，∴|z -2|=|-i(2a-2b)-2|≤2，即|z-b-i |≤1，∴集合B 是圆心在(b ，1)，半径为1的圆面，而A 是圆在（2，0），半径为2的圆面．

（1） 若A ∩B=Ф，则圆面A 和圆面B 相离，∴(b-2)2

+1>9，∴b<2-2

2或

b>2+22．………6分

（2） 若A ∩B=B，∴B ⊆A ，∴(b -2)2

+1≤1，∴b=2．…………13分

18．（本题满分13分）已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.

解：设D （x ,y ),则