高中数学--空间直线与直线的位置关系
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点评：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角 上述解答首先将问题转化为：求过点O与a1、b1均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数
例4如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且 = = = 试求 的值
点评：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题
（1） 与
(2) 与
(3) 与
精解名题
例1A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角
点评：①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算” 注意，异面直线所成角的范围是（0， ］
（2）直线BA1与CC1所成角的大小为________
（3）直线BA1与B1C所成角的大小为________
（4）异面直线BC与AA1的距离为________
（5）异面直线BA1与CC1的距离是________
2 正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为 ，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是__________
方法总结
1 本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角
2 证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形
巩固练习
1 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，那么
（1）哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线:__________
自我测试
1 两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内 命题甲：l和m中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的
A 充分不必要条件B 必要不充分条件
C 充要条件D 非充分非必要条件
2 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
计算方法：①几何法；②向量法
热身练习
1 若a，b是异面直线，则只需具备的条件是
A a 平面α，b 平面α，a与b不平行
B a 平面α，b 平面β，α∩β=l，a与b无公共点
C a∥直线c，b∩c=A，b与a不相交
D a⊥平面α，b是α的一条斜线
2 如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有
向量法：用向量的夹角公式
10 两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．
两条异面直线的公垂线有且只有一条
A 1条B 2条C 3条D 4条
解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条
3 如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是
A B C D
4.已知：直线 与平面 相交于点 ，直线 在平面 上，且不经过点 ,求证：直线 与 是异面直线。
5.如图，正方体 的棱长为 ，求下列异面直线所成的角的大小。
异面直线所成的角的范围：
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ．
9．求异面直线所成的角的方法：
几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
A B C D
3 四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于___________
4 在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）
5 设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1
例2长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C
（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值
例3设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条?
A 1条 B 2条 C 3条 D 4条
⑶异面直线a,b所成的角为 ,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60°,则 的取值可能是( )
A 30° B 50° C 60° D 90°
⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有条棱，个面；②如果它是棱柱，那么它有条源自文库个面
点评：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
2 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式： ．
3 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等
求证：AA1、BB1、CC1三线共点
6 在三棱锥A—BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF= a，求AD与BC所成的角
7 在三棱锥P—ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PE∶EC=AF∶FB=3∶2
（1）求证：PA⊥BC；
（2）设EF与PA、BC所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°
高中数学备课组
教师
班级
学生
日期
上课时间
学生情况：
主课题：空间直线与直线的位置关系
课时目标：
1 能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形 能够根据图形想像它们的位置关系
2 会用几何法或向量法计算两异面直线的夹角和距离
教学内容
知识精要
1 空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
5 空间两条异面直线的画法
6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式： 与 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上
备选例题
例1⑴已知水平平面 内的两条相交直线a, b所成的角为 ，如果将角 的平分线 绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的 处，且与两条直线a,b都成角 ，则 与 的大小关系是（ ）
A 或 B > 或 < C > D <
⑵已知异面直线a,b所成的角为70 ,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60 角的直线有( )
例4如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且 = = = 试求 的值
点评：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题
（1） 与
(2) 与
(3) 与
精解名题
例1A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角
点评：①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算” 注意，异面直线所成角的范围是（0， ］
（2）直线BA1与CC1所成角的大小为________
（3）直线BA1与B1C所成角的大小为________
（4）异面直线BC与AA1的距离为________
（5）异面直线BA1与CC1的距离是________
2 正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为 ，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是__________
方法总结
1 本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角
2 证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形
巩固练习
1 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，那么
（1）哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线:__________
自我测试
1 两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内 命题甲：l和m中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的
A 充分不必要条件B 必要不充分条件
C 充要条件D 非充分非必要条件
2 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
计算方法：①几何法；②向量法
热身练习
1 若a，b是异面直线，则只需具备的条件是
A a 平面α，b 平面α，a与b不平行
B a 平面α，b 平面β，α∩β=l，a与b无公共点
C a∥直线c，b∩c=A，b与a不相交
D a⊥平面α，b是α的一条斜线
2 如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有
向量法：用向量的夹角公式
10 两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．
两条异面直线的公垂线有且只有一条
A 1条B 2条C 3条D 4条
解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条
3 如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是
A B C D
4.已知：直线 与平面 相交于点 ，直线 在平面 上，且不经过点 ,求证：直线 与 是异面直线。
5.如图，正方体 的棱长为 ，求下列异面直线所成的角的大小。
异面直线所成的角的范围：
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ．
9．求异面直线所成的角的方法：
几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
A B C D
3 四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于___________
4 在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）
5 设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1
例2长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C
（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值
例3设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条?
A 1条 B 2条 C 3条 D 4条
⑶异面直线a,b所成的角为 ,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60°,则 的取值可能是( )
A 30° B 50° C 60° D 90°
⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有条棱，个面；②如果它是棱柱，那么它有条源自文库个面
点评：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
2 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式： ．
3 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等
求证：AA1、BB1、CC1三线共点
6 在三棱锥A—BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF= a，求AD与BC所成的角
7 在三棱锥P—ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PE∶EC=AF∶FB=3∶2
（1）求证：PA⊥BC；
（2）设EF与PA、BC所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°
高中数学备课组
教师
班级
学生
日期
上课时间
学生情况：
主课题：空间直线与直线的位置关系
课时目标：
1 能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形 能够根据图形想像它们的位置关系
2 会用几何法或向量法计算两异面直线的夹角和距离
教学内容
知识精要
1 空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
5 空间两条异面直线的画法
6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式： 与 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上
备选例题
例1⑴已知水平平面 内的两条相交直线a, b所成的角为 ，如果将角 的平分线 绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的 处，且与两条直线a,b都成角 ，则 与 的大小关系是（ ）
A 或 B > 或 < C > D <
⑵已知异面直线a,b所成的角为70 ,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60 角的直线有( )