线性规划及其应用3线性规划求解方法

0 25
750 6250 15000 306250
10
最优性检验数
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§3.3 线性规划求解方法
最优性检验结果：检验值全部为非正
最优方案:
x1=6250 ( 件), x2=15000( 件), x3= x4=x5=0( 件).
最大效益为: 306250( 美元)
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2+2M
5/3 1/3 2/3
1+2M/3
3+4M
0 1 0 0
0
1 0 0 0
-M
1/3 -1/3 1/3
1+M/3
0
-1/3 1/3 -1/3
0
0 0 1
-30M
28/3 20/3 10/3
-1-4M/3 20重庆大学经济与工商管理学院 肖智 0 10M/3
§3.3 线性规划求解方法
表3.3-4续 cj xB
第二步 建立初始单纯形表
(3.3-5)
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§3.3 线性规划求解方法
表3.3Fra Baidu bibliotek1
目标函数系数
25 10 0 0 0 资源拥 有量
决策变量
0 ( x3 的目标系数） x 3 0 ( x4 的目标系数） x 4 0 ( x5 的目标系数） x 5
最优性检验数
x1
0.6
x2
0.5
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§3.3 线性规划求解方法
第三步：改进当前可行方案，计算下一张单纯形表。
表3.3-2
目标函数系数 决策变量 25 x1 10 x2 0 x3 0 x4 0 x5
可行方案 6000
10000 6000 250000
0
25 0
x3
x1 x5
0
1 0 0
0.35
0.25 0.4 3.75
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§3.3 线性规划求解方法
基，然而该基不一定是原问题的可行基，只有当人工变量
都变为非基变量或都为零时，引入人工变量的问题才与原 问题等价。因此，应通过某种方法把所有的人工变量从基 中赶出去才能得到原问题的一个可行基。常用的方法有以 下两种： （1）大M法 大M法实质上是一种罚函数法，它在目标函数中赋予人 工变量一个很大的负系数(一M)。由于人工变量对目标函数 有很大的负影响，单纯形方法的寻优机制会自动将人工变 量赶到基外，从而找到一个原问题的可行基。 用单纯形表计算时，可直接在目标函数中使用M参数，
max Z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 Mx5 Mx6 max Z 2 x1 3x2 2 x1 x2 x3 0 x4 0 x5 0 x6 16 2 x1 x2 16 x 3x 0 x x x 0 x 20 (3.3-6) x 3x 20 1 1 2 3 4 5 6 2 x x 10 1 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 x6 10 x j 0, j 1,2,3,4,5,6 x1 0, x2 0 重庆大学经济与工商管理学院 肖智
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§3.3 线性规划求解方法
为负的约束，约束两边同乘一l。
2)对小于等于型约束(≤)，仍引入一个松弛变量。 3)对大于等于型约束(≥)，引入一个剩余变量和一个人工变 量。 4)对等于型约束(＝)，引入一个人工变量。 通过以上调整后，每一个约束或者有一个松弛变量，或 者有一个人工变量，它们构成的单位矩阵可以作为一个初 始基，可见，调整后的问题一定有可行解。然而，对原问 题来说，新引入的人工变量是多余的，如果人工变量在最 后的结果中取正值，则表明该解不满足原问题约束条件。 因此，尽管引入人工变量后我们可以很容易找到一个初始
1
0 0 0
-1.5
2.5 0 -62.5
0
0 1 0
最优性检验数
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§3.3 线性规划求解方法
第四步：改进当前可行方案，计算下一张单纯形表。 表3.3-3
目标函数系数 决策变量 x3 x1 x2 25 x1 0 1 0 0 10 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 -1.5 2.5 0 - 62.5 0 x5 -0.875 -0.625 2.5 -9.375 可行方案
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§3.3 线性规划求解方法
max Z CX AX b X O max Z C B X B C N X N BX B NX N b X B O, X N O
1 1
（3.3-1)
(3.3-2)
max Z C B B b (C N C B B N ) X N X B B 1b B 1 NX N (3.3-3) X B O, X N O
(3.3-4)
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§3.3 线性规划求解方法
第一步 标准化
max Z 25 x1 10 x 2 0.6 x1 0.5 x2 x3 12000 0.4 x 0.1x x 4000 1 2 4 0 . 4 x x 6000 2 5 x j 0, j 1,2,3,4,5
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§3.3 线性规划求解方法
例：用两阶段法求解下列线性规划问题： max Z 2 x1 3x2 2 x1 x2 16 x 3x 20 1 2 x1 x2 10 x1 0, x2 0 第一阶段模型：
(3.3-7)
25
6 10 10
0 0 1 0
0 0 -1
-1 1 3
重庆大学经济与工商管理学院 肖智 -M -3-M 30
§3.3 线性规划求解方法
该问题的最优解为：X*=(0，10)T； 最优值为: Z*=30
与计算机计算结果相同。 大M法的优点是方法比较直观，易于理解和手工计算， 缺点是当使用计算机计算时，由于M值较大容易引起数 值计算上的困难，所以几乎所有商业线性规划软件都不 使用大M法而使用另外一种方法—两阶段法。 （2）两阶段法 顾名思义，两阶段法是将线性规划求解过程分为两个 阶段。第一阶段只是寻找一个初始可行基，第二阶段再 按正常方法寻找最优解。
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§3.3 线性规划求解方法
要使Z=CX达到最大，由(3.3-3)知只需去寻找一恰当 的基B使得 CN CB B1N O (称 CN CB B1N O为检验数向量) 3）基本思路： 基于线性规划问题的标准形，先确定一初始基可行解 X0，并由此开始在保证目标函数值不下降的情况下逐次施 行从一个基可行解到另一个基可行解的转换。如此进行下 去，直到取得最优解或判明问题无最优解为止。 4）基本步骤： （1）对一般线性规划问题标准化； （2）确定一初始基可行解X0； （3）若所有检验数σj≤0（ σj为 CN CB B1N的第j个分量）, 则X0是线性规划问题的最优解，停止计算；否则转(4)
max( w) x5 x6 2 x1 x2 x3 0 x4 0 x5 0 x6 16 x 3x 0 x x x 0 x 20 1 2 3 4 5 6 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 x6 10 x j 0, j 1,2,3,4,5,6
§3.3 线性规划求解方法
4、作用：线性规划理论的几何意义，并说明线性规划解 的四种情况（唯一最优解、无穷最优解、有可 行解而无最优解、无可行解）。 5、举例说明。
三、单纯形法
1、单纯形法的概述 1）适用范围：线性规划标准形问题。 2）基本原理： （1）目标：使Z=CX最大，在AX=b,X≥0条件下； （2）理论：线性规划基本理论 （3）结论：
(3.3-8)
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§3.3 线性规划求解方法
具体解题步骤见下表3.3-5 cj 0 0 0 xB
x3 x5 x6
0
-1
-1
CB
0 -1 -1
x1
2 1 1
x2
1 3 1
x3
1 0 0
x4
0 -1 0
x5
0 1 0
x6
0 0 1
b
16 20 10
σj
x3 x2 x6 σj 0 0 -1
x3 x2 x1
2
3
0
0
-M
-M
CB
0 3 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0
x3
1 0 0
x4
-1/2 -1/2 1/2
1/2
x5
1/2 1/2 -1/2
-1/2-M
x6
-5/2 -1/2 3/2
-3/2-M
b
1 5 5
σj
x3 x2 x4 σj 0 3 0
0
1 1 2 -1
0
0 1 0 0
0
1 0 0 0
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§3.3 线性规划求解方法
（ 4 ）若存在σt ＜0所对应的系数列向量 pt≤O，则线性规 划问题无最优解，停止计算；否则转（5）。 （5）按最大检验数规则： max { j | j 0} k
j
确定进基变量xk和主列pk；再按最小比值规则：
bi bl min{ | aik 0} i aik alk
§3.3 线性规划求解方法
3、初始基可行解的求法：
在前边的讨论中我们总假定当问题化为标准型后，系 数矩阵中有一个全部由松弛变量列向量构成的单位矩阵， 如果右边项系数全都大于或等于零，只要取该单位矩阵为 初始基就可以得到一个初始基本可行解。但在一般情况下， 化为标准型的矩阵中不一定含有单位短阵。例如，当线性 规划问题有等式约束时就无法引入松弛变量；如果约束的 右边项系数出现负值时也无法直接得到一个初始可行解。 在这种情况下，可引入人工变量来构造一个初始基。 具体做法是： 1)将所有约束的右边项值调整为大于或等于零：对右边项
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§3.3 线性规划求解方法
通过人的计算和判断进行单纯形迭代。用计算机计算时，由
于计算机无法直接使用参数计算，M必须赋予一个较大的值， 并视求解的情况对M值进行调整。如果给定M后，计算所得 的最优基已不含人工变量，该解即为最优可行解。当给定的 M足够大时，最优解中仍含有人工变量，则可判断原问题无 可行解。下面举例说明如何使用大M法。
例：用大M法求解下列线性规划问题：
§3.3 线性规划求解方法
具体解题步骤见下表3.3-4 cj 2 3 0 xB
x3 x5 x6
0
-M
-M
CB
0 -M -M
x1
2 1 1
x2
1 3 1
x3
1 0 0
x4
0 -1 0
x5
0 1 0
x6
0 0 1
b
16 20 10
σj
x3 x2 x6 σj 0 3 -M
确定出基变量xl和主元alk。 （6）以主元alk进行换基迭代得一新的基可行解x1,将x1 记 为x0返回到（3）。 5）基本工具：计算机或单纯形表。
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§3.3 线性规划求解方法
2、单纯形法应用举例：
max Z 25 x1 10 x 2 0.6 x1 0.5 x2 12000 0.4 x 0.1x 4000 1 2 0 . 4 x 6000 2 x1 0, x2 0
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§3.3 线性规划求解方法
第一阶段：在原问题中引入人工变量并找到一个初始基。另
构造一个新的求极小值的目标函数，该目标函数除人工变量 的系数为1以外，其余变量的目标函数系数都为零。求解该 线性规划问题，在不退化的前提下，如果得到的最优解值为 零，表明所有的人工变量已经不在基中。第一阶段的最优解 即是原问题的一个基可行解。 第二阶段：将原目标函数换回，以第一阶段得到的可行基 为初始基进行迭代，直到找到最优基为止。在第二阶段的迭 代中可以删去所有人工变量，保留它们只会增加不必要的计 算。下面举例说明两阶段法求解过程。
x3
1
x4
0
x5
0
12000
0.4
0.1
0
1
0
4000
0.0
25
0.4
10
0
0
0
0
1
0
6000
0
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§3.3 线性规划求解方法
此表对应一个可行方案和该方案最优检验结果。 可行方案：
x1=x2=0, x3=12000, x4=4000, x5=6000.
最优性检验结果：检验值全部非负（若全部非正，则可行 方案是最优方案）