专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题-2121届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)

们定义函数 f n q p ，例如 f 12 4 3 1.数列 f 3n 的前 100 项和为__________．
【答案】 350 1
n1 n1
n1
【解析】当 n 为偶数时， f 3n 0 ；当 n 为奇数时， f 3n 3 2 3 2 2 3 2 ，
S100 2 30 31 ... 349
，若对于任意的
，不等式
恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题，
即
由累加法可得：
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即
对于任意的
即
令
可得
且
，不等式
恒成立
即
可得 或
故选 B
类型五 数列与其他知识综合问题
【例
5】将向量
a1,
a2 ,,
an
组成的系列称为向量列
an
，并定义向量列
.当 时，由
，得
，由于
，所以
首项为 ，公差为 的等差数列，所以
.则
，故
，两式 ，故 是
， 由于 是单调递增数列，
，
.
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故 的最小值为 ，故选 B.
类型三 数列性质的综合问题
【例 3】【江苏省扬州中学 2019 届高三下学期 3 月月考】已知等差数列
3≤
≤6，则 的取值范围是_______．
an an1 an2·an1 ,D
正确.故选 C.
【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢
就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题
入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
【举一反三】1.如图所示，矩形 An BnCn Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上，另外两个顶点 Cn , Dn 在函数
【举一反三】已知数列an 的首项 a1 a ，其前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn Sn1 4n2 n 2, n N ，若
对任意 n N , an an1 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
A． 3,5 B． 4, 6 C．3,5 D．4,6
【答案】A
类型二 数列中的最值问题
【例 2】【浙江省湖州三校 2019 年高考模拟】已知数列 满足
f
x
x
1 x
(x
0)
的图象上.若点
Bn
的坐标为 n,0n
2, n
N
，记矩形
An BnCn Dn
的周长为
an
，则
a2 a3 a10 （ ）
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A. 220 B. 216 【答案】B
C. 212
D. 208
2.将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有112 ， 2 6 ， 3 4 三种，其中 3 4 是这三种分解中两数差的 绝对值最小的，我们称 3 4 为 12 的最佳分解.当 p q（ p q 且 p, q N* ）是正整数 n 的最佳分解时，我
，所以
，
，
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，当且仅当
时“=”成立，
所以 的最小值为 ，故选 A.
【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是
，等比中项
，基本不等式有
，考查公式的使用，考
查化归与转化思想.
【举一反三】【甘肃省白银市靖远县 2019 届高三第四次联考】已知函数
的前 n 项和为 ，若 1≤ ≤3，
【答案】
【解析】
在等差数列 中，
，
∴
，
又
，
∴
．
由
得
．
∴
，即
，
∴
．
即 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【指点迷津】1.本题先根据
求出 的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.
2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相
，
的正整数 的最小值是（ ）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
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，则使
【答案】C 【解析】
令
,则
,所以
，从而
，
因为 设当
,所以数列 单调递增，
时
,当
时
,
所以当
时
，
，
，
从而
,
因此
,
选 C. 【指点迷津】本题 利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令
,利用裂项相消法得 ，再根
D. 4 cn cn1 an2·an1
【答案】C
a1 a2 a3 an3 an1 1 ... a1 a3 1 1 2 1 ,所以 B 正确；对于 C, n 1 时，
a1 a2 1 ；C 错误；对于 D,
4 cn cn1
4
an 4
2
a2 2 n1 4
an an1
【举一反三】【广东省汕尾市 2019 年 3 月高三检测】已知数列 的首项
为数列 的前 项和 若 【答案】 【解析】
恒成立，则 的最小值为______．
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数列 的首项
，
则：
常数
故数列 是以
为首项，3 为公差的等差数列．
则：
首项符合通项 ．
故：
，
，
，
由于数列 的前 n 项和 故： ，
恒成立，
则：t 的最小值为 ，
故答案为： ．
类型四 数列与函数的综合问题
【例 4】已知函数
的定义域为 ，当
时，
，且对任意的实数 ， ，
恒成立，若数列 A．
满足
（
）且
B．
，则下列结论成立的是（ ）
C．
D．
【答案】C
【解析】
对任意的实数 x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+ Nhomakorabea）恒成立，
取 x＝y＝0，则 f（0）f（0）＝f（0），解得 f（0）＝0 或 f（0）＝1．
当 f（0）＝0 时，
，得
余题意不符，故舍去.
所以 f（0）＝1．
取 y＝﹣x＜0，则 f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x）
，
设 x1＜x2，则 f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）
1，∴f（x1）＞f（x2）．
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∴函数 f（x）在 R 上单调递减． ∵数列{ }满足 f（an+1）f（ ）＝1＝f（0）．
据范围求正整数 的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关 键
【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三三模】已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且
，
，
，若
恒成立，则 的最小值为（ ）
A．
B．
C．49
D．
【答案】B 【解析】 当 时， 相减并化简得
，解得
，若
，
B．
，则
的最小值为（ ）
C．
D．0
由 所以数列 则 即
，得
，且
，
是以 为首项、2 为公差的等差数列，
， ，
令 ，得 则 故选：B．
，又
，
，由 ，
的最小值为
.
3.【四川省成都市外国语学校 2019 届高三一诊】在正项等比数列 中， ，
的最大正整数 的值为（ ）
A．10 【答案】C
B．11
C．12
an
的前 n 项和
Sn
a1
a2
an
．若
an1
an
R, n N*
，则下列说法中一定正确的是（
）
A.
Sn
a1
1 n 1
B. 不存在 n N * ，使得 Sn 0
C.
对 m、n N * ，且 m
n
，都有
Sm
Sn
D. 以上说法都不对
【答案】C
【解析】 由 an1 an
R, n N*
，则 an1 ，所以数列
an
an
构成首项为 a1 ，公比为 的等比数
列，所以
Sn
{
a1
na1, 1 n 1
1 ,
1
，又当 1 时，
S2n 0 ，
所以当 m、n N * ，且 m n 时，
Sm
Sn
是成立的，故选
C.
【例 6】斐波那契数列 an 满足： a1 1, a2 1, an an1 an2 n 3, n N * .若将数列的每一项按照下
，对任意
恒成
当 n 为偶数，
又 2- 单调递增，故 2- ，故 ，综上 a
故选：D 5．已知各项均为正数的数列
的前 项和为 ，且
，
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
，若对任意的
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A．
B．
C．
【答案】C 【解析】
时，
， ，
化为：
，
．
，即
，
时，
，解得
．
数列 为等差数列，首项为 1，公差为 1．
邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如 an qan1 p p 0, q 1 的递推数列求通项往往用构造
法，即将 an qan1 p p 0, q 1 利用待定系数法构造成 an m q an1 m 的形式，再根据等比数
例求出an m 的通项，进而得出an 的通项公式.
．
.
记