非周期信号

1)
2）
可以看出
3/
72 和 5/
72 不是有理数
.
可视为基本周期无限长，所以，对应的时间历程将是具有 “准周期”的特性，不满足 x(t)=x(t±nT) n=1.2.…的原则。
3)
准周期信号是一种非周期信号，表达式可写成：
第一章 信号及其描述
分析： 分析： 在忽略φn的情况下，可象处理复杂周期信号一样，用离散谱来 表示，只是各分量的频率不再是有理数的关系，这就是准周期信号的 特性。
设复数 Z=a+bi.当 b≠0 时.z 就叫虚数.a=0,b≠0 时 z 叫纯虚数。
第一章 信号及其描述
作用与定义： 作用与定义：
∞ −∞
x( f ) =
∫
x ( t ) e − j 2 π ft dt = R e x ( f ) − jI m x ( f )
Re x( f ) = Im x( f ) =
x (t ) =
∑c
−∞
∞
jn ω t e 比较 , c n即 n
0
x(ω)dω = cn
⑤ 故 x(ω)=Cn/dω 从物理概念来看： x(ω) 相当于复系数 Cn和无限 小的 频率区间长度之比. 因此,称 x(ω) 为 x(t) 的复数频谱密度函数，简称频谱密度函数。 而对应的│x(ω)│和φ(ω)分别称为：幅值谱密度和相位谱密度。
−∞ −∞
∞
∞
如果延时 t0 . δ( t- t0) f(t) 只有在 t = t0 处才不等于 “0”
∫
∞
−∞
δ (t − t 0 ) f (t )dt = ∫ δ (t − t 0 ) f (t 0 )dt = f (t 0 )
−∞
∞
这个性质称为筛选性质，常用来对连续信号进行离散采样。 【例】 当脉冲函数为δ( t± t0) 时，如果与一个连续信号卷积：
性质： 性质： 偶函数； 偶函数； 闸门(或抽样)函 数； 滤波函数； 滤波函数； 内插函数。 内插函数。
第一章 信号及其描述 ㈡ 单位脉冲函数及其频谱和筛选性质
当ε→0时，δp(t)的极限值
∫
∞ − ∞
δ
p
( t ) dt
= lim = 1
δ(t)
ε → 0
∫
∞ − ∞
δ
p
( t ) dt
就称为单位脉冲函数。
第一章 信号及其描述
㈥ 富氏变换的若干性质
⒈ 奇、偶、虚、实特性 奇函数----- y=f(x) 在定义域内任意一个自变量 x 都有 f(－x)=-f(x) 则 y=f(x) 叫奇函数。 偶函数----- 如果函数 y=f(x) 在定义域内任意一自变量 f(－x)=f(x)，则 y=f(x) 称为偶函数。 实函数----- 有理函数和无理函数的统称。 虚数-----
第一章 信号及其描述
⑵ 时域和频域的卷积
（卷积定理） 卷积定理）
通过以上图解法可看出卷积的计算十分复杂，而利用卷积定 理我们可以方便地用简单地频域的乘积来代替时域的卷积，反之 可用时域的乘积代替频域的卷积。 时域
频域
卷积积分是一种数学方法， 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重 要的地位。 要的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析， 特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域 －频域的一个桥梁。
∫
∞
−∞ ∞
x ( t ) cos 2 π ftdt x ( t ) sin 2 π ftdt
∫
−∞
① 若：x(t) 为实的偶函数，则其富氏变换 x(f) 为：
R e x ( f ) = 2 ∫ x ( t ) cos 2π ftdt
0
∞
I m x( f ) = 0
故：x(f) 是 f 的偶函数又是实函数。即 Rex(f) = x(－f)
T /2
−T / 2
x ( t )e − jn ω 0 t dt
x (t ) =
∑
n = −∞
1 T
∫
T /2
−T / 2
x ( t ) e − jn ω 0 t dt ⋅ e
jn ω 0 t
周期信号中，相邻频率间隔为：
2π ∆ω = ω 0 = T
→ ∞
ω 0 = ∆ω ⇒ 0 nω 0 ⇒ (连续变的)ω
1 x (ω ) = 2π
∫
∞
−∞
x ( t ) e − j ω t dt
jω t
FT
x (t ) =
∫
∞
−∞
x (ω ) e
dω
IFT
如果用 f 代替 ω，因为它们之间有x(t)=2πx(f)的关系,式中将不出 现1/2π。
第一章 信号及其描述`
函数 x(t) 与 x(ω) 称为富氏变换偶对
㈣ 非周期信号的频谱
δ(t) 的筛选性质： 当δ(t) 乘 f(t) 在 t = 0 点的连续信号 → 积只在 t = 0 处得到 f(0)δ(t), 其余各点 (t≠0) 的积均为 “0”.
第一章 信号及其描述
即：
∫
∞
−∞
δ (t ) f (t )dt = ∫ δ (t ) f (0)dt = f (0) ∫ δ (t )dt = f (0)
第一章 信号及其描述
⑵ 频移特性 则
无频移
频移f0
频移2f0
第一章 信号及其描述
结论： 结论：假定频率函数x（f）是实数，频率左右位移后迭加，再折半。 分析：① 时间函数 x(f) 与一个余弦函数相乘，这个余弦函数的频率 等于频率的位移量 f0 并称该过程为调制。 ② 时域一个信号被余弦（或正弦）函数数调制以后，在频域 中就按调制频率 f0 向两边分别进行频移。
sin θ
θ
(T为窗宽)
第一章 信号及其描述
频谱图
特点 ① 该函数是偶函数，在nπ为(n=±1,±2…)处其值为“0”且只有实部。 幅值 相位 视其符号而定： A）当 sinc（πf T）为正值时相角为“ 0 ” B）当 sinc（πf T）为负值时相角为“π” ② 它以 2π 为周期并随 θ↑幅值 w(f) 振荡衰减↓ ③ sincθ 的函数值可通过专门数学表查得。
① 频谱函数-----富氏变换将一个时域函数变换为频域的函数，故 称 x（ω）为 x（t）频谱函数。
② 幅频谱(特性) -----频谱函数的模│x(ω)│称为幅频谱 (简称频谱)。
③ 相频谱（特性）
第一章 信号及其描述 ㈤ 频谱密度函数
由 IFT 式 ① 信号 x(t) 是由圆频率为 ω 的正弦分量 ejωt 通过连续迭加得到的. ② 其中信号的变化区间在 [－∞,∞] 之间 ③ 每一种频率成分 ejωt 在迭加过程中都乘上了一个 x(ω)dω 量. ④ x (ω ) d ω 与周期信号
第一章 信号及其描述
三、几种典型信号的频谱 ㈠ 矩形窗函数的频谱
1 w( t ) = 0 t <T / 2 t >T / 2
其频谱
w( f )=
= ∴
∫
+∞ −∞
w ( t )e
− j 2 π ft
dt =
j π fT
∫
T / 2 −T / 2
e
− j 2 π ft
dt
− 1 (e− j 2π f
第一章 信号及其描述
⒍ 卷积 两个函数的卷积 x1(t)*x2=y(t) 定义为：
⑴ 卷积的含义 函数x(t)和h(t)和卷积过程 要计算卷积值首先要给出函数 x(τ) 和 h(t-τ)
实现上一步后,下一步进行相乘并积分.过程如下:
第一章 信号及其描述
t1
2t1 3t1 4t1 5t1
分析： ① 图中用斜线标明该函数所对应的是三角形。 ② 该函数的积分便是这个三角形的面积。
第一章 信号及其描述
⒊ 对称或对偶定理 当 则有： 实际意义： 实际意义： 如果x(f)是信号x(t)的谱,则x(±t)的谱就是x(±f) 而x( f)的时间信号 就是f( t)。 即：利用已知的富氏变换对，即可得出相应的变换对。 【例】
x (t ) ⇔ X ( f )
第一章 信号及其描述
⒋ 时间尺度改变特性 在信号幅值不变的条件下。若： 则：(K>0)
cn = 1 Ts
∑
n = −∞
∞
cne
j 2 π f s nt
∫
TS / 2
−TS / 2
g ( t )e
j 2 π f s nt
dt =
1 TS
所以：
1 g( t ) = Ts
x((t ) ∗ δ (t ± t 0 )
= ∫ δ (t ± t 0 − τ ) x(τ )dτ
−∞ ∞
= x(t ± t 0 )
其结果是： 将 x(t) 在发生脉冲函数的坐标位置上重新构图。
第一章 信号及其描述
㈢ 周期单位脉冲函数序列的频谱（comb梳状函数）
其富氏级数的复数形式为：
g( t ) =
= e
− j 2 π ft 0
∫
+∞
−∞
x ( S ) e − j 2 π fs dS = e − j 2 π ft 0 x ( f )
所以就有 ② 由于时间位移而引起了相角Φ(f)的变化,即:
第一章 信号及其描述
没有时移时：xcosωt
时移450
时移900
时移1800
分析: 分析:
时移时, 时移时,并不改变富氏变换频域的幅值大小.
㈡ 瞬态信号 除准周期信号以外的非周期信号都称为瞬态信号。 ①热源消除后的物体温度变化 ②受拉钢丝绳断裂时绳中的应力 ③敲击时的加速度信号…等
第一章 信号及其描述 ㈢ 非周期信号的富氏变换
变换的概念
由复数形式的富氏级数可知：
x (t ) =
∑
n = −∞
∞
cne
∞
jn ω
0
t
dt
1 cn = T
∫
FT FT
x (t )
⇔
IFT
x( f )
y (t )
⇔
IFT
y( f )
则：a x(t)+b y(t)=a x(f)+b y(f)
[其中 a, b 为任意常数]
其含义为： 其含义为：几个信号的富氏变换 = 各个信号富氏变换之和。
第一章 信号及其描述
【例】
x(t ) = B ⇔ x( f ) = Bδ ( f )
x (t ) ⇔ x ( f )
【例】 正常
慢录快放
快录慢放
第一章 信号及其描述
⒌ ⑴ 时移和频移特性 时移特性
O
பைடு நூலகம்
① 将时域信号沿时间轴平移一个常数±t0 ， x(f)乘上一个e±j2πft 因子
令 S = t −t0
∫
+∞
−∞
x (t − t 0 ) e
− j 2 π ft
dt =
∫
+∞
−∞
x ( s )e − j 2 π f ( S − t 0 ) dS
j π fT
− e
)
sin ω t = j
1 ( e − jω t − e 2
jω t
)
可改写为 代入w(f)式
sin( π fT ) = −
w( f )= T
1 ( e − j π fT − e j π fT ) 2j
sin π fT = T sin c ( π fT ) π fT
∆
定义
sin c θ =
第一章 信号及其描述
因此： ① 离散谱就变成了连续谱。 ② 求和运算则可用积分运算代替。
∞
x (t ) =
∫
−∞
ω0 ( 2π
∫
∞
−∞
x ( t ) e − jn ω 0 t dt ) e
jn ω 0 t
因为 1/T=ω0/2π当 T→∞，ω0=△ω→dω，n ω0 →ω ∞ 1 ∞ − jω t jω t x (t ) = ∫ ( x ( t ) e dt ) e dω ∫ −∞ − ∞ 2π 令：
第一章 信号及其描述
② 若：x(t) 为实的奇函数，则其富氏变换 x(f) 为：
I m x ( f ) = 2 ∫ x (t ) sin 2π ftdt
0
∞
Re x ( f ) = 0
故：x(f)是 f 的虚奇函数。即 Im x(f) =
－Imx(－f)
熟悉了解这些性质有助于估计富氏变换对的相应图形性质，减少 不必要的计算。 ⒉ 线性迭加性 如果，时域信号 x(t) 和 y(t) 的富氏变换分别有：
y (t ) = A cos(2πf 0t ) ⇔ y ( f )
= A/ 2δ ( f − f0 ) + A/ 2δ ( f + f0 )
根据线性迭加原理可得：
x ( t ) + y ( t ) = B + A cos( 2π f 0 t ) ⇔
x( f ) + y( f ) = Bδ ( f ) + A/ 2δ ( f − f0 ) + A/ 2δ ( f + f0 )
第一章 信号及其描述
分析： ① 窗函数可作为时域中对其信号的截断。 ② 所得信号的频谱将是原信号频域函数与sinc函数的卷积 即： ③ 频谱是连续的，频率无限延伸。 特点： 特点： a）具有主瓣、旁瓣。 b）主瓣宽度为 2/T 与时域窗 T 成反比， 即：当时域中 T↑ 截取信号越长 → 主瓣宽度 2/T↓
第一章 信号及其描述 二、非周期信号与连续谱
两个或几个无关的周期信号(各周期没有公倍数）混迭在一起时， 即：ωn/ ωm ≠有理数，就会产生准周期信号。 ㈠ 准周期信号 【例】 x(t ) = x1 sin(3t + φ1 ) + x2 sin(5t + φ 2 ) + x3 sin( 72t + φ3 ) + L