离散数学的谓词逻辑详解

为了方便，引入全总个体域，记为：U，简称全域:
定义:宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合称为全域。
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特性谓词
后面的讨论中，除特殊说明外，均使用全域。而对个 体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制。
一般地，对全称量词，特性谓词作蕴含的前件引入；而 对存在量词，特性谓词常作为合取项引入。
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全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
解：令 a:王英;b:李红;P(x，y):x坐在y的后面; G(x，y):x比y高.
则该命题表示为：P(a，b)G(a，b).
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3. 量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中的 各种命题。 例如： “ 所有的正整数都是素数 ” “ 有些正整数是素数 ”
两种量词: 全称量词和存在量词.
解: y((P(x)∧Q(y))→zR(z)) 是 x 的辖域。
(P(x)∧Q(y))→zR(z) 是y 的辖域.
R(z）是z的辖域。
x，y，z在公式中的所有出现均是约束出现，故它们均
是约束变元。
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例４： xP(x)∧Q(x)
这个公式中变元x既有约束出现，又有自由出现。为了 避免混淆，可以给约束变元改名。
本章中只介绍谓词逻辑中新出现的基本概念和符号， 其中主要的是个体词，谓词，量词以及函词。
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1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
命题逻辑不能正确反映此三段论的推理过程。这 是命题逻辑的局限性!
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原因
在命题逻辑中无法将简单命题之间的内在联系反映出来。 命题逻辑中描述的上述三段论，即P∧Q→R，使R与命题P、 Q无关的独立命题。
但是，实际上R与命题P、Q是有关系的，只是这种关系 在命题逻辑中得不到反映。
设张三为170cm，李四为180cm.
则: P(李四，张三)为真命题。 P(张三，李四)为假命题.
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命题的符号化
例1:武汉位于重庆与上海之间.
解:用个体词a，b，c分别表示武汉，重庆和上海，
谓词P(x，y，z)表示x位于y与z之间， 则该命题表示为:P(a，b，c).
例2：如果王英坐在李红的后面，则王英比李红高.
L是二元谓词，表示个体之间的关系。
注： （1）常用大写拉丁字母表示谓词. （2）谓词是用来刻划个体的性质或者个体之间
的关系的。
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命题函数与命题
例: 令P(x)表示x为质数，则P(x)为一元谓词。 令 H(x，y)表示“x高于y”,则 H(x，y)为二元谓词。
则：H(张三，李四) 表示“张三高于李四”，是命题。
(2) 如果论述域是可数无限，例如自然数集合，我们可以这 样理解：
(x)P(x) P(1)∧P(2)∧P(3)… (x)P(x) P(1)∨P(2)∨P(3)…
(3)如果论述域不可数无限，则无法表达。
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练习
任何金属都可以溶解在某种液体中. 令J(x):x是金属; E(x):x是液体; S(x，y):x可以溶解在y中，
（1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 （2）存在着个体，它是人并且它不怕死．
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
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命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
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例
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人不怕死。”
1.当x的个体域为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
解: 令D（x）：x是要死的，令G（x）：x怕死。
则（1）可表示为: x D(x)。
（2）可表示为: x ┐G(x)。
Hale Waihona Puke Baidu
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论域为全域时
2. 当取x的个体域为全域时，必须引入一个特性谓词将 “人”从全域中分离出来。
公式xP(x, y) Q(x, z), 将x改成u,得uP(u, y) Q(x, z)
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2.自由变元代替规则：对公式中某变元的所有自由出 现，用另一个与原公式中其它变元符号都不同的变元 符号来代替。
例：
对上例，可将自由出现的x用u代替, 得xP(x, y) Q(u, z)
在谓词公式中，在量词x、x的辖域内x 的一切出现 叫约束出现，这样的x，称为约束变元。
[定义] 在谓词公式中，若x的出现不是约束出现，则 称变元x的出现是自由出现。自由出现的变元x，称为 自由变元。
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例3 指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约 束变元。
１．x y((P(x)∧Q(y))→zR(z)) yy
命题符号化：
例１：没有不犯错误的人 令H（x）： x是人， M（x）： x犯错误
则有 : (x(H (x) M (x))) x(H (x) M (x)).
例２：存在着偶质数 令E(x)：x是偶数，P(x)：x是质数 则有：x(E(x)∧P(x))
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例３：每个自然数都有后继数
注意： P(x.y), H(x，y)为命题函数.
P(2)与 H(张三，李四)才是命题。
谓词中如果有n个变元则称为n元谓词. n元谓词反映了个体 之间的n元关系.
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2.个体词
❖个体是可以独立存在的实体，它可以是一个具体的 事物---个体常元，常用小写拉丁字母a，b，c等表
示。 也可以是一个抽象的概念（即没指定哪一个个体） ----个体变元，常用小写拉丁字母：x，y，z等表
（4）若A是合式公式，x是A中的变量符号， 则xA, xA也是合式公式 .
（5）只有有限次地使用（1）—（4）所生成的符号串 才是合式公式。
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前面各命题符号化的结果都是合式公式。
对于一个谓词，如果其中每一个变量都在一个量词的 作用之下，则它就不再是命题函数而是一个命题了。
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（3）凡是实数均能比较大小。
若令R（x）：x是实数；G（x，y)：x与y可比较大小. 则该命题可表示为：
例6 将苏格拉底三段论进行符号化：
令：Ｍ(x)：x是人 Ｄ(x): x要死
则
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量化断言与命题的关系
(1)如果论述域是有限的，不妨设论述域是{1，2，3}，则 x P(x)P(1)∧P(2)∧P(3) x P(x) P(1)∨P(2)∨P(3)
T (x, y,u) E(u, z)))).
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例5 将下列命题符号化(使用全域)。
(1) 发光的并非都是金子 令：P（x）：x发光；G（x）：x是金子。 则该命题可表示为 ：
（2）所有运动员都钦佩某些教练。
令：P（x）：x是运动员；T（x）：x是教练；Q （x，y）：x钦佩y。 则该命题可表示为 ：
要反映这种内在联系，需对简单命题作进一步分解，分解 出其中的成份，包括：个体词，谓词，量词，函词等，研
究它们的形式结构及逻辑关系，总结出正确的推理形式和 规则，这就是一阶逻辑所研究的内容.
一阶逻辑也称谓词逻辑。谓词逻辑是一种表达能力更强的
逻辑。
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谓词逻辑
我们将介绍谓词逻辑的基本概念和符号。关于命题、 命题的真值、命题词、命题常量和命题变元以及逻辑 五个联结词其含意和在命题逻辑中的基本相同，
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
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例2：张华比李明高 令 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y 该命题可表示为： L(a，b)
例1和例2中的 H、L称为谓词， 其中H是一元谓词，表示个体的性质（是什么），
上式等价于： (y)P(y)∧Q(x)
例5： x(P(x)yR(x，y))
量词x的辖域为: P(x) yR(x，y)，同时，y 的 辖域为：R(x，y)，x与y的出现，都是约束出现。
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有关公式中变元改名的两条规则：
1.约束变元改名规则： 将谓词公式中出现的约束变元 改为另一个约束变元。此改名必须在量词辖域内各 处以及该量词符号中进行，且改成的新约束变元要 与改名区域中的其它变元有区别。
则可以表示为 : x(J (x) y(E( y) S(x, y)));
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原子与公式
设P(x1，…xn)是n元谓词，则称其为为原子公式，或 简称原子．
谓词公式，简称为公式，其递归定义为：
（1）原子是合式公式； （2）若A是合式公式，则(﹁A)也是合式公式；
（3）若A，B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)， (A→B)， (AB)也是合式公式；
如: “有些有理数是整数。” 令Ｉ(x）：x是整数，
设x的个体域为有理数集合，则命题可表示为： x I(x）
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4. 论 域
含有量词的命题的表达式的形式，与论域有关。用量词量化 后的命题，其值也与论域有关。
例 1 x（x=0) 若论域为整数集，则此命题值为真， 若论域为正整数集，则命题的值为假。
但是，这种命题和命题逻辑中的命题还是有区别的。 因为这种命题中毕竟还有变量，尽管这种变量和命题 函数中的变量有所不同。因此，有必要区分这些变量。
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变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
因此，通过使用改名规则和代替规则，可使谓词逻辑 中的公式不出现某变量既是约束变量又是自由变量的 情况。
示．
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函词
例：张华的哥哥比李明高 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y f(x):x的哥哥 则上述符号化为： L(f(a)，b) f称为函词
定义：一个n元函词即是一个论域Ｄ上的一个n元函数．
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概念的讨论
❖ 变元在谓词中的次序直接影响了谓词的取值 。 如:设谓词P(x，y)为“x比y高”，
谓词逻辑
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命题逻辑的局限性
苏格拉底三段论：
P：所有的人都是要死的。 Q：苏格拉底是人 。 R：所以苏格拉底要死 。
凭直觉知道这个结论是真的，推理是有效的。但是，借 助命题演算的推理理论，却不能推导出这个结论（无法 证明它的正确性）。Why ?
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此三段论的论断显然正确。 但是，在命题逻辑中无法得到正确性的反应: P∧QR 不是重言式！
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
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自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
若令：N（x）：x 是自然数， H（x，y）：y是x的后继 数
则有 : x(N(x) y(N( y) H(x, y))).
例４：对平面上的任意两点，有且仅有一条直线通过这两点。
若令P（x）： x是一个点， L（x）：x是一条直线，
T（x，y，z）：z通过x，yE，（x，y）：x等于y
则有: xy(P(x) P(y) z(L(z) T (x, y, z) u(L(u)
设x的个体域为全体人的集合，则可表示为 x D(x)
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存在量词:
2. 存在量词： （存在） x: “存在x“、 ”某些x“、 ”至少有一x”
如： x P(x) ┐x P(x)
样” x ┐ P(x)
“存在x， P(x)是真” “存在x， P(x)是真，并非这
“存在x， ┐ P(x)是真”