特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项精编版

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列

通项精编版

MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）

设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

d

x -=

作换元,0x a b n n -=则.)(110011

n n n n n n cb x a c c

cd

ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--

当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

1

11=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.211

23,1101=+=≠a b x a

数列}{n b 是以31

-为公比的等比数列.于是：

.N ,)3

1

(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n

例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.5

3601i

x a +-== 二、（二阶线性递推式）

定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程

02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，

数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通

项为11)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入

11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数、迭加法）由025312=+-++n n n a a a ，得)(3

2

112n n n n a a a a -=-+++， 且a b a a -=-12。则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，

3

2

为公比的等比数列， 于是：11)3

2

)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得：

a b a a -=-12，)32()(23⋅-=-a b a a ，•••，21)3

2

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得：

])3

2()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=

-。 a b b a a a b a n n n 23)3

2

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

32,121=

=x x ,∴1

2

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-⋅+=n B A 。 又由b a a a ==21,，于是：⎩⎨

⎧-=-=⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)3

2

)((323--+-=n n b a a b a

三、(分式递推式)

定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中

p 、q 、r 、h 均为常数，且r

h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q

px x ++=

. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若

λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n