第10讲条件平差的原理

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第10讲 条件平差的原理 拉格朗日乘数法：要找出函数(,)Z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点，可以先构造函数(,)(,)(,)F x y f x y x y λϕ=+，其中λ为常数，求其对x ，y 的一阶偏导数，使之为0，并与附加条件联立，即(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩，解得x ，y ，λ，求得的(,)x y ，就是函数(,)Z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点。 条件平差法长期以来是与间接平差法并列的重要方法之一，近年来由于方法不适合计算机编程，其重要性已经不如间接平差法。但是条件方程直接表述观测值平差值应该满足的条件，直观易懂，同时是外业成果检查的基础，重要性仍不容忽视。实际上间接平差模型也可看作条件方程的特殊形式，所以学习条件平差方法，对于我们系统地理解平差理论与方法，具有重要的意义。 1 测量平差方法概述 1.1平差的目的 设在某一平差问题中，为了解决这一问题，至少需要t 个观测值，这样的观测个数称为必要观测个数。例如，为了确定一个平面三角形的形状，至少需要观测三角形的两个角，即t=2。当观测值个数nt ，令r=n-t ，则称r 为多余观测数。由于有r 个多余观测，在平差值之间将产生r 个几何或物理的约束方程，这种方程称为条件方程。 例：为了确定三角形的形状，观测三个内角。因随机误差的存在，L1+L2+L3≠180°，存在闭合差w=L1+L2+L3－180°，对Li 进行改正，将w 分配到L1、L2、L3三个内角，使得123ˆˆˆ180L L L ++=︒。 设观测总数用n 表示，则有r=n-t 测量误差总是不可避免的，为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。在测量中，如果没有多余观测值，当观测存在误差或粗差时，容易造成结果解算不正确，而多余观测值的存在可以有效的检核和改正偶然误差因素的影响。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结

第 2页 11221122ˆˆr L r L +第一个条件方程系数到最后一个条件方程系数分别采用字母号对应。r 是最后一个条件方程的编号，表示条件方程个数为文字母中序号无关。

第 3页 n 0n 20r 1r n 0n n a b A A r r ˆL ⨯⨯⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎣⎦

⎣⎦⎦,＝,＝ ⎫

⎪⎪⎬⎪

⎪⎭

第 4页 2317'53.6"L 3352'19.8"L 8349'43.6"= ＝，求3n=3，t=2，故r=n-t=1

列出观测值平差值应满足的条件方程0

ˆ0AL A +=为：

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17'53.6" 1.0"6217'54.6"3352'19.8"+1.0"3352'20.8"8349'43.6" 1.0"8349'44.6"+==+= 17'54.6"3352'20.8"8349'44.6"180++-