《角的概念的推广》教案1

《角的概念的推广》教案
一、教学目标
知识与技能
1.认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分.
2.能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性.
3.能用集合和数学符号表示象限角.
4.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
过程与方法
1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用.
2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容.
情感、态度和价值观
通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.
二、教学重、难点
教学重点
形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法.
教学难点
终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示.
三、教学方法
本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.
四、课时
1课时
五、教学过程
引入：复习静态数学观下，按图形组合方式定义角.
师问：角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？
生答：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
师问：不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多少？
生答：两个和为360°，0°～360°（大于等于0°且小于360°）.
师问：在图上我们如何区分这两个角？
生答：标示、添加描述条件等.
为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.
师问：两种定义方式有什么异同之处？
解答：
角组合式旋转式
边两条射线一条射线，另一边是其经过旋转变换的结果
顶点公共端点旋转中心
个数两个
范围0°～360°
思考在旋转式定义方式下，我们会产生这样的质疑：
1．一次旋转而得的角有几个？
2．两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？
3．当旋转超过一周时，如何描述旋转量？
发现静态数学观下，按“图形组合”的方式定义角的概念有很大的局限性.
比较两种角的定义，发现差异，为角的概念的推广做准备.
概念形成：任意角的概念
按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
当射线没有旋转时，叫做零角.
在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝
对量.旋转生成的角，又常叫做转角.
任意角的图示方法
如图，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围必须被扩充.
一．任意角的概念
我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念有什么影响？
（1）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么质疑一中提到的问题就可以解决了；
（2）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值可大于360°.这样质疑二中的问题就可以解决了；
（3）旋转中心：作为角的顶点.
板书
按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
当射线没有旋转时，叫做零角.
在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.
如课本图1－1，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.
例：∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°.
以旋转变换的要素为线索，发现旋转式定义是如何扩充角的概念的.
应用举例
例题如图课本图1－2，射线’OA绕端点O旋转，旋转的绝对量超过了周角，按照图中箭头所指的方向和弧线表示的周数，可以表示角的度数.
练习读角练习.教师讲解，学生练习，在实践中巩固所学概念.
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
二．角的合成与运算
例题课本P4
小结各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
根据已有的定义，我们可以发现：如果把度数相同的角看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.
于是，角的合成可以用实数运算来表示.
练习
1．课本P7.练习A.5题
2．课本P6练习A.2题（3）
让学生体会数形结合思想的应用
概念形成：如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角.
一般地，如果是终边相同的角，那么我们记，当k＝0时，两个角相同.
如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角中有很多角的边是重合的.
因此我们定义：
三．终边相同的角
1．定义
如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角. 2．表示方法
思考终边相同的角度数相等么？反之，度数相等的角终边相同么？
解答终边相同的角度数不一定相等；而度数相等的角终边一定相同？
思考终边相同的两个角的度数有什么关系？
解答终边相同的两个角的位置关系是——两边重合，数量关系是——差是360°的整数倍. 思考设是终边相同的两个角，如何用符号语言表示其数量关系？
解答通过变形可以得到
小结一般地，如果 是终边相同的角，那么我们记，当k ＝0时，两个角相同.
说明我们来总结一下，如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的. 从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：每旋转360°的整数倍后两角重合.
3．终边相同的角的集合
设 表示任意角，所有与 终边相同的角，包括 本身构成一个集合，这个集合可记为{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ.
集合中的每一个元素都与 的终边相同，当k ＝0时，对应元素为
{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ
借助终边相同的角的表示方法，研究旋转变换的数量表示形式，体现数形结合的思想与方法 应用举例
1.课本P6.例4教师讲解，学生练习 在实践中巩固所学概念
概念推广：从终边相同的角的符号表示方法推出符号表示终边满足一定条件的角的方法 例如，Z k k ∈︒⋅+=,180αβ，表示角 每次旋转180°
Z k k ∈︒⋅+=,90αβ 表示角 每次旋转90旋转次数，360°表示单位旋转量.改变这些常数，表示不同的旋转过程角α与角－α 的终边关于x 轴对称等.
重点在于让学生建立起图形变换可以通过数量关系式加以描述的观念，并掌握具体方法 用探究所得的思想和方法解决新问题.
应用举例 『例题』课本P5.例3
五、象限角的概念
今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角.
定义：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点和平面直角坐标系的原点重合，角的始边和x 轴的正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角. 将任意角等概念与坐标系相结合，为三角函数做准备.
应用举例
1． 课本P7.练习A.4
2． 课本P7.练习B.4
3． 如果用数轴上的点表示角度，象限角所对应的点如何分布？
总结
1、任意角的概念
2、角的合成与运算
3、终边相同的角的表示方法
4、终边满足一定条件的角的表示方法
5、象限角的概念与表示方法教师带领学生回顾，简单绘制本节课的知识脉络图。