可靠性当中常用的失效分布
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式中：t为规定时间，T为产品寿命。
有： R(0) 1; R() 0
假如在t=0时有N件产品开始工作，而到t 时刻有，n(t)个产品失效，仍有N-n(t)个产品 继续工作，则可靠度R(t)的估计值为:
2、累积失效概率和失效概率密度
(1)累积失效概率也称为不可靠度，记 作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的 时间内失效的概率，通常表示为：
第一段曲线是元件的早期 失效期，表明元件开始使 用时，它的失效率高，但 迅速降低。
第二段曲线是元件的偶然 失效期，其特点是失效率 低且稳定，往往可近似看 成是一常数。
第三段曲线是元件的耗损 失效期，失效率随时间延 长而急剧增大。
曲线段 失效时期 失效特征 失效类型
第一段曲 线
第二段曲 线
第三段曲 线
推 导
(t)dt dR(t) 将两边积分得：
R(t)
过 程
t
(t)dt
ln
R(t)即：R(t)
t
e (t )dt 0
0
(2)失效率的单位
失效率λ(t)是一个非常重要的特 征量，它的单位通常用时间的倒数 表示。但对目前具有高可靠性的产 品来说，就需要采用更小的单位来 作为失效率的基本单位，因此失效 率的基本单位用菲特(Fit)来定义，1 菲特=10-9/h=10-6 /1000h，它的意义 是每1000个产品工作106 h，只有一 个失效。
可修产品的平均寿命是指相邻两次故障 间的平均工作时间，称为平均无故障工作时 间或平均故障间隔时间，记作MTBF(Mean Time Between Failures)。
如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，
那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，
记作θ。若产品失效密度函数f(t)已知，由概率
论中数学期望的定义，有：
P(t T t t | T t)
上式表示B事件(T>t)发生的条件下，A事件 (t<T≤ t+△t)发生的概率，表示为P(A|B)。
设t=0时有N个产品正常工作，到t时刻有N-n(t)个产品正 常工作，至t+△t时刻，有N-n(t+△t)个产品正常工作
注意：失效概率λ(t)与失效概率密度f(t)的区别
可修产品平均寿命MTBF估计值为：
1 n nj
MTTF
tij
N i1 j1
式中：N为测试产品所有的故障数； ni为第i个测试产品的故障数；
如果仅考虑首次失 效前的一段工作 时间，两者平均 寿命θ估计值为：
t0 R(t)t
R(t)
推导过程中： P(A|B)=P(AB)/P(B)
系列关系式：
失效率:(t) F ' (t) F '(t) f (t) R'(t)
R(t) 1 F (t) R(t) R(t)
重要关系式:R(t) exp(
t
(t)dt)
0
其 由(t)=-R'(t) / R(t)可得：
早期失效 偶然失效 耗损失效
失效率随 时间降低
失效率低 且平稳
失效率随 时间增大
递减型 恒定型 递增型
重要规律：偶然失效期设 λ(t)=λ，系统的可靠度为：
t
R(t) e0 (t)dt et
4、平均寿命
不可修产品的平均寿命是指产品失效前 的平均工作时间，记为MTTF(Mean Time To Failure)；
(2)失效率曲线 (浴盆曲线)
产品的可靠性取决于
产品的失效率，根据长期
以来的理论研究和数据统
计，发现由许多零件构成
的机器或系统，其失效率
曲线的典型形态如图2.4所
示，由于它的形状与浴盆
的剖面相似，所以又称为
浴盆曲线(Bathtub—curve)，
它明显地分为三段，分别
对应元件的三个不同阶段
或时期。
F(t) P(T t)
或者：F(t)=1-R(t)
有： F(0) 0; F() 1
注意：累积失效概率F(t)与可靠度R(t)是相反 关系：R(t)+F(t)=1
(2)失效概率密度是产品在包含t的单 位时间内发生失效的概率，是累积失效 概率对时间t的导数，记作f(t)。可用下式 表示：
f (t) dF(t) F '(t)；或F(t)
有下列关系： 失效率:(t) F ' (t)
其推导过程：
R(t)
(t) lim (t, t) lim P(t T t t | T t)
t 0
t 0
t
lim P(t T t t T t) lim P(t T t t)
t 0
P(T t)t
t0 P(T t)t
lim F (t t) F (t) F '(t)
t
f (x)dx
dt
0
假设n(t)表示t时刻失效的产品数，△n(t)表示在(t, t+△t)时间内失效的产品数。
累积失效概率为：Fˆ (t)=
到t时刻失效的产品数 试验产品总数
=
n(t) N
失效概率密度为:
3、失效率
(1)失效率定义
失效率(瞬时失效率)是：“工作到t时刻尚未 失效的产品，在该时刻t后的单位时间内发生失效 的概率”，也称为失效率函数，记为λ(t)。由失效 率的定义可知，在t时刻完好的产品，在(t，t+△t) 时间内失效的概率为：
0 tf (t)dt
0 tf (t)dt 0 tdF(t) 0 tdR(t)
tR(t) |0 0
R(t)dt 0
R(t)dt
平均寿命的 意义是可靠 度函数R(t) 与t轴所形成 的面积
不可修产品平均寿命MTTF估计值为：
MTTF
1
Байду номын сангаас
n
ti
n i1
式中：n为测试产品的总数； ti为第i个产品失效前的工作时间。
第二章 可靠性当中常用的失效分布
第一节 可靠性特征量
可靠性是“产品在规定的条件下和规定的 时间内，完成规定功能的能力”。我们把表示 和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可 靠性特征量。
产品的可靠性特征量主要有： (1)可靠度；(2)失效概率密度； (3)累积失效概率；(4)失效率； (5)平均寿命；(6)可靠寿命； (7)中位寿命；(8)特征寿命等。
1、可靠度
可靠度是“产品在规定条件下和规 定时间内完成规定功能的概率”。
显然，规定的时间越短，产品完成规定的 功能的可能性越大；规定的时间越长，产品完 成规定功能的可能性就越小。
可靠度是时间t的函数，故也称为可 靠度函数，记作R(t)
R(t)是一递减函数
可靠度函数可写成： R(t)=P(T>t)
有： R(0) 1; R() 0
假如在t=0时有N件产品开始工作，而到t 时刻有，n(t)个产品失效，仍有N-n(t)个产品 继续工作，则可靠度R(t)的估计值为:
2、累积失效概率和失效概率密度
(1)累积失效概率也称为不可靠度，记 作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的 时间内失效的概率，通常表示为：
第一段曲线是元件的早期 失效期，表明元件开始使 用时，它的失效率高，但 迅速降低。
第二段曲线是元件的偶然 失效期，其特点是失效率 低且稳定，往往可近似看 成是一常数。
第三段曲线是元件的耗损 失效期，失效率随时间延 长而急剧增大。
曲线段 失效时期 失效特征 失效类型
第一段曲 线
第二段曲 线
第三段曲 线
推 导
(t)dt dR(t) 将两边积分得：
R(t)
过 程
t
(t)dt
ln
R(t)即：R(t)
t
e (t )dt 0
0
(2)失效率的单位
失效率λ(t)是一个非常重要的特 征量，它的单位通常用时间的倒数 表示。但对目前具有高可靠性的产 品来说，就需要采用更小的单位来 作为失效率的基本单位，因此失效 率的基本单位用菲特(Fit)来定义，1 菲特=10-9/h=10-6 /1000h，它的意义 是每1000个产品工作106 h，只有一 个失效。
可修产品的平均寿命是指相邻两次故障 间的平均工作时间，称为平均无故障工作时 间或平均故障间隔时间，记作MTBF(Mean Time Between Failures)。
如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，
那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，
记作θ。若产品失效密度函数f(t)已知，由概率
论中数学期望的定义，有：
P(t T t t | T t)
上式表示B事件(T>t)发生的条件下，A事件 (t<T≤ t+△t)发生的概率，表示为P(A|B)。
设t=0时有N个产品正常工作，到t时刻有N-n(t)个产品正 常工作，至t+△t时刻，有N-n(t+△t)个产品正常工作
注意：失效概率λ(t)与失效概率密度f(t)的区别
可修产品平均寿命MTBF估计值为：
1 n nj
MTTF
tij
N i1 j1
式中：N为测试产品所有的故障数； ni为第i个测试产品的故障数；
如果仅考虑首次失 效前的一段工作 时间，两者平均 寿命θ估计值为：
t0 R(t)t
R(t)
推导过程中： P(A|B)=P(AB)/P(B)
系列关系式：
失效率:(t) F ' (t) F '(t) f (t) R'(t)
R(t) 1 F (t) R(t) R(t)
重要关系式:R(t) exp(
t
(t)dt)
0
其 由(t)=-R'(t) / R(t)可得：
早期失效 偶然失效 耗损失效
失效率随 时间降低
失效率低 且平稳
失效率随 时间增大
递减型 恒定型 递增型
重要规律：偶然失效期设 λ(t)=λ，系统的可靠度为：
t
R(t) e0 (t)dt et
4、平均寿命
不可修产品的平均寿命是指产品失效前 的平均工作时间，记为MTTF(Mean Time To Failure)；
(2)失效率曲线 (浴盆曲线)
产品的可靠性取决于
产品的失效率，根据长期
以来的理论研究和数据统
计，发现由许多零件构成
的机器或系统，其失效率
曲线的典型形态如图2.4所
示，由于它的形状与浴盆
的剖面相似，所以又称为
浴盆曲线(Bathtub—curve)，
它明显地分为三段，分别
对应元件的三个不同阶段
或时期。
F(t) P(T t)
或者：F(t)=1-R(t)
有： F(0) 0; F() 1
注意：累积失效概率F(t)与可靠度R(t)是相反 关系：R(t)+F(t)=1
(2)失效概率密度是产品在包含t的单 位时间内发生失效的概率，是累积失效 概率对时间t的导数，记作f(t)。可用下式 表示：
f (t) dF(t) F '(t)；或F(t)
有下列关系： 失效率:(t) F ' (t)
其推导过程：
R(t)
(t) lim (t, t) lim P(t T t t | T t)
t 0
t 0
t
lim P(t T t t T t) lim P(t T t t)
t 0
P(T t)t
t0 P(T t)t
lim F (t t) F (t) F '(t)
t
f (x)dx
dt
0
假设n(t)表示t时刻失效的产品数，△n(t)表示在(t, t+△t)时间内失效的产品数。
累积失效概率为：Fˆ (t)=
到t时刻失效的产品数 试验产品总数
=
n(t) N
失效概率密度为:
3、失效率
(1)失效率定义
失效率(瞬时失效率)是：“工作到t时刻尚未 失效的产品，在该时刻t后的单位时间内发生失效 的概率”，也称为失效率函数，记为λ(t)。由失效 率的定义可知，在t时刻完好的产品，在(t，t+△t) 时间内失效的概率为：
0 tf (t)dt
0 tf (t)dt 0 tdF(t) 0 tdR(t)
tR(t) |0 0
R(t)dt 0
R(t)dt
平均寿命的 意义是可靠 度函数R(t) 与t轴所形成 的面积
不可修产品平均寿命MTTF估计值为：
MTTF
1
Байду номын сангаас
n
ti
n i1
式中：n为测试产品的总数； ti为第i个产品失效前的工作时间。
第二章 可靠性当中常用的失效分布
第一节 可靠性特征量
可靠性是“产品在规定的条件下和规定的 时间内，完成规定功能的能力”。我们把表示 和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可 靠性特征量。
产品的可靠性特征量主要有： (1)可靠度；(2)失效概率密度； (3)累积失效概率；(4)失效率； (5)平均寿命；(6)可靠寿命； (7)中位寿命；(8)特征寿命等。
1、可靠度
可靠度是“产品在规定条件下和规 定时间内完成规定功能的概率”。
显然，规定的时间越短，产品完成规定的 功能的可能性越大；规定的时间越长，产品完 成规定功能的可能性就越小。
可靠度是时间t的函数，故也称为可 靠度函数，记作R(t)
R(t)是一递减函数
可靠度函数可写成： R(t)=P(T>t)