材料力学第五章梁弯曲时的位移课件

qw q0 (l39lx 28x3)
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
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M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
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x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
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x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
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q0
1 8
q0l
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挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
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挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
w 2F( 6 lE 2 b b 2 I)x l 6 F Ex b 3 I l6 F E(x I a )3
本教材中
约束条件 连续条件
边界条件
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例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用，试求梁的转角方程和挠度 方程，并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。
P160 例5-1
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边界条件
x = 0 时：
w0 w0
M (x)F(lx) E w I M (x ) F (l x )
第五章 梁弯曲时的位移
◆ 梁的位移——挠度及转角 ◆ 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 ◆ 按叠加原理计算梁的挠度和转角 ◆ 奇异函数·梁挠曲线的初参数方程 ◆ 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施 ◆ 梁内的弯曲应变能
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§5-1 梁的位移 — 挠度和转角
当梁发生对称弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯成一条平面曲线。
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F a M 例3：悬臂梁如图，已知 、 ， ＝0.5 Fa，梁的弯曲刚度 EI 为常数，
试画出挠曲线的大致形状。
FM
A
B
C
D
a
a
a
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FM
A
H
B
C
D
x
a
a
a
y
0.5Fa
－
M＜0，挠曲线上凸； H 为挠曲线的拐点；
＋
0.5Fa
M图
M＞0，挠曲线下凸； M＝0，挠曲线为直线。
挠曲线
光 滑
连
续
曲
线
挠度 w
转角 q
—— 线位移 —— 角位移
梁的位移
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w = f (x)
挠曲线方程 （挠度方程）
f 小变形情况下： = tanq ≈q
q = f ( x )
转角方程
w 图示坐标下： 向下为正，
q 顺时针转为正。
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程 及其积分
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确定积分常数
连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D2 0
C1C2
Fb(l2b2) 6l
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AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
积分
Ew IEqIFlxF2xC
EI wFl2xF3xC xD2 26
C0 D0
w q FlxFx2
EI 2EI
w Flx2 Fx3 2EI 6EI
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例2：简支梁在D点受集中力F 作用，试求梁的转角方程和挠度方程， 并求最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。
P162 例5-3
梁中性层的曲率：
1
r (x)
＝
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2 ）3/2
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±
w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
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－ 学第五章梁弯曲时的位移
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例4：已知一直梁的挠曲线方程为
wq0x(l33lx22x3) 4E 8 I
试求：
x x l 0 ① 端点（ ＝ 及 ＝ ）的约束情况；
② 画弯矩图、剪力图； ③ 荷载情况，并画出梁的简图。
正问题 反问题
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wq0x(l33lx22x3) 4E 8 I
EI1w Fl b x63C1xD1
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a x l DB段（ ≤ ≤ ）：
M2(x)F l b xF(xa)
Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2IF l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
M(x) E Iz
挠曲线近似微分方程
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等直梁： E I w ＝－ M(x)
E I 为常量
EqIM (x)dxC
E I w [M (x )d x ]d x C D x
积分法
积分常数由边界条件、连续条件确定
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可以证明：当a ＞b 时，梁最大挠度发生在AD段。
w1 0
x0
l2 b2 3
Fb(l2 b2)3/2 wmax 9 3EIl
而
wC
Fb(3l2 4b2) 48EI
w w C 与 max 非常接近，最大误差2.65％。
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点，则可用梁中点的挠度代替最 大挠度。