第五章 二次型练习题

第五章 二次型练习题

一、填空题

1．实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

的矩阵为 ，秩为 __ ，正惯性指数为 ，规范形为 .

2．两个n 元实二次型等价的充分必要条件是 ．

3．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为 类．任一三级实对称与下列形式之一合同标准形合同：

4．A 正定⇔ ．

⇔ ．

⇔ ．

⇔ .

5．某四元二次型有标准形24

232221432y y y y ++-，则其规范形为 ． 6. 复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.

二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由．每小题5分，共20分）

1．n 元实二次型Ax x x x x f n '21),,,(= 的符号差与秩有相同的奇偶性．

2．n 阶实对称矩阵A 若满足0||>A ，则A 正定．

3．A 为n 阶复对称矩阵，则A 与A -合同．

4．设A ，B 分别是n m ,阶正定矩阵，则⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛B A 00也是正定矩阵．

5. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.

6. 若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零.

7．若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零.

三、计算题（每小题15分，共45分）

1．用可逆线性替换将二次型323121321),,(x x x x x x x x x f ++=化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f 的正惯性指数与符号差．

2．确定t 的值，使二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+正定．

3．设有n 元实二次型

22221112223111(,,)()()()(),n n n n n n f x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++ 其中(1,,)

i a i n = 为实数，试问：当12,,,n a a a 满足何种条件时，二次型1(,,)n f x x 为正定二次型.

四、证明题

1.证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.

2、实二次型1211(,,,),()n n

n ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑ ，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)n n ij n i j i j A g x x x x x A ===∑∑ ，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数

3. 设 n 阶矩阵

2100012100012000002100012n A -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

求矩阵3A 的行列式，并证明n A 是正定的. 4.设A 是m n ⨯矩阵，()r A n =.证明'A A 是正定矩阵.