高考中的分类讨论思想方法
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科 教 文化
・ １ ９ １ ．
高考 中的分类讨论思想 方法
蔡 馨
（ 哈 尔滨 市 １ ６ ２中学 ， 黑龙 江 哈 尔滨 １ ５ ０ ０ ６ ０ ） 摘 要： 结合 实际， 重点探 讨 了高考 中的分类讨论 思想方法。 关键词 ： 高考； 数学 ； 分类讨论
分类讨 论 的思想方 法是解 决数学 问题 的重要 思想 方法之 一 ， 也是我们平 时研究 问题 最常用 ， 最简单 的方法。简单来说 ， 分类讨 论就是根据 数学对象 的本 质属性 的相 同点和不 同点 ，将对 象区分 为不 同种类 ， 逐类 进行研 究和解 决 ， 从 而达到 解决全 问题 的 目的。 分 类讨 论的思想 方法有 三个特点 ： ａ ． 对什 么东西分类 ， 即分类 的对 象． ｂ ． 按什 么标准 分类 ， 即分类 的标志 ． ｃ ． 分成 哪几类 ， 即确定 分类 的结果 。分类 一定要注意科 学性 ， 缺乏科学依 据分类 ， 不但无 法显 示 对象 的根 本特征 ， 甚至还会把 不同性质 的事 物混淆在一 起 ， 歪 曲 事 实 的实际情况 ， 得 出错 误 的结 论 ， 因此 分类 必须遵循 逻辑 规则 。 在 高中数学 中 ，经常遇到需要 进行分类讨 论的常见 的归纳起 来有 以下四种类 型 ：
极值点 ， 则 ａ的取值为 — —
１
图 １
ｘ２
－
解析 ： 即ｆ （ ｘ ） ＝ （ ａ 一 １ ） ｘ ２ ＋ ａ ｘ 一 ７ ‘ － ＝ Ｏ有解 ， 考虑方程 系数要 用到分类 思想 。 当ａ 一 １ ＝ ０时 ， 满足 ， 当ａ 一 １ ≠０时 ， 只需 △＝ ａ （ ａ － １ ） ＞Ｏ
圆
３ 涉 及 有 关 不 确 定 的 图 形 时 Байду номын сангаас 注 意 分 类 讨 论
即 寺满 足Ｂ 中 的 方 程 ， 故 １ ∈ Ｂ ， ・ ． ・ Ａ Ｎ Ｆ ： 卜 ２ ｝ ， 则一 ２ Ｅ Ａ ， 且
－
迹方程 ， 并说明它表示什么曲线。 ０ ＝ 一 １则 一 ！２ Ｅ Ｂ ， 与一 ２ Ｂ 矛盾。又由Ａ Ａ Ｂ ≠ ， ． ・ ． ｘ ０ ＝ ， 即 解 ：如 图 ，设 ＭＮ切 圆 Ｃ于 Ｎ，则动 点 Ｍ组成 的集 合是 Ｐ ＝ ２ Ｘ Ｏ Ｘ ｏ
ｆ Ｍ Ｉ Ｉ ＭＮ Ｉ ＝ ｌ ＭＱ Ｉ ， ＞０ ｝
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由Ａ ｎｃ ＝ ｃ ， 可知 ｃ ＝ ｆ ｌ ｌ ， 或
答案 — － ｚ － — ｑ ３＜日＜二
２ ２
或ａ ： ｌ
答案 ２ 或３ ３ 或（ 一 ２ ， ５， ２ √ 芝 ）
２涉及有 关式 的变 形时 ， 注意分类讨 论 ５涉及有关数学性质 。 定理 。 公式 ， 法则的使用时 ， 注意分类讨 论 解题过程实 际上是一种式 的变形过程 ， 好多 的式 的变形是 受条 例 ５已知集合 Ａ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｘ ２ ＋ ｐ ｘ ＋ ｑ ＝ Ｏ １ ， Ｂ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｑ ） 【 ２ ＋ ｐ ｘ ＋ ｌ ＝ ０ ｝ ， Ａ ， Ｂ同时 件 限制 的， 如： 等式两边 同时除 以一个代数式 时 ， 要考 虑这个代数式 满 足 ： 的值是否为零 ， 解不等式两边同时乘以或者 除以一个代数 式时要考 ① ＡｎＢ ≠ ②ＡＮＢ ＝ ｛ 一 ２ ｝求 ｐ ． ｑ的值 虑这个代数式 的正负等等 。 解： 设 Ｘ ｏ ＥＡ， Ｘ ｏ 是 ｘ ０ ２ ＋ ｐ ｘ ０ ＋ ｑ ＝ ０的根 ， 若ｘ ｏ － ０ ， 则 Ａ ＝ 卜２ ， ０ Ｊ ， 从 而 例２ ． 解不等式
１ 有 关数 学概 念 的分 类 讨 论
Ｙ ０
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一
比如绝对值 ， 定 比分 点的 内外分 ， 倾斜 角的取值 ， 线面 角 ， 异面 直线角 等等 。 例 １ ： 若 函数 ， （ ） （ ｄ 一１ ） Ｘ ＋ 一 ＋ 在其定 义域 内有
ｌ ｏ ｇ ＋１ 一日 ） ＞１
解析 ： 分类 讨论
（ １ ） 以＞Ｌ Ｉ ｘ ｌ ＋
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ｐ ＝ ２ ， ｑ ＝ ０ ， Ｂ ＝ ｛ ＿ ｝此 时
ＡＮＢ ： 与已知矛盾
－
＿
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故） 【 ０ ≠Ｏ ， 将方 程 ＋ ｐ ｎ ＋ ｑ ＝ ｏ两 边除 以
’ｒ、 ，。
４有关字母参数 。 注 意分 类讨 论 例 ４已知集合 Ａ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｘ ２ － ３ ｘ ＋ ２ ＝ ０ ｝ ， Ｂ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｘ ２ － ＋ （ ａ ． １ ） ＝ Ｏ ｝ ， ｃ ＝ ｆ ｘ ｍ ｘ ＋ ２ ＝ ０ ｌ ， 且 ＡＵＢ ＝ Ａ， ＡｎＣ ＝ Ｃ， 则 ａ的值 为 ， ｉ ｌ ｌ 的取值范 围为： 解 析： Ａ ＝ ｛ １ ， ２ ｝ ， Ｂ ＝ ｛ ｘ ｌ ｘ 一 １ ） （ ｘ 一 １ ＋ ａ ） ＝ ０ Ｊ ， 由 ＡｕＢ ＝ Ａ可得 １ 一 ａ ＝ ｌ 或 ｌ － ａ ＝ ２ ；
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高考 中的分类讨论思想 方法
蔡 馨
（ 哈 尔滨 市 １ ６ ２中学 ， 黑龙 江 哈 尔滨 １ ５ ０ ０ ６ ０ ） 摘 要： 结合 实际， 重点探 讨 了高考 中的分类讨论 思想方法。 关键词 ： 高考； 数学 ； 分类讨论
分类讨 论 的思想方 法是解 决数学 问题 的重要 思想 方法之 一 ， 也是我们平 时研究 问题 最常用 ， 最简单 的方法。简单来说 ， 分类讨 论就是根据 数学对象 的本 质属性 的相 同点和不 同点 ，将对 象区分 为不 同种类 ， 逐类 进行研 究和解 决 ， 从 而达到 解决全 问题 的 目的。 分 类讨 论的思想 方法有 三个特点 ： ａ ． 对什 么东西分类 ， 即分类 的对 象． ｂ ． 按什 么标准 分类 ， 即分类 的标志 ． ｃ ． 分成 哪几类 ， 即确定 分类 的结果 。分类 一定要注意科 学性 ， 缺乏科学依 据分类 ， 不但无 法显 示 对象 的根 本特征 ， 甚至还会把 不同性质 的事 物混淆在一 起 ， 歪 曲 事 实 的实际情况 ， 得 出错 误 的结 论 ， 因此 分类 必须遵循 逻辑 规则 。 在 高中数学 中 ，经常遇到需要 进行分类讨 论的常见 的归纳起 来有 以下四种类 型 ：
极值点 ， 则 ａ的取值为 — —
１
图 １
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圆
３ 涉 及 有 关 不 确 定 的 图 形 时 Байду номын сангаас 注 意 分 类 讨 论
即 寺满 足Ｂ 中 的 方 程 ， 故 １ ∈ Ｂ ， ・ ． ・ Ａ Ｎ Ｆ ： 卜 ２ ｝ ， 则一 ２ Ｅ Ａ ， 且
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迹方程 ， 并说明它表示什么曲线。 ０ ＝ 一 １则 一 ！２ Ｅ Ｂ ， 与一 ２ Ｂ 矛盾。又由Ａ Ａ Ｂ ≠ ， ． ・ ． ｘ ０ ＝ ， 即 解 ：如 图 ，设 ＭＮ切 圆 Ｃ于 Ｎ，则动 点 Ｍ组成 的集 合是 Ｐ ＝ ２ Ｘ Ｏ Ｘ ｏ
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由Ａ ｎｃ ＝ ｃ ， 可知 ｃ ＝ ｆ ｌ ｌ ， 或
答案 — － ｚ － — ｑ ３＜日＜二
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２涉及有 关式 的变 形时 ， 注意分类讨 论 ５涉及有关数学性质 。 定理 。 公式 ， 法则的使用时 ， 注意分类讨 论 解题过程实 际上是一种式 的变形过程 ， 好多 的式 的变形是 受条 例 ５已知集合 Ａ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｘ ２ ＋ ｐ ｘ ＋ ｑ ＝ Ｏ １ ， Ｂ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｑ ） 【 ２ ＋ ｐ ｘ ＋ ｌ ＝ ０ ｝ ， Ａ ， Ｂ同时 件 限制 的， 如： 等式两边 同时除 以一个代数式 时 ， 要考 虑这个代数式 满 足 ： 的值是否为零 ， 解不等式两边同时乘以或者 除以一个代数 式时要考 ① ＡｎＢ ≠ ②ＡＮＢ ＝ ｛ 一 ２ ｝求 ｐ ． ｑ的值 虑这个代数式 的正负等等 。 解： 设 Ｘ ｏ ＥＡ， Ｘ ｏ 是 ｘ ０ ２ ＋ ｐ ｘ ０ ＋ ｑ ＝ ０的根 ， 若ｘ ｏ － ０ ， 则 Ａ ＝ 卜２ ， ０ Ｊ ， 从 而 例２ ． 解不等式
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（ １ ） 以＞Ｌ Ｉ ｘ ｌ ＋
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４有关字母参数 。 注 意分 类讨 论 例 ４已知集合 Ａ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｘ ２ － ３ ｘ ＋ ２ ＝ ０ ｝ ， Ｂ ＝ ｛ ｘ Ｉ ｘ ２ － ＋ （ ａ ． １ ） ＝ Ｏ ｝ ， ｃ ＝ ｆ ｘ ｍ ｘ ＋ ２ ＝ ０ ｌ ， 且 ＡＵＢ ＝ Ａ， ＡｎＣ ＝ Ｃ， 则 ａ的值 为 ， ｉ ｌ ｌ 的取值范 围为： 解 析： Ａ ＝ ｛ １ ， ２ ｝ ， Ｂ ＝ ｛ ｘ ｌ ｘ 一 １ ） （ ｘ 一 １ ＋ ａ ） ＝ ０ Ｊ ， 由 ＡｕＢ ＝ Ａ可得 １ 一 ａ ＝ ｌ 或 ｌ － ａ ＝ ２ ；
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