矩阵与行列式

第9章 行列式与矩阵

学习目标

了解n 阶行列式定义,理解行列式性质. 掌握二阶、三阶、四阶行列式的计算.

理解矩阵的概念、逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，了解矩阵秩的概念.

掌握几种特殊矩阵，掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律、矩阵的初等行变换和用初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算.

§9.1 行列式的概念与计算

9.1.1二阶、三阶行列式

用消元法解二元线性方程组 ⎩⎨

⎧=+=+2

2221211

212111b x a x a b x a x a （9.1）

当021122211≠-a a a a 时，得 211222*********a a a a a b a b x --=

，21

1222111

212112a a a a b a b a x --=

为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.

1．二阶行列式的定义

定义9.1 用2

2个数组成的记号

22

21

1211a a a a ，表示数值21122211a a a a -，称为二阶行

列式，22211211,,,a a a a 称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.

利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式0≠D 时，它的解可以用行列式表示为

1

12111

22221212121112111221222122

,

b a a b b a a b D D x x a a a a D D a a a a ====

其中1D 和2D 是以21,b b 分别替换系数行列式D 中第一列、第二列的元素所得到的两个

二阶行列式.

例9.1.1 用行列式解线性方程组 ⎩⎨

⎧=+=-1

533

22121x x x x .

解 因为135

3

12=-=D ， 165

1

131=-=

D ，71

3322-==

D .

所以 1212167,1313

D D x x D D =

===-. 类似地，用2

3个数组成的记号 33

32

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a ，表示数值 ++312312332211a a a a a a

322311332112312213322113a a a a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，即

33

32

31

23222113

1211a a a a a a a a a =322113312312332211a a a a a a a a a ++ 322311332112312213a a a a a a a a a ---.

它是由3行3列共9个元素构成，是6项代数和.这9个元素排成3行3列，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆，如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号，虚线上三个元素的乘积取负号.

例9.1.2 计算三阶行列式312

20315

4

--.

解 原式＝-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯⨯421)1(02252)1()3(1403 604580203035)3(=+--++=⨯⨯-.

33323123

222113

1211a

a a a

a a a

a a 取+号 取-号 图9.1

例9.1.3 解不等式 01

1401

1>x x .

解 因为11

1401

12-=x x x ，原不等式化为012>-x . 故不等式的解集为{11}x x x ><-或.

9.1.2阶行列式

1．n 阶行列式的定义

定义9.２ 由2

n 个数组成的一个算式

nn

n n n

n

a a a a a a a a a D

21

22221

11211=

，

称为n 阶行列式，其中ij a 称为D 的第i 行第j 列的元素),,2,1,(n j i =.

当1=n 时，规定1111a a D ==.n 阶行列式简记为ij a .

定义９.３ 在n 阶行列式ij a D =中去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的

1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M .

将ij j

i M +-)

1(叫做元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即有ij j i ij M A +-=)1(.

设1-n 阶行列式已定义，则n 阶行列式

∑==+++=n

j j j n n A a A a A a A a D 1

111112121111 . （9.2）

例如，当3=n 时，

33

32

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a 131312121111A a A a A a ++=. 例9.1.4 写出四阶行列式

251714

9

6

3

8129131

2

411

---

的元素32a 的余子式和代数余子式.