陀螺经纬仪原理与应用

三、陀螺仪的运动方程
二、陀螺仪运动方程 （10）
或
（11）
以上两式称为陀螺仪运动的进动方程，用来研究陀螺仪的运动特性已能 满足工程需要。
四、自由陀螺仪的视运动
一、地理坐标系 地理坐标系是用来表示地球及其运 动的坐标系，如图2所示。 （12） 其中,ω1为地球自转角速度ωe在水平轴ON 上的分量，其物理意义为地平面ONW绕ON
由上可知，自由陀螺仪相对地球
图5
来说，由于视运动的存在其主轴不能相对地球保持方位不变。
四、自由陀螺仪的视运动
三、陀螺仪视运动分析 假设在起始时刻陀螺坐标系Oxyz与 地理坐标系ONWT相重合，如图6所示。 ωy和ωz是陀螺仪相对惯性空间的绝 对运动角速度在陀螺坐标系Oxyz的y轴和 z轴上的分量，则有： （14）




二、向量的数量积（点乘）：

a b axbx a y by az bz


三、向量的向量积（叉乘）：

i a b a x

j ay by
k az (a y bz az by ) i (az bx axbz ) j (axby bx a y ) k bz
附录Ⅲ、哥氏转动坐标定理
所以有
三、陀螺仪的运动方程
一、欧拉动力学方程 由角动量定理，上式可写成：
将
写成沿动坐标Oxyz的坐标轴的投影形式：
而且
三、陀螺仪的运动方程
一、欧拉动力学方程 外力矩 在动坐标系中可表示为
式中，Mx，My，Mz分别为外力矩 由上面推导可得
在x,y,z三根坐标轴上的投影。
上式为刚体定点转动的 欧拉动力学方程式。
cos 1 ，忽略二阶以上的微量，方程组（8） ，
（ 9） 上式即为陀螺仪运动的技术方程。 在技术方程中的惯性项（含J项），只引起陀螺仪主轴高频微幅的振 荡运动，这种运动称为章动，章动会由于周围介质的阻力和支承系统的 摩擦而很快消失。 因此，在研究陀螺仪运动时，略去含有转动惯量的各项，将不会影 响陀螺仪主轴的主要运动特性。故（9）式又可以简化为：
三、陀螺仪的运动方程
二、陀螺仪运动方程 下面研究陀螺仪主轴绕外环轴的转角α和绕内环轴的转角θ的变化 规律。由图1可知： （ 6）
对
y
， z 求导数有
（ 7）
将（6）、（7）代入（5）式中，整理可得：
（ 8）
三、陀螺仪的运动方程
二、陀螺仪运动方程 因为α和θ在陀螺实际工作时是很小的，因此可以认为： ， 可简化为 ，
陀螺经纬仪原理与应用
报告主要内容
一、概述 二、陀螺的特性及力学原理 三、陀螺仪的运动方程 四、自由陀螺仪的视运动 五、陀螺经纬仪的指北原理 六、陀螺经纬仪的应用
一、概述
什么是陀螺？
绕一个支点高速转动的刚体称为陀螺(top)。
一、概述
什么是陀螺仪？
把陀螺安装在专门的悬挂装置上，就构成了陀螺仪（gyroscope）。


d ri 因为 dt vi vi vi 0 根据牛顿第二定律



d vi mi mi ai Fi dt

Fi 为作用在质点上的外力，则上式变为
d Hi ri Fi M dt

其中 M ，为作用在刚体所有质点上的外力对O点的力矩向量之总和。
轴以角速度ω1的不断作西升东降的转动。
ω2为地球自转角速度ωe在垂直轴OT 上的分量，其物理意义为当地子午面绕OT 图2
轴以角速度ω2的不断向西转动。
四、自由陀螺仪的视运动
二、视运动现象 以地球为参考基准，观察陀螺仪主轴相对地球的运动，称为陀螺仪 的视运动。 （1）将自由陀螺仪放置在地球的
北极，主轴水平，如图3所示。以地
球为基准的人将会看到，陀螺仪的 主轴在水平面内相对地球作顺时针的
转动。
图3
四、自由陀螺仪的视运动
二、视运动现象 （2）将自由陀螺仪放置在赤道 处，主轴水平指向东，如图4所示。 高度角变化的角速度为：
-e

（13）
图4
四、自由陀螺仪的视运动
二、视运动现象 （3）将自由陀螺仪放置在地球 上任意纬度φ处，并使其主轴水平指 向北，我们会看到陀螺仪的主轴将 逐渐偏离当地子午线，绕与地球极轴 相平行的轴线相对地球作顶角为2φ 的圆锥运动，如图5所示。



三、陀螺仪的运动方程
一、欧拉动力学方程
因此：
三、陀螺仪的运动方程
一、欧拉动力学方程 当刚体运动时，角动量H相对惯性坐标系的变化关系可用下式表示：
上式即为哥氏转动坐标定理：在惯性坐标系中，某一向量函数对时 间的变化率（绝对变化率）等于同一向量在动坐标系中对时间的变化率 （相对变化率）与动坐标系对固定坐标系旋转角速度向量与该向量本身 的向量积进行相加。 下面在附录Ⅲ来证明该等式
附录Ⅰ：向量的运算
在坐标系中，用单位向量


i ，j


， k 分别表示为

a ax i a y j az k b bx i by j bz k



一、向量的加减：

a b (ax bx ) i (a y by ) j (az bz ) k

dH M dt

得
d H M dt



由于脉冲力矩 M 是瞬时作用的，即 dt 趋向于零，所以 d H 也趋向于 零，这就说明角动量没有什么明显变化，亦即陀螺仪主轴仍然能保持原 来的方向不变。
二、陀螺仪的特性及力学原理
陀螺仪特性的力学原理
1、进动性
陀螺仪在外力矩作用下，其主轴做追赶外力矩运动的特性，或者说 角动量 H 力图以最短路径向外力矩 M 靠拢的特性，叫做陀螺仪的进动 性。
一、概述
什么是陀螺经纬仪？
陀螺经纬仪（gyro theodolite）是带有陀螺仪装置、用于测定直线 真方位角的经纬仪。其关键装置之一是陀螺仪，又称回转仪。
索佳 GP-1型
中国航天BTJ-5型
二、陀螺仪的特性及力学原理
陀螺仪的坐标系：
陀螺转子的运动本质是刚体定点转 动问题，为了研究问题的方便，需 建立一组右手直角坐标系OXYZ，用 来表示陀螺仪转子主轴在空间的方 位。其定义如下： 1、坐标原点O为陀螺仪支架中心； 2、X轴与转子自转轴重合，但不参 与自转，其正方向选定为：从X轴 尖看进去转子做逆时针旋转； 3、Y轴与内环轴重合； 4、Z轴与X,Y轴组成右手直角坐标 系并始终垂直于XOY平面。

H H i ri mi vi mi ri J
2






ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中 J mi ri2 称为陀螺转子的对自转轴的转动惯量。
附录Ⅱ：角动量及角动量定理
二、角动量定理 刚体在空间绕定点O转动时，刚体对O点的角动量 H 为对时间求导：
dr dv dH mi i vi mi ri i dt dt dt
二、陀螺仪的特性及力学原理
陀螺仪特性的力学原理
1、定轴性（稳定性）
根据角动量定理，如果作用在陀螺仪上的外力矩为零，则角动量末 端的速度也应为零，即 得 dH 0 H 常量 dt 说明若主轴初始时刻指向空间某一方向，那么以后将始终指向该方向， 这就是陀螺仪具有定轴性的原因。 同样，由角动量定理
i
的动量 mi vi

对定点O之矩，
H i ri mi vi



附录Ⅱ：角动量及角动量定理
在实际陀螺仪表中，陀螺转子绕X轴的自转角速度 要比绕 Y轴和Z轴 的角速度远远大得多（一般绕X轴的自转角速度为2000r/min左右，而绕Y 轴和 Z轴的角速度仅在 1°/min以下），所以陀螺转子角动量实际上可以 看成为对于X轴的角动量，这样 、 、 互相垂直，角动量 v i ri H(也称动量 矩)的大小为
2
2
1
1
说明在地球上的任意纬度处，自由陀螺仪主轴相对于地球的视运动 轨迹是一个如图8所示的顶角为2φ的圆锥面。
图7
图8
五、陀螺仪的指北原理
一、钟摆式陀螺仪的原理 由第四节可知，自由陀螺仪并没有找北能力，但只要对陀螺仪施加 一定的控制力矩（如重力矩），使其主轴以当地子午线的转动角速度相 对惯性空间进动，从而跟踪当地的子午线，这时主轴就有了寻北功能。
四、自由陀螺仪的视运动
三、陀螺仪视运动分析 由上解得
设初始条件为t=0，θ（0）=0，α（0）=0得 （19）
消去参数ω1t：
（20）
四、自由陀螺仪的视运动
三、陀螺仪视运动分析 上式（20）即为水平指向北的自由陀螺仪放置在地球的任意纬度φ 处，其主轴在方位角和高度角上的运动规律，其端点的运动轨迹为一个 tan ，如图7所示。 0 ， 圆，在αOθ相平面上，其圆心为 ，圆的半径为
转子的转动惯量愈大，稳定性愈好；
转子角速度愈大，稳定性愈好。
二、陀螺仪的特性及力学原理
陀螺仪的基本特性：
2、进动性
当转子高速旋转时，若外力矩作用于外 环轴，陀螺仪将绕内环轴转动；若外力矩作 用于内环轴，陀螺仪将绕外环轴转动。其转 动角速度方向与外力矩作用方向互相垂直。 这种特性，叫做陀螺仪的进动性。 进动角速度的方向取决于动量矩 H 的方向 ( 与转子自转角速度矢量的方向一致 ) 和外力 矩M的方向，而且是自转角速度矢量以最短的 路径追赶外力矩。
由前面推得的进动方程：
图6 （15）
四、自由陀螺仪的视运动
三、陀螺仪视运动分析 对自由陀螺仪而言，作用在陀螺仪上的外力矩为0，即My=Mz=0 。 将式（15）代入式（14），则可以得 （16） 由于α和θ是很小的角度，将式（16）线性化，可得
（17）
四、自由陀螺仪的视运动
三、陀螺仪视运动分析 由式（17）第一式得 ，代入式（17）第二式得： （18） 这是一个二阶齐次常微分方程，求解方法如下:
三、陀螺仪的运动方程
二、陀螺仪运动方程 设 ： t=0 时 ， 惯 性 坐 标 系 OXYZ 和 陀螺坐标系Oxyz重合； 设 ： t=t1 时 ， 陀 螺 坐 标 系 Oxyz 绕 外 环轴的正向以角速度 相对惯性 坐标系转α角； 设：t=t2时，陀螺坐标系又以角速度 绕内框架轴转θ角。
二、陀螺仪的特性及力学原理
陀螺仪的基本特性：
1、定轴性（稳定性）
当陀螺转子以高速旋转时，在没有任何外力矩作用在陀 螺仪上时，陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不 变，即指向一个固定的方向；同时反抗任何改变转子轴向的 力量。这种物理现象称为陀螺仪的定轴性或稳定性。 其稳定性随以下的物理量而改变：
bx
附录Ⅱ：角动量及角动量定理
一、角动量
设刚体以角速度 绕定点 O 转动，如下图所示，刚体内 任意一质点i对O点的向径为 r ，则质点i的线速度为
i

vi ri
该质点 i（质量为mi）的动量为
mi vi mi ri


该质点i的角动量 即
H i ，是指该质点

若陀螺仪主轴在外力矩 M 作用下以角速度 进动时，向量 H 的端 点线速度为 ,又根据角动量定理，角动量 H 矢端线速度 v



v H

应等于所加外力矩 M ，故有 M H
根据以上分析，可得：陀螺仪在外力矩作用下，其主轴要产生进动。 进动方向用右手法则确定；进动角速度的大小与外力矩成正比，与角动 量成反比。
角动量定理：刚体对某点的角动量对时间的导数等于作 用在刚体上所有外力对同一点的总力矩。
附录Ⅱ：角动量及角动量定理
二、角动量定理
同时，已知向量对时间的导数就是此向量末端的瞬时速 度 v ，即

v

dH dt

综合以上，可推出
vM

因此，角动量定理又可叙述为：
刚体对某一点的角动量向量的末端速度 v 在几何上等 于作用在刚体上所有外力对同一点的总力矩 M 。

图、1
三、陀螺仪的运动方程
二、陀螺仪运动方程 由刚体定点转动的欧拉动力学方程式：
（ 1）
而角动量 H 在x轴，y轴，z轴上的投影分别等于： （ 2）
三、陀螺仪的运动方程
二、陀螺仪运动方程 将（2）式代入（1）式中，可得： （ 3）
对于实用陀螺都有：
，
和
，所以可以认为：
，将以上代入（3）式，可得
（ 4）
三、陀螺仪的运动方程
二、陀螺仪运动方程 在陀螺仪工作中，陀螺转子的转速是一个常数，这表明作用在自转 轴x上的驱动力矩被转子轴承中的摩擦力矩和介质力矩所平衡，即作用在 x轴上的外力矩Mx=0。 这样（4）式第一项可写成 ，又因为 ，则有
，即：
， H x 常值 。
所以，在研究陀螺运动时，可以不考虑第一项，而将方程组（4）中 的第二项、第三项作为研究陀螺仪的运动方程。 （ 5）