矩阵与行列式

第9章 行列式与矩阵
学习目标
了解n 阶行列式定义,理解行列式性质. 掌握二阶、三阶、四阶行列式的计算.
理解矩阵的概念、逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，了解矩阵秩的概念.
掌握几种特殊矩阵，掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律、矩阵的初等行变换和用初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算.
§9.1 行列式的概念与计算
9.1.1二阶、三阶行列式
用消元法解二元线性方程组 ⎩⎨
⎧=+=+2
2221211
212111b x a x a b x a x a （9.1）
当021122211≠-a a a a 时，得 211222*********a a a a a b a b x --=
，21
1222111
212112a a a a b a b a x --=
为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.
1．二阶行列式的定义
定义9.1 用2
2个数组成的记号
22
21
1211a a a a ，表示数值21122211a a a a -，称为二阶行
列式，22211211,,,a a a a 称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.
利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式0≠D 时，它的解可以用行列式表示为
1
12111
22221212121112111221222122
,
b a a b b a a b D D x x a a a a D D a a a a ====
其中1D 和2D 是以21,b b 分别替换系数行列式D 中第一列、第二列的元素所得到的两个
二阶行列式.
例9.1.1 用行列式解线性方程组 ⎩⎨
⎧=+=-1
533
22121x x x x .
解 因为135
3
12=-=D ， 165
1
131=-=
D ，71
3322-==
D .
所以 1212167,1313
D D x x D D =
===-. 类似地，用2
3个数组成的记号 33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a ，表示数值 ++312312332211a a a a a a
322311332112312213322113a a a a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，即
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =322113312312332211a a a a a a a a a ++ 322311332112312213a a a a a a a a a ---.
它是由3行3列共9个元素构成，是6项代数和.这9个元素排成3行3列，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆，如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号，虚线上三个元素的乘积取负号.
例9.1.2 计算三阶行列式312
20315
4
--.
解 原式＝-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯⨯421)1(02252)1()3(1403 604580203035)3(=+--++=⨯⨯-.
33323123
222113
1211a
a a a
a a a
a a 取+号 取-号 图9.1
例9.1.3 解不等式 01
1401
1>x x .
解 因为11
1401
12-=x x x ，原不等式化为012>-x . 故不等式的解集为{11}x x x ><-或.
9.1.2阶行列式
1．n 阶行列式的定义
定义9.２ 由2
n 个数组成的一个算式
nn
n n n
n
a a a a a a a a a D
21
22221
11211=
，
称为n 阶行列式，其中ij a 称为D 的第i 行第j 列的元素),,2,1,(n j i =.
当1=n 时，规定1111a a D ==.n 阶行列式简记为ij a .
定义９.３ 在n 阶行列式ij a D =中去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的
1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M .
将ij j
i M +-)
1(叫做元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即有ij j i ij M A +-=)1(.
设1-n 阶行列式已定义，则n 阶行列式
∑==+++=n
j j j n n A a A a A a A a D 1
111112121111 . （9.2）
例如，当3=n 时，
33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a 131312121111A a A a A a ++=. 例9.1.4 写出四阶行列式
251714
9
6
3
8129131
2
411
---
的元素32a 的余子式和代数余子式.
解 11
41
36
14
712
32-=M ，11
4
13614
712)1(322332--=-=+M A .
形如下列形式的行列式分别称为n 阶对角行列式和n 阶下三角行列式，由（9.2）式可知，
它们的值都是主对角线上元素的乘积.
nn nn a a a a a a 22112211
000
00
0=，
nn nn
n n a a a a a a a a a
221121
2221110
=.
２. 行列式的性质
根据n 阶行列式的定义直接计算行列式，当行列式的阶数n 较大时，一般是很麻烦的，为了简化n 阶行列式的计算，我们有必要讨论n 阶行列式的性质.
如果把n 阶行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D 21
2222111211
=
中的行与列按顺序互换，得到一个新的行
列式
nn
n n
n n T a a a a a a a a a D 212
2212
12111
=
，
T D 称为行列式D 的转置行列式.显然，D 也是T D 的转置行列式.
性质9.1.1 行列式D 与它的转置行列式T D 的值相等.即T
D D =.
例如，二阶行列式 2112221122
2112
11a a a a a a a a D -==，
2112221122
12
2111a a a a a a a a D T
-==
.
显然，T
D D =.对于n 阶行列式，可以用数学归纳法加以证明，这里略去.
性质9.1.1说明，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，所以凡是对行成立的性质，对列也同样成立.
由性质9.1.1和n 阶下三角行列式的结论，可以得到n 阶上三角行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积，即
nn nn
n
n
a a a a a a a a a
221122211211
=.
性质9.1.2 n 阶行列式ij a D =等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即
11221
(1,2,3
,)n
i i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==++
+==∑，
或 11221
(1,2,3
,)n
j j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==++
+==∑. （9.3）
例9.1.5 设三阶行列式1
522353
13-=D ，按第二行展开，并求其值.
解 因为 14)151(153
1)
1(211
221=--=-
=-=+M A ， 3123
3)1(222222-==-=+M A ,
135
213)1(233
223-=-=-=+M A ,
所以 232322222121A a A a A a D ++=
105)13(2)3(3145-=-⨯+-⨯+⨯-=.
性质9.1.3 互换行列式的其中两行（或列）位置，行列式值改变符号. 例如，二阶行列式
211222112221
1211a a a a a a a a D -==
，
交换两行后得到的行列式
D a a a a a a a a -=-=1122122112
11
2221.
推论 如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行列式的值为零. 事实上．交换相同的两行，由性质2得，D D -=，于是0=D .
性质9.1.4 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即
nn
n n in i i n
nn n n in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212111************λλλλ=. 推论1 如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的值为零.
推论2 如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式等于零. 推论3 行列式中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.
例如，对于行列式33
32
31
232221
131211
a a a a a a a a a D =， 有0231322122111=++A a A a A a ,
,0133312321131=++A a A a A a
性质9.1.5 如果行列式的某一行（或列）元素可以写成两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即
nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 21
21
1121121221111211=+++nn
n n in i i n
a a a c c c a a a 21
2111211
+.
例如，二阶行列式
22
21
121122
21
121122
21
21121111a b a b a a a a a b a a b a +
=
++.
性质9.1.6 把行列式某一行（或列）的元素同乘以数k ，加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变，即
.2
1212
211112112
1
212111211nn
n n jn j j n
j in j i j i n
nn n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a
+++=
证 设原行列式为D ，变形后得到的行列式为1D ，由性质9.1.5和性质9.1.4的推论３得，
nn n n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a D
21
2121
11211
1=D D a a a a a a ka ka ka a a a nn
n n jn j j jn j j n
=+=+021*******
11
. 为了便于书写，在行列式计算过程中约定采用下列标记法：
（1） 用r 代表行，c 代表列.
（2） 第i 行和第j 行互换，记为j i r r ↔，
第i 列和第j 列互换，记为j i c c ↔.
（3） 把第j 行（或第j 列）的元素同乘以数k ，加到第i 行（或第i 列）对应的元素
上去，记为i j r kr +（或i j c kc +）.
（4） 行列式的第i 行（或第i 列）中所有元素都乘以k ，记为i kr （或i kc ）. 行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积.这种行列式的计算方法称为“化三角形法”.
例9.1.6 计算
20115134
15
33
3
11
2
D ---=
---.
解 132
111021
51
343154
15
333513
3
1121
1
32D c c ------=
↔-
------
41213
133r r r r r r ++-+-1
2
1
01111
05500151----
--2324
10
2
1
01111500605
00162
r r r r ---+----+ 3410211
01111510
00121100
8
1
2
r r ---- 341012
01111
10001120018
c c ---↔-
34101
201111
10
10(4)400011200
4
r r ----+-=-⨯-=-.
计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列）展开；也可以先利用性质
把某一行（或列）的元素化为仅有一个非零元素，再按这一行（或列）展开.这种方法称为降阶法.
例9.1.7 计算
2
241
5
2
105146112------=
D
解 2
241
50
2
105146112------=
D 7
2
6100
1205744132524121-----+-+c c c c
313
1
4(1)(1)7
520
627
+-=-⨯----7
26
00
8
41352
1-----+-r r
7
24
1)1()8(1
2----⨯--=+120=
例9.1.8 证明
.0)3()2()1()
3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
222
2
2
2
22
2222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
证 设此行列式为D ，将D 化简, 把第一列乘以（－１）分别加到以后各列，有
2223224221446922144692144693214469a a a a c c b b b b D c c c c c c d d d d +++-++++=+++-++++06
21262126212621222
22=++++d d c c b b a a . 例9.1.9 计算n 阶行列式
a
b b b a b b b a D
=
解 从行列式D 的元素排列特点看，每一列n 个元素的和都相等，把第2，3，…，n 行同时加到第1行，提出公因子b n a )1(-+，然后各行减去第一行的b 倍，有
a
b b
b a b b
n a b n a b n a D
)1()1()1(-+-+-+=
b
a b a b n a a
b b b a b b n a ---+=-+=
00111
]
)1([1
11]
)1([
1)]()1([---+=n b a b n a .
例9.1.10 解方程
01132
11232113221132111321=-+-+-+-+-------x
a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x
a a a a a a a a n n n n
n n n n n n n n
.（)01≠a
解 把方程左边的行列式，第一行乘以（－１）加到其余各行上，得
)())((0
00000000000012111221132
1x a x a x a a x
a x a x a x a a a a a a n n n n n ---=--------
.
原方程化为0)())((1211=----x a x a x a a n ． 故方程有1-n 个解112211,,--===n n a x a x a x .
注 计算行列式有下列方法：
(1) 二阶、三阶行列式利用定义计算；
(2) 利用展开式(9.3)式计算，选择0元素较多的行（或列）进行展开； (3) 利用行列式的性质，化为三角行列式进行计算； （4）先利用行列式的性质把某行（或列）化为只有一个元素不为零，再利用展开式（9.3）式；交替使用性质、定理来计算.
习题9.1
1.计算下列行列式：
（1）
3
725 （2）
ab
b a a 2
（3）
1
100 （4）6
1
2
15
3
231
--- （5）
3
4010
020********
--- （6）
3
111131111311113
（7）
.3
35
1
110243152113
------ （8）b
a a c c
b c
b
a
+++111
（9）
.a
a
a
a
a d a a a a a c a a a a a b
a +++ （10）
x
y
y x y x y x 0
000000
2.写出三阶行列式4
83
0111
7
52
---=D 中元素3222,a a 的代数余子式，并求其值. 3.已知四阶行列式D 中，第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，-7，4，求D .
4.设行列式5121
4132
014221
---=
D ，分别按D 的第二行和第四列展开，并计算其值.
5.解下列方程：
（1）
09
13
1
5
1
3132216422
22
=-----x x （2）
00
11
10110111
0=x x x x
6.计算n 阶行列式x
a a a a x a a a a x a
a
a a x D
=.
7.计算1n +阶行列式n
n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D +++= 21
2
21
21
1211111.
9.2 矩阵及其初等变换
矩阵是一个重要的数学工具，是进行网络设计、电路分析等强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处理和分析的数学基础.它不仅在经济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软件----MATLAB 就是以矩阵作为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用的软件包. 本节主要介绍矩阵的概念、运算及应用广泛的初等变换.
9.2.1矩阵的概念
在许多问题中，我们会遇到一些变量要用另外一些变量线性表示. 设变量m y y y ,,21能用变量n x x x ,,21线性表示，即
n
mn m m m n
n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+++=+++= 22112222121212121111 （9.4） 其中ij a 为常数（1,2,
,,1,2,
,i m j n ==）
，这种从变量n x x x ,,21到变量m y y y ,,21的变换叫做线性变换.
这种变换取决于变量n x x x ,,21的系数，这些系数按它们在变换中原 来的顺序构成一个矩形数表
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211
.
又如，在物资调运中，某物资有两个产地上海、南京，三个销售地广州、深圳、厦门，
调运方案见下表.
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛233226202517. 下面给出矩阵的定义
定义9.4 由n m ⨯个数ij a （n j m i ,2,1,2,1==）排成一个m 行n 列的矩形数表
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a
2
1
2222111211
或⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
222
21
11211
称为m 行n 列矩阵，简称为n m ⨯矩阵，其中ij a 叫做矩阵的第i 行第j 列的元素.i 称为元素ij a 的行标，j 称为元素ij a 的列标.通常用大写字母 ,,,C B A 或 )(ij a 表示矩阵，例如上述矩阵可以记作A 或n m ⨯A ，有时也记做n m ij a ⨯=)(A .
几种特殊的矩阵：
①方阵：矩阵A 的行数与列数相等，即n m =时，矩阵A 称为n 阶方阵，记作n A ,左上角到右下角的连线称为主对角线，主对角线上的元素nn a a a ,,,2211 称为主对角线元素.
②行矩阵：只有一行的矩阵()n a a a 11211
=A 称为行矩阵.
③列矩阵：只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=12111m a a a A 称为列矩阵.
④零矩阵：所以元素全为零的矩阵称为零矩阵.记作n m ⨯O 或O .
⑤对角矩阵：除主对角线外，其他元素全为零的方阵称为对角矩阵.为了方便，采用如
下记号 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=nn a a a
22
11A . ⑥单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵，记作n E 或E . ⑦三角矩阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵.
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=nn n n a a a a a a 222
11211A 为上三角矩阵. ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n a a a a a a
21
2221
11
A 为下三角矩阵.
⑧对称矩阵： 满足条件ji ij a a =),,2,1,(n j i =的方阵n n ij a ⨯)(称为对称矩阵. ⑨数量矩阵： 主对角线上元素都是非零常数a ，其余元素全都是零的n 阶矩阵，称为n
阶数量矩阵.
⑩负矩阵： 在矩阵()ij m n a ⨯=A 中的各个元素的前面都添加上符号（即取相反数）得到的矩阵，称为A 的负矩阵，记为-A ,即()ij m n a ⨯-=-A .
注 矩阵与行列式是有本质区别的.行列式是一个算式，而矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不同.对于n 阶方阵A ，有时也要计算它的行列式（记为det A 或A ）,但方阵A 和方阵行列式A 是不同的概念.
9.2.2矩阵的运算
1.矩阵的相等 如果两个矩阵B A ,行数和列数分别相同，且它们对应位置上的元素也相等，即ij ij b a =，m i ,,2,1( = ；),,2,1n j =，则称矩阵ΒA ,相等，记作B A =.
2.矩阵的加（减）法 设n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A 是两个n m ⨯矩阵，规定：
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+++++++++=+=+⨯mn mn m m m m n n n n n
m ij ij b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a
2
211
2222
2221
211112121111)(B A 称矩阵B A +为A 与B 的和.
如果n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A ，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们规定： n m ij ij n m ij n m ij b a b a ⨯⨯⨯-=-+=-+=-)()()()(B A B A ，
称矩阵B A -为A 与B 的差.
3.矩阵的数乘 设k 是任意一个实数，A 是一个n m ⨯矩阵，k 与A 的乘积为
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛==⨯mn m m n n n
m ij ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka k 2
1
22221
11211)(A .
矩阵的加（减）法与矩阵的数乘叫做矩阵的线性运算.
设O C B A ,,,都是n m ⨯矩阵，不难验证，矩阵的线性运算满足下列运算规律： 交换律 A B B A +=+；
结合律 C B A C B A ++=++)()(； 分配律 B A B A k k k +=+)(；
A A A l k l k +=+)( ),(R l k ∈；
数乘矩阵的结合律 A A )()(kl l k =.
例9.2.1 设251320⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，342025-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求B A 32-.
解 B A 32-=2251320⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3432025-⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭
41091213226604640615215--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 例9.2.2 设矩阵X ，满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102421=+X 2⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-5212133，求X . 解 由题可得 =X 23123125-⎛⎫
⎪⎝⎭⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-102421， 即有 =X 28521614-⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以 54
1213
72
⎛⎫- ⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
X . 例9.2.3 已知网络双端口参数矩阵B A ,满足⎩⎨
⎧=-=+D
B A C
B A 2222，其中
71021510-⎛⎫= ⎪--⎝⎭C ，52651514--⎛⎫= ⎪---⎝⎭
D .求参数矩阵B A ,.
解 由⎩⎨⎧=-=+D
B A
C B A 2222可得D)(C 41B D),(C 41A -=+=.
所以⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=651223
141556251051210741D)(C 41A .
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=12523132
1
141556251051210741D)(C 41B . 4.矩阵的乘法
例9.2.4 设有两家连锁超市出售三种奶粉，某日销售量（单位：包）见下表9-2-1，每种奶粉的单价和利润见下表9-2-2.求各超市出售奶粉的总收入和总利润. 表9-2-1
解 各个超市奶粉的总收入=奶粉Ⅰ数量×单价+奶粉Ⅱ数量×单价+奶粉Ⅲ数量×单价. 设⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=420212315,6571085B A ，C 为各超市出售奶粉的总收入和总利润，则 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=552857137146253720612515741028352010128155C .
矩阵C 中第一行第一列的元素等于矩阵A 第一行元素与矩阵B 的第一列对应元素乘积之和.同样，矩阵C 中第i 行第j 列的元素等于矩阵A 第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和.
定义9.5 设A 是一个s m ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，则由元素
sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 m i ,,2,1( =；),,2,1n j =
构成的n m ⨯矩阵()
n
m ij
c ⨯=C ，称为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作AB C =.
例9.2.5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=530412A ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=107
89
B ，求AB . 解 AB =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--530412⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--107
89
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯--⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯-+⨯=105)8(3)7(593100)8(4)
7(09410)1()8(2)7()1(92 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=2683236
2625 例9.2.6 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1236A ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=3162B ,⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=1151C ,求AB 和AC .
解 =AB ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=93279 =BA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000 =AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1151⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=93279
注 ① 矩阵乘法一般不满足交换律，因此，矩阵相乘时必须注意顺序，AB 叫做（用）
A .左乘
B ，BA 叫做（用）A 右乘B ，一般AB ≠BA .
② 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
③ 矩阵乘法不满足消去律.即当乘积矩阵AC AB =且O A ≠时，不能消去矩阵A ，得到C B =.
④ 同阶方阵A 与B 的乘积的行列式，等于矩阵A 的行列式与矩阵B 的行列式的乘积.即
B A AB ⋅=.（方阵A 的行列式记作A ）
⑤ 若A 是一个n 阶方阵，则
A
m m
个A AA A
=称为A 的m 次幂. 不难验证，矩阵乘法满足下列运算规律：
结合律 A(BC)(AB)C =；
分配律 AC AB C)A(B +=+，
BC AC B)C (A +=+；
数乘矩阵的结合律 (AB)B)A(A)B (k k k ==.
５.矩阵的转置
定义9.６ 将n m ⨯型矩阵n m ij a ⨯=)(A 的行与列互换得到的m n ⨯型矩阵，称为矩阵
A 的转置矩阵，记为T A .即如果
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211
A ， 则 ⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn n n
m m a a a a a a a a a 212221212111T
A
容易验证，转置矩阵具有下列性质： （1）A )(A T
T =；
（2）k k =T
T
(A)A ；
（3）T
T
T
B A B)(A +=+； （4）T T T
A B (AB)
=.
例9.2.7 若
113201-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A
， ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=201231C
求AC 、CA 以及T
A 、T
C .
解 利用矩阵乘法，有
131132120102-⎛⎫
-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-+-⨯=2110320120)1(2231)1(31032)1()1(1 .8283⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--= ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+-⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=123002)1(022********)1(22
112133)1(03)1()1(231)1(102311201231CA
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=204724015.
由转置矩阵的定义，有
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=130121T A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213021T
C .
9.2.3矩阵的初等变换
在解线性方程组时，经常对方程实施下列三种变换：
(1)交换方程组中某两个方程的位置； (2)用一个非零常数k 乘以某一个方程；
（3）将某一个方程的k 倍（0≠k ）加到另一个方程上去. 显然，这三类变换并不会改变方程组的解，我们称这三种方程的运算为方程组的初等变换.把这三类初等变换转移到矩阵上，就是矩阵的初等变换.
定义9.7 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： （1）对换矩阵两行的位置；
（2）用一个非零的数k 遍乘矩阵的某一行元素； （3）将矩阵某一行的k 倍数加到另一行上.
并称（1）为对换变换，称（2）为倍乘变换，称（3）为倍加变换.
在定义中，若把对矩阵施行的三种“行”变换，改为“列”变换，我们就能得到对矩阵的三种列变换，并将其称为矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
为了方便，引入记号：
行初等变换表示为：①j i r r ↔ ②(0)i kr k ≠ ③j i r kr +. 列初等变换表示为：①j i c c ↔ ②(0)i kc k ≠ ③j i c kc +.
定义9.8 如果矩阵A 经过若干次初等变换后变为B ，则称A 与B 是等价的，记作
B A ≅. 显然，等价是同型矩阵间的一种关系，具有反身性、对称性、传递性.
定理9.1 任意矩阵n m ij a ⨯=)(A 都可通过初等变换化为等价标准形，即
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=≅O O K E D A r .
例9.2.8 将矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=101211015321A 化为等价标准形.
解 11232123512351011024621010369r r r r +-+⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-−−−−
→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
A
23212
31212312
3
510110123012301230000r r r r r r +-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−
→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
.
定义9.9 对单位矩阵E 进行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.
初等矩阵有三种：
（1）对矩阵E 交换两行（或列）所得的初等矩阵；
j i ij ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=101101)( E
（2）对矩阵E 的第i 行（或列）乘以常数k ，得到的初等矩阵；
i k
k i ⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=11))(( E （3）对矩阵E 的第j 行（或列）乘以常数l 加到第i 行（或列）上，得到的初等矩阵；
j i l l ij ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=11011))(( E
容易验证：对于矩阵E ，左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵E 作一次初等变换.
定理9.2 对n m ⨯矩阵A 的行（或列）作一次初等变换所得到的矩阵B ，等于用一个相应的m 阶（或n 阶）初等矩阵左（或右）乘A .
例9.2.9 以矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=110211103A 为例验证定理9.2
解 （1）交换矩阵A 的第二、三行，得到的矩阵⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=2111101031A .
初等矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=010100001)23(E 左乘矩阵A ，得到的矩阵为
=2A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001301112011⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-211110103.
显然，有21A E (23)A A ==.
（2）将矩阵A 的第2行乘以常数3加到第一行上，得到的矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=110211736B ；
初等矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=100010031E(12(3))左乘矩阵A ，得到的矩阵为
=C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅110211103⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=110211736.
显然有C E(12(3))A B ==.
（3）由读者验证，将矩阵A 的第2行乘以常数3 等于初等矩阵左乘))3(2(E 矩阵A .
习题 9.2
1.一空调商店销售三种功率的空调：1P 、1.5P 、2P.商店有两个分店，六月份第一分店售出以上型号的空调数量分别为48台、56台和20台；六月份第二分店售出了以上型号的空调数量分别为32台、38台和14台.
（1）用一个矩阵A 表示这一信息；
（2）若在五月份，第一分店售出了以上型号的空调数量分别为42台、46台和15台；第二分店出售了以上型号的空调数量分别为34台、40台和12台.用与A 相同类型的矩阵M 表示这一信息.
（3）求M A +,并说明其实际意义. 2.计算
（1）()43214321-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--43214321
（3）2
sin cos cos sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛θθ
θθ (4)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111073251110 (5)⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---311423035410312 (6)⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10502
4603530304012 3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211201A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131021B ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=240101C ，求T
B)C A (+2.
4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A E )2(T
-．
5.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3011A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1201B ，验证 ：T
T T A B AB =)(.
6.如果两个矩阵A 与B ，满足BA AB =，则称矩阵A 与B 可交换.设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1011A ，求所有与矩阵A 可交换的矩阵.
7.如果方阵A ，满足A A =T
，则称矩阵A 是对称矩阵.求证：T
AA 及A A T
都是对称矩阵.
8.将下列矩阵化成其等价标准形：
（1）⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----422133211 （2）⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---412324112300
9.3 矩阵的秩与逆矩阵
9.3.1矩阵的秩
矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系,而且在讨论线性方程组解的情况中也有重要应用.
１.矩阵的k 阶子式
定义9.10 设A 是n m ⨯矩阵,在A 中位于任意选定的k 行k 列交点上的2
k 个元素,按原来次序组成的k 阶行列式,称为矩阵A 的一个k 阶子式,其中{}n m k ,m in ≤.
例如，矩阵 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=100142321A ,
取A 的第一、二行，第一、三列的相交元素，排成行列式
1
231
为A 的一个二阶子式.
由子式的定义知:子式的行、列是以原行列式的行、列中任取的，所以可以组成
92323=C C 个二阶子式.对一般情况，共有k C C k
n k m 个阶子式.
注 k 阶子式是行列式.非零子式就是行列式的值不等于零的子式.
２.矩阵的秩
定义9.11 如果矩阵A 中存在一个r 阶非零子式,而任一r +1阶子式（如果存在的话）的值全为零,即矩阵A 的非零子式的最高阶数是r ，则称r 为A 的秩，记作)(A r =r .
例9.3.1 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=8113143311122
1A 的秩.
解 因为A 的一个二阶子式
053
12
1≠-=-
所以 A 的非零子式的最高阶数至少是2,即()2≥A r .A 的所有三阶子式：个43
433=C C
.08
1
1
143311
220,8
1
3
14311121,08
1
3
14311121,01
1
3
331221=---=--=--=-- 即所有的三阶子式均为零,故()2=A r
不难得到，矩阵的秩具有下列性质 （1）)()(T
r r A A =； （2）},min{)(0n m r ≤≤Α.
若},min{)(n m r =A ，则称矩阵A 为满秩矩阵.并规定零矩阵O 的秩为零,即0)(=O r .若矩阵A 为n 阶方阵，当0≠A 时，有n r =)(A ，称A 为满秩矩阵.
用定义求矩阵的秩，必须从一阶子式开始计算，直到某阶子式都为零时才能确定，显然非常麻烦，为此我们来研究阶梯形矩阵.
3. 阶梯形矩阵
定义9.12 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵. （1）矩阵若有零行（元素全部为零的行），零行全部在下方；
（2）各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随着行标的递增而严格增大.
由定义可知,如果阶梯形矩阵A 有r 个非零行,且第一行的第一个不为零的元素是11j a ,第二行的第一个不为零的元素是22j a ,…,第r 行的一个不为零的元素是r rj a ,则有
11r j j n ≤≤≤≤,其中n 是阶梯形矩阵A 的列数.
其一般形式为
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⨯0000
00000000002221112121 rn rj n r j n r j n
m a a a a a a a a a r
A , 其中，()r i a r ij ,,2,1,0 =≠， 而下方r m -行的元素全为0.
注 (1)阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数r .
(2)任意矩阵通过初等变换都能化为阶梯形矩阵. （3如果阶梯形矩阵的非零行的首非零元素都是1，且所有首非零元素所在的列的其余元素都是零，则称此矩阵为行简化阶梯形矩阵.
由秩的定义可以证明以下重要结论，（本书略去证明）. 定理9.3 初等变换不改变矩阵的秩.
由此得到求矩阵秩的有效方法：通过初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩.
例9.3.2 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=21112111
2A 的秩.
解 ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++-↔3303301212111121212111211122131212r r r r r r A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--−−→−+00033012132r r .
所以 矩阵A 的秩为2,即2)(=A r .
9.3.2逆矩阵
1. 逆矩阵的概念
代数方程b ax =，当0≠a 时，有解b a a b x 1-=÷=（其中111==--aa a a ）.类似地，对于矩阵方程B AX =，它的解X 是否也能表示为B A 1-？若能,这里的1-A 是矩阵吗？如何来求得1-A ？
定义9.13 设A 是n 阶方阵，如果存在一个n 阶方阵B ，使
E BA AB == （9.5）
则称矩阵A 是可逆矩阵,简称A 可逆,并把方阵B 称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即
1-=A B .
例如，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=461351341B
因为 =AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛=100010001，
=BA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=100010001，
即A ,B 满足E BA AB ==,所以矩阵A 可逆，其逆矩阵B A
=-1
.
在公式（9.5）中A 与B 的地位是平等的,因此也可以称B 为可逆矩阵，称A 为B 的逆矩阵，即A B
=-1
.
注 （1）单位矩阵E 的逆矩阵就是它本身，因为E E E =.
（2）任何n 阶零矩阵都不可逆.因为对任何与n 阶零矩阵同阶的方阵B ，都有
O OB BO ==.
（3）如果方阵A 是可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.
2.逆矩阵的求法
对矩阵A ，何时可逆？若A 可逆，又如何求1-A 呢？ （1）利用伴随矩阵求逆矩阵
定义9.14 设n 阶方阵⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n
n n a a a a a a a a a 2122212
12111A ，将行列式A
的2
n 个代数余子式ij A 排成下列n 阶矩阵，并记为*A
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=nn n n
n n A A A A A A A A A 212221212111*
A
则矩阵*A 叫做矩阵A 的伴随矩阵.
定理9.4 （求1
-A 的一种方法---伴随矩阵法）n 阶方阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且当A 可逆时，*-=
A A
A
11
. 证 必要性.
因为A 可逆，即有1
-A ，使E AA =-1
，
故1||||||||1
1===--E A A AA ，所以0||≠A . 充分性.
设⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a 21
22221
11211A ，且0≠A . 由矩阵乘法和行列式的性质，有
=
*
AA ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛nn 2n 1n
n22212n12111
A A A A A A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=||000||000||A A A
E A ||=
因为0||≠A ，所以
E AA A =)(|
|1
*. 于是，得 E A A A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛*||1. 同理可证 E A A A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛*||1. 所以有 *1
|
|1
A A A =
-. 定理得证. 例9.3.3 求方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=012411210A 的逆矩阵.
解 因为02≠=A ，所以矩阵A 可逆.
24
121)1(;20
12
1)1(;4014
1)1(1
3311
2211
111=-=-=--==--=+++A A A ；
24
120)1(;40
220)1(;80241)1(23322
2222112=-=-=-==-=+++A A A ；
11
110)1(;21
21
)
1(;31
21
1
)
1(3
3333
2233
113-=-==--=-=--=+++A A A .
所以==-*
1
||1A A A
⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--
--=⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2112
3124
11
2
12324822421.
（2）利用初等行变换求逆矩阵
可以证明：由方阵A 作矩阵（E A ），用矩阵的初等行变换将（E A ）化为（C E ），
C 即为A 的逆阵1-A .
例9.3.4 求方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=121112
211A 的逆矩阵.
解
)(E A ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→+-+-101130012510001211100121010112
0012113
1212 r r r r ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−+-+-13514000125100113011011300125100012111
23232 r r r r r
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
----−−→−++-14114314510014514114
30101431451410011411431451000125100113011
323351413
r r r r r 所以 =-1
A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--14114
3145145141143143145141. 3.逆矩阵的运算性质
（1）若E AB =（或E BA =），则1
-=A B ，1
-=B A .
事实上，由E AB =，得1||===E ||B ||A ||AB ，故0||≠A ，于是A 可逆，在等式
E AB =两边同时左乘1-A ，即得1-=A B ，同理易得1-=B A .
这一结论说明，如果要验证B 是A 的逆矩阵，只要验证一个等式E AB =或E BA =即
可，不必再按定义验证两个等式.
（2）A A =--1
1)
(.
（3）若A 可逆，则T
A 也可逆，且T T
)()
(11
--=A A .
事实上，由于A 可逆，则E AA
=-1
，所以E E AA ==-T T )(1，即
E A A =-T T )(1，由逆矩阵的运算性质（1），得T
T )()(11--=A A .
（4）若B A,均可逆，则AB 也可逆，且111
)
(---=A B AB .
例9.3.5 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=3512B ，⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=130231C 求满足AXB =C 的矩阵X .
解 若1-A ，1-B 存在，则在C AXB =的两边同时左称乘1-A ，右乘1-B ，得
1111----=CB A AXBB A ，即
1
1
--=CB A X .
由例9.3.3知⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
----=-2112
31241121A ，又求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131
B .
从而1
1--=CB A X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
--=2112
3124112⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛130231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=5113373⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--2513.92223561126⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---= 例9.3.6 已知321,,x x x 到321,,y y y 的线性变换为
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++=+=
213
3212321242x
x y x x x y x x y 试求以321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换.
解 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411
210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=321y y y Y ，
则所给线性变换的矩阵形式为AX Y =.若1
-A 存在，则两边左乘1
-A ，得到Y A X 1
-=， 由例9.3.3可知1
-A 存在，于是
Y A X 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=211
2
3124112⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛321y y y ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-+-=321321
3212123242y y y y y y y y y
从而，得到从321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+-=+-=+-=3
2133
2123
211
2123242y
y y x y y y x y
y y x
习题 9.3
1.根据矩阵秩的定义求下列矩阵的秩.
(1) ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡343322321 (2)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---135243121 2.求下列矩阵的秩.
(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12112332
2111 (2)⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121023*********
1 (3)⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11011111100222021110 (4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------342432226λλλ
3．求下列方阵的逆矩阵：
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11021
0321 （2）⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---111103231 4．设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡-=022011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210321B ，计算1
)(-BA ． 5．解下列矩阵方程
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11220110X )2( ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1030121213X
6．已知⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011213112A ，设2
()2f E λλλ=--，求)(A f .
7．试证：设A 是n 阶矩阵，若O A =3
，则21
)
(A A E A E ++=--．
本章小结
本章主要介绍了n 阶行列式的概念、性质和计算方法，矩阵的概念、特殊矩阵、矩阵的运算、可逆矩阵的概念和逆矩阵的判别和求法、矩阵的秩.
1.计算行列式的值.
n 阶行列式是一个数，通过计算可以求出最终的数值.
ij a 的代数余子式ij A 只与ij a 所在的位置有关，而与ij a 本身大小无关.
定理9.1说明，行列式可以按任意一行（或列）展开，可以将一个较高阶的行列式化简为一些低阶的行列式的和，简化行列式计算.
计算行列式方法有：
（1）二阶、三阶行列式利用定义计算；
（2）利用展开式（9.3）式计算，选择0元素较多的行（列）进行展开； （3）利用行列式的性质转化为三角行列式进行计算； （4）先利用行列式的性质把某行（或列）化为只有一个元素不为零，再利用展开式（9.3）式，交替使用性质、定理来计算.
在行列式的计算中，首先要观察分析行列式各行（或列）元素的构造特点，然后利用行列式的性质化简行列式，同时要注意尽量避免分数运算，避免计算错误.
２. 矩阵的运算.
矩阵的运算主要包括：矩阵加法、矩阵的数乘、矩阵乘法、矩阵转置和矩阵的初等行变换，要求掌握这些运算方法和运算规则，记住矩阵运算必须满足的一定条件，注意矩阵运算与数的运算的不同之处.
矩阵乘法的条件是：左矩阵A 的列数=右矩阵B 的行数.
一般情况下，矩阵乘法不满足交换律和消去律.即=AB BA ；且当=AB AC 时，即使有≠A O 也不能得出B =C 的结论.只有当A 是可逆矩阵（即||0≠A ）时，由
=⇒=AB AC B C .
当矩阵,A B 满足=AB BA 时，称矩阵A B 与是可交换的.
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
矩阵经过初等行变换后，对应元素一般不相等，因此矩阵之间不能用等号连接，而是用“→”连接，表示两个矩阵之间存在某种关系.
３．可逆矩阵的判别和求逆矩阵.
只有方阵才有可逆矩阵的概念，只有非奇异矩阵（即矩阵的行列式不等于零）才存在逆矩阵.
n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件为||0≠A ，或者()r n =A .
设A B 和都是n 阶矩阵，如果=AB E 成立，则B A 和都是可逆的. 求逆矩阵的方法：
（1）利用伴随矩阵：1
||
*
-=A A A .
注意，伴随矩阵*A 中元素的排列顺序与一般矩阵中元素的排列顺序不同.
（2）利用初等行变换：1()()-−−−−
→A E E A 初等行变换
用初等行变换法求逆矩阵时，不能用列变换.
４.求矩阵的秩.
矩阵的秩是一个非常有用的概念，它不仅与可逆矩阵的讨论有密切关系，而且在下一章线性方程组解的情况讨论中也有重要应用.
求矩阵秩的方法： 用初等行变换将矩阵A 化为阶梯矩阵，则秩()A 等于阶梯形矩阵中非零行的行数.
要记住矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
综合习题9
一.填空题
1.一阶行列式2-的值等于_________.
2.行列式3
44103
1
12
--中元素（4-）的代数余子式的值为___________. 3.设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 中元素_____23=a . 4.设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=413121,112101B A ，则()__________,]T T T ==+AB B [A .
5.设B A,为n 阶矩阵，则等式2
2
2
2)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 .
6.已知矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则____1
=-A .
7.设矩阵[]021-=A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100112B ，则AB ＝ ． 8.设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B , 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行 第1列的元素的值是 ．
9. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有 关系式 .
10.设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=2131
A ，则A E 2-= .
11.当a 时，矩阵⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=a 131A 可逆. 12.设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a = ，b = 时，A 是对称矩阵. 13.当λ= 时，矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λ42045114321的秩最小. 二.单项选择题
14．四阶行列式
=4
4
332211
000000a b a b b a b a （ ）
A.a b b b b a a a a 3214321-
B. a b b b b a a a a 3214321+
C.))((43432121b b a a b b a a --
D.))((41413232b b a a b b a a --
15.设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，若矩阵T
ACB 有意义，则矩阵C 为( )型 A. 54⨯ B. 24⨯ C. 53⨯ D. 23⨯
16．设C B,A,均为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，则下列结论或等式成立的是（ ） A. 2
222)(B AB ΑB A ++=+ B. 若AC AB =且O A ≠则C B =
C. []A B A B A(A T
2T
)-=- D. 若O B O,A ≠≠，则O AB ≠
17. 设B A,均为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 （ ）．。