§7-2 简谐振动的叠加
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y
ω1
A1
而是一种复杂振动
矢量图解法（如图） 由矢量图得合振动的振幅为
ω2
A
A2 ω 1 A 1
x
A
O
A2
ω2
A A12 A2 2 2 A1 A2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异
而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。
2 A cos(
2 1
2
t )cos(
2 1
2
t )
拍频的振幅为
2 A cos(
2 1
2
t)
振幅的周期为 T π(
拍频为 1 2 1 2 1 T 2 拍的振动曲线如右图
2 2π ) 2 1 2 1
三、两个互相垂直的简谐振动的合成
尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性
总能量
变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。
由公式
1 2 1 1 2 2 E mv k x kA 2 2 2
k 2 2 2 2 v ( A x ) A x 得 m 此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大； 在最大位移处，x = A, 速度为零。 3
3
{
t/s
-4.0
π
3
)m
又由曲线知 当 t =1s 时,x =0,代入上式得
0 4.0 10
2
cos(
) m
1
因 0 即
(
2
所以
3
π 3
-1
rad s
5 6
1
π 2
-1
rad s
1
) rad s
rad s
2
简谐振动的表达式为 x 4.0 10
例2 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写 出该振动的位移与时间的关系。
A = 4.0×102 m A 当t =0 时， x0 = , v0 > 0 2 由式 x0 = A cos
解 由图知
x/cm
4.0 2.0 O -2.0
P
1
v0 = A sin 解得 3 2 所以 x 4.0 10 cos(t
2
+ [ A(0 2 ) sin 2 A cos ] sin t h cos t
2
由此得
A(0 2 ) cos 2 A sin h
2
(4)
A(0 2 )sin 2 A cos 0
2
(5)
19
A
θ
根据牛顿第二定律得 d 2
ml dt
2
mg sin
O
mgsinθ
F
h
当偏角 很小时， sin d 2 mg 所以 m l 2
dt
mg
mgcosθ
4
即
d
2
dt
2
2 0
其中
2
g l
解微分方程得
= 0 cos ( t+)
-B A y
x
合振动沿顺时针方向进行；
β = /2 时，
-A
合振动沿逆时针方向进行。
若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。
O -A
A x
3. 如果()不为上述数 值，那么合振动的轨迹 为处于边长分别为2A(x 方向)和2B(y方向)的矩 形范围内的任意确定的 椭圆。
两个分振动的频率相差 较大，但有简单的整数比 关系，这样的合振动曲线 称为利萨如图形。 不同频率的垂直振动运动的合成。
例3 长为l 的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质
量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是 系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一 小角度，由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动, 称 为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。
解 物体受 mg 和 F 两个力作用
x y cos cos sin t sin( ) A B
x y sin sin cos t sin( ) A B
（ 5）
以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得
（ 6）
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 2 2 x y 2 xy 2 cos( ) sin ( ) 2 2 A B AB
2
2!
4
4!
6
6!
因为 很小，上式只取前两项，
5
所以 总能量
E 1 2
1 1 2 2 Ep m g l m g l 0 cos2 ( t ) 2 2
E Ek Ep
ml 0 sin (t )
2
2
2
2
2
1 2
m gl 0 cos (t )
其解 x A0e
cos(t ) A cos(t )
(2)
此式表示, 受迫振动是由阻尼振动 A0 e t cos(t ) 和简谐振动 A cos(t ) 两项叠加而成的。
18
受迫振动达到稳定状态时 x A cos(t ) (3) 可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力 同频率的简谐振动。
§7-3 阻尼振动、受迫振动和共振
一、阻尼振动(damped vibration) 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 以物体受流体阻力作用下的振动为例： dx 阻力为 F v dt d2 x dx kx 0 物体的振动方程 m 2 dt dt 令 0
2
k m
φ
A1 x1 x x
O
x2
φ1
讨论：1. 2 1 2kπ k 0,1,2,
A A1 A2
A
A1
A2
合振幅最大，振动加强
2.
2 1 (2k 1)π k 0,1,2, A2 A A1 A2 A1 A 合振幅减小，振动减弱
由式 (6) 和式 (7) 看出，受迫振动的初相位 和振 幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动
力的频率和幅度有关。
20
三、共振(resonance) 当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受 迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达
振动曲线如图，是一种准周期性运动。 周期为 T 2. 当
x(t )
2π
2π
0
2
2
O
x(t )
过阻尼
t
2 2 时， 0
阻尼较大，即过阻尼，
不再是周期性运动，如图。 O 3. 当 202时，处于临界阻尼状态，如图。
t
临界阻尼
17
二、受迫振动(forced vibration)
x x1 x2 A1 cos(t 1 ) A2 cos(t 2 )
x A cos( t ) （仍为同频率谐振动）
y A
由矢量图得 而
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A2
φ2
A1 sin 1 A2 sin 2 arc tan A1 cos 1 A2 cos 2
将(3)式代入(1)得 2 2 A(0 ) cos( t ) 2 A sin( t ) h cos t 将cos ( t ) 和 sin ( t) 展开，则
[ A(0 2 ) cos 2 A sin ] cos t
,2
m
, 则有
dx d2 x 2 2 0 x0 2 dt dt
式中ω0称为振动系统的固有角频率，β称为阻
尼常量。
16
讨论：1. 当 2 02 时，阻尼较小 ，上式的解为
x A0e
其中
t
cos(t )
2
x(t )
0
2
O
t
欠阻尼
在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。 引起受迫振动的周期性外力称为驱动力。
设驱动力为 F cos t，则振动方程
或
d2 x dx m 2 k x F cos t dt dt 2 d x dx 2 2 0 x hcos t 2 dt dt
t
(1)
说明了在偏角θ很小时, 单摆的振动是简谐振动。
单摆系统的机械能包括两部分：
1 2 2 2 2 2 动能 Ek m v m(l ) m l 0 sin (t ) 2 2 2
2
1
1
势能
Ep = m g h = m g l (1—cos )
cos 1
将cos 展开
3.
一般情况下为任意值
2 1 π
A1 A2 A A1 A2
A2
源自文库
A A1
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成
1t 1 ) 两谐振动分别为 x1 A1 cos( x2 A2 cos( 2t 2 )
合振动 x x1 x2 A1 cos(1t 1 ) A2 cos(2t 2 ) 合振动不再是谐振动，
cos(t
5π
四、简谐振动的能量 以弹簧振子为例 x = A cos ( t+) v = A sin ( t+)
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 ( t ) 2 2 1 2 1 2 Ep k x kA cos2 ( t ) 2 2
rad s )m 6 3
1
π
由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性 变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到 最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所 2 以动能也达到最大值。
1 1 2 2 2 2 E Ek Ep m A sin ( t ) kA cos2 ( t ) 2 2 1 1 2 2 2 2 因为 k / m 所以 E 2 m A 2 kA
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（β－α）。 讨论： 1. 0 或 时 x y 2 B ( ) 0 即 y x A B A 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。
y
B b -A
a
o
-B
A x
合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
x1 A cos( 1t )
2 1
x2 A cos( 2t )
合振动为 x x1 x2 A cos( 1t ) A cos( 2t )
两简谐振动为
x A cos(t )
y B cos(t )
（ 1）
（ 2）
以cos乘以(3)式，cos乘以(4)式，再两式相减得
x cost cos sin t sin 改写为 A y cos t cos sint sin B
（ 3） （ 4）
2
2
因为 l 1 1 2 2 2 2 所以 E m g l 0 m l 0 2 2 上式表示, 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的
g
动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒
定不变的，并与振幅的平方成正比。
6
§7-2 简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动 x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 合振动
0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A； 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。
合振动的振幅
C A2 B 2
2. 当 时 2
x2 A
2
y2 B
2
1
-A
B
y
合振动的轨迹是以坐标轴为
主轴的正椭圆，如右图所示。
β = /2 时，
A O
由(4)式求得
arctan
2
0
2
2
2
(6)
由(6)式求得 sin
2
(0 2 )2 4 2 2 h (7) 将上两式代入(4)式得 A 2 2 2 2 2 (0 ) 4
2
cos
(0 2 )2 4 2 2 2 0 2
ω1
A1
而是一种复杂振动
矢量图解法（如图） 由矢量图得合振动的振幅为
ω2
A
A2 ω 1 A 1
x
A
O
A2
ω2
A A12 A2 2 2 A1 A2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异
而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。
2 A cos(
2 1
2
t )cos(
2 1
2
t )
拍频的振幅为
2 A cos(
2 1
2
t)
振幅的周期为 T π(
拍频为 1 2 1 2 1 T 2 拍的振动曲线如右图
2 2π ) 2 1 2 1
三、两个互相垂直的简谐振动的合成
尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性
总能量
变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。
由公式
1 2 1 1 2 2 E mv k x kA 2 2 2
k 2 2 2 2 v ( A x ) A x 得 m 此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大； 在最大位移处，x = A, 速度为零。 3
3
{
t/s
-4.0
π
3
)m
又由曲线知 当 t =1s 时,x =0,代入上式得
0 4.0 10
2
cos(
) m
1
因 0 即
(
2
所以
3
π 3
-1
rad s
5 6
1
π 2
-1
rad s
1
) rad s
rad s
2
简谐振动的表达式为 x 4.0 10
例2 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写 出该振动的位移与时间的关系。
A = 4.0×102 m A 当t =0 时， x0 = , v0 > 0 2 由式 x0 = A cos
解 由图知
x/cm
4.0 2.0 O -2.0
P
1
v0 = A sin 解得 3 2 所以 x 4.0 10 cos(t
2
+ [ A(0 2 ) sin 2 A cos ] sin t h cos t
2
由此得
A(0 2 ) cos 2 A sin h
2
(4)
A(0 2 )sin 2 A cos 0
2
(5)
19
A
θ
根据牛顿第二定律得 d 2
ml dt
2
mg sin
O
mgsinθ
F
h
当偏角 很小时， sin d 2 mg 所以 m l 2
dt
mg
mgcosθ
4
即
d
2
dt
2
2 0
其中
2
g l
解微分方程得
= 0 cos ( t+)
-B A y
x
合振动沿顺时针方向进行；
β = /2 时，
-A
合振动沿逆时针方向进行。
若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。
O -A
A x
3. 如果()不为上述数 值，那么合振动的轨迹 为处于边长分别为2A(x 方向)和2B(y方向)的矩 形范围内的任意确定的 椭圆。
两个分振动的频率相差 较大，但有简单的整数比 关系，这样的合振动曲线 称为利萨如图形。 不同频率的垂直振动运动的合成。
例3 长为l 的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质
量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是 系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一 小角度，由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动, 称 为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。
解 物体受 mg 和 F 两个力作用
x y cos cos sin t sin( ) A B
x y sin sin cos t sin( ) A B
（ 5）
以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得
（ 6）
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 2 2 x y 2 xy 2 cos( ) sin ( ) 2 2 A B AB
2
2!
4
4!
6
6!
因为 很小，上式只取前两项，
5
所以 总能量
E 1 2
1 1 2 2 Ep m g l m g l 0 cos2 ( t ) 2 2
E Ek Ep
ml 0 sin (t )
2
2
2
2
2
1 2
m gl 0 cos (t )
其解 x A0e
cos(t ) A cos(t )
(2)
此式表示, 受迫振动是由阻尼振动 A0 e t cos(t ) 和简谐振动 A cos(t ) 两项叠加而成的。
18
受迫振动达到稳定状态时 x A cos(t ) (3) 可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力 同频率的简谐振动。
§7-3 阻尼振动、受迫振动和共振
一、阻尼振动(damped vibration) 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 以物体受流体阻力作用下的振动为例： dx 阻力为 F v dt d2 x dx kx 0 物体的振动方程 m 2 dt dt 令 0
2
k m
φ
A1 x1 x x
O
x2
φ1
讨论：1. 2 1 2kπ k 0,1,2,
A A1 A2
A
A1
A2
合振幅最大，振动加强
2.
2 1 (2k 1)π k 0,1,2, A2 A A1 A2 A1 A 合振幅减小，振动减弱
由式 (6) 和式 (7) 看出，受迫振动的初相位 和振 幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动
力的频率和幅度有关。
20
三、共振(resonance) 当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受 迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达
振动曲线如图，是一种准周期性运动。 周期为 T 2. 当
x(t )
2π
2π
0
2
2
O
x(t )
过阻尼
t
2 2 时， 0
阻尼较大，即过阻尼，
不再是周期性运动，如图。 O 3. 当 202时，处于临界阻尼状态，如图。
t
临界阻尼
17
二、受迫振动(forced vibration)
x x1 x2 A1 cos(t 1 ) A2 cos(t 2 )
x A cos( t ) （仍为同频率谐振动）
y A
由矢量图得 而
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A2
φ2
A1 sin 1 A2 sin 2 arc tan A1 cos 1 A2 cos 2
将(3)式代入(1)得 2 2 A(0 ) cos( t ) 2 A sin( t ) h cos t 将cos ( t ) 和 sin ( t) 展开，则
[ A(0 2 ) cos 2 A sin ] cos t
,2
m
, 则有
dx d2 x 2 2 0 x0 2 dt dt
式中ω0称为振动系统的固有角频率，β称为阻
尼常量。
16
讨论：1. 当 2 02 时，阻尼较小 ，上式的解为
x A0e
其中
t
cos(t )
2
x(t )
0
2
O
t
欠阻尼
在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。 引起受迫振动的周期性外力称为驱动力。
设驱动力为 F cos t，则振动方程
或
d2 x dx m 2 k x F cos t dt dt 2 d x dx 2 2 0 x hcos t 2 dt dt
t
(1)
说明了在偏角θ很小时, 单摆的振动是简谐振动。
单摆系统的机械能包括两部分：
1 2 2 2 2 2 动能 Ek m v m(l ) m l 0 sin (t ) 2 2 2
2
1
1
势能
Ep = m g h = m g l (1—cos )
cos 1
将cos 展开
3.
一般情况下为任意值
2 1 π
A1 A2 A A1 A2
A2
源自文库
A A1
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成
1t 1 ) 两谐振动分别为 x1 A1 cos( x2 A2 cos( 2t 2 )
合振动 x x1 x2 A1 cos(1t 1 ) A2 cos(2t 2 ) 合振动不再是谐振动，
cos(t
5π
四、简谐振动的能量 以弹簧振子为例 x = A cos ( t+) v = A sin ( t+)
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 ( t ) 2 2 1 2 1 2 Ep k x kA cos2 ( t ) 2 2
rad s )m 6 3
1
π
由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性 变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到 最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所 2 以动能也达到最大值。
1 1 2 2 2 2 E Ek Ep m A sin ( t ) kA cos2 ( t ) 2 2 1 1 2 2 2 2 因为 k / m 所以 E 2 m A 2 kA
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（β－α）。 讨论： 1. 0 或 时 x y 2 B ( ) 0 即 y x A B A 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。
y
B b -A
a
o
-B
A x
合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
x1 A cos( 1t )
2 1
x2 A cos( 2t )
合振动为 x x1 x2 A cos( 1t ) A cos( 2t )
两简谐振动为
x A cos(t )
y B cos(t )
（ 1）
（ 2）
以cos乘以(3)式，cos乘以(4)式，再两式相减得
x cost cos sin t sin 改写为 A y cos t cos sint sin B
（ 3） （ 4）
2
2
因为 l 1 1 2 2 2 2 所以 E m g l 0 m l 0 2 2 上式表示, 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的
g
动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒
定不变的，并与振幅的平方成正比。
6
§7-2 简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动 x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 合振动
0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A； 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。
合振动的振幅
C A2 B 2
2. 当 时 2
x2 A
2
y2 B
2
1
-A
B
y
合振动的轨迹是以坐标轴为
主轴的正椭圆，如右图所示。
β = /2 时，
A O
由(4)式求得
arctan
2
0
2
2
2
(6)
由(6)式求得 sin
2
(0 2 )2 4 2 2 h (7) 将上两式代入(4)式得 A 2 2 2 2 2 (0 ) 4
2
cos
(0 2 )2 4 2 2 2 0 2