第三章机器人运动学

是正交矩阵，则
行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是
一个数。
二、直角坐标系
若基矢量相互正交，即它们在原点o处两 两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡 儿坐标系。 若按右手法则绕oz轴转900可以使ox轴转向 oy轴，则称为右手坐标系；按左手法则形成的 坐标系称左手坐标系。
斜角坐标系
结论：齐次变换 不仅可以表示同一点相对不同坐标系{B}和{A}中 的变换，也可用来描述坐标系{B}相对于另一坐标系{A}的位姿，
同时还可用来作为点的运动算子。
例3.4 已知
，画出{A}和{B}的相互位姿关系图。
3.1.2.4
齐次变换的性质
Y R P
图3-8 RPY角
一.变换过程的相对性
1、绕固定坐标系依次进行的坐标 系转换，各齐次变换矩阵按“从右 向左”依次相乘原则进行运算（右 乘）。
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中， 由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量 ( 数。 分别代表了ox，oy和oz轴的无穷远 点，用它们分别表示这三个坐标轴的方向。另外， 坐标原点， 没有意义。 代表 ）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
旋转矩阵的几何意义：旋转矩阵在几何上表示了发生相互旋 转的两坐标系各主轴之间的相互方位关系。
因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转θ角的旋转 矩阵：
z' θ z y' θ y
x θ x’
x’ x y z y’ z’ x y x’ y’ z’ x y z
z' θ z
z z'
y' y
x θ x’
，
A B P BT P B C B P CT P A C A P CT P
A
，则有
A
A B C P BT CT P
A C
B T AT CT B
从而定义复合变换
。
同理得出： 即一个坐标系变换至另一坐标系的齐次变换矩阵等于依次经历中
间坐标系各齐次变换矩阵的连乘积。
{T} {G} {S}
因此有 由上面两式得变换方程：
B W S T B T GT GT WT 1 S T T
例 3.5 如图所示，从{0}系到{3}系依次经过{1}系和{2}系的变换, ①用两种方法求 和 ，第一种根据齐次变换矩阵的几何意 （用两种
义求解，另一种采用坐标系依次变换的方法；②求 方法）； ③画出{0}到{3}的空间尺寸链图。
将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：
3.1.2 位姿描述与齐次变换
3.1.2.1 刚体位置姿态（位姿）描述
a) 位置的描述
采用直角坐标描述点的位置，因此，刚体F的位置描述，即 OB点在{A}中描述可用一个3×1的列矢量 （位置矢量）表示，即
其中Px、Py和Pz是点OB在{A}系中的三个坐标分量。
kx
oz a y
2 sin a nz ky x 2 sin n y ox kz 2 sin
两点注意:①多值性：K和θ的值不唯一。实际上，对于任意一组 K和θ，都对应另一组-K和-θ，(K,θ) 和(k, θ+n×360)对应的转动
效果相同，θ的取值也有多种，一般取在0°到180°之间。
A B PBO P 1 1
A
A B A P B R P PBO
11
简写成 综合地表示了平移和旋转变换。
一、齐次坐标
一般来说，以N+1维矢量表达N维位置矢量的方法称为齐次 坐标表示法。
在三维直角坐标系中，一个点可以表示 为
次坐标就是
，它的齐
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
xB xE yE zE
zB zE xE yB xB yE
zB
(1,2,2)
zE xE yB
(1)
yB
zB
(2)
xB yE
(3) a=0，b=1，c=0
三、一般变换
最一般的情况：坐标系{B}的原点既不与{A}重合，方位也不相同。
{C}系与｛Ｂ｝系原点重合， 但方位不同，所以得
{C}系与｛A｝系原点不重合， 但方位相同，所以得 和
其中，sθ=sinθ;cθ=cosθ;Versθ=(1-cosθ)。 如果 与坐标轴重合，则可得到绕x,y和z轴旋转的基本旋转矩阵。
例：求绕过原点的轴线
转动1200的旋转矩阵
二. 等效转轴与等效转角
任何一组经过有限次基本旋转变换后的复合旋转总可以等
效成绕某一过原点的轴线转θ角的单一旋转。
对于给定的旋转矩阵R
30o
yB
yA
(10,5,0)
xA xB
所以有：
cos30 0 A R R( z,30 0 ) sin 30 0 B 0
A
sin 30 0 cos30 0 0
0 0.866 0.5 0 0 0.5 0.866 0 1 0 0 1
b) 姿态（方位）的描述 采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位） ，即由{B}系的三个 单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成： xB yB zB
xA yA zA
其中：cos cos(x B , x A ) 既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中
的姿态。
3.1.2.2
注意：位置矢量 究竟是3×1的直角坐标还是4×1的齐次坐标，应 根据上下文而定。
二、齐次变换
齐次变换矩阵是4×4的矩阵，它的完整形式可以看成是由 四个子矩阵组成：
R33 T f13
P31 旋转变换 位置矢量 11 透视变换 比例变换
在机器人研究中，齐次变换矩阵T为：
纯旋转的齐次变换矩阵中P3×1为零矩阵，即 因此写出绕x，y和z轴旋转θ角的基本齐次变换矩阵为：
，
纯平移的齐次变换矩阵中R3×3=I3×3（单位阵），因此可以 写出沿x，y和z轴移动Px，Py和Pz单位的基本平移变换阵：
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 {C}相对{B}的描述为
{1}
空间尺寸链图：
{2} {0} {3}
3.1.2.5
旋转变换通式
一.旋转变换通式
如果不是单位 矢量，要化为 单位矢量
令 是过{A}系原点的单位矢量，求绕K旋 转θ角到{B}系的旋转矩阵R(K,θ)，即 。
因此
图3-11 尺寸链图
将上式展开得
把上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质
进行化简整理后得
PBO
10 5 0
A B A 最后得： P B R P PBO
A
9.098 12 .562 0
3.1.2.3 齐次坐标与齐次变换
复合变换式 可以表示成等价的齐次变换式。
A A P B R 1 0
②病态情况：当转角θ很小时，转轴难确定；当θ接近0°或
180°时，转轴完全不能确定，需另寻解法。 例：求复合变换 的等效转轴k和转角θ。
3.1.3 工业机器人的运动学
1
{L1} {L2}
2
3
3.1.3.1 D-H方法建立坐标系
若为移动副连接，连杆长度 a i 已经没有意义，故令其为零。 A）中间连杆坐标系的建立： Zi——与关节i+1的轴线重合，方向任意 Oi——关节i和i+1轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点。关节i和i+1 的轴线相交时，Oi选在交点上；关节i和i+1的轴线平行时，Oi选在 使di+1=0处（关节i+1和i+2的公垂线与关节i+1轴线的交点处）。
=
RPY角 反解：
2、绕动坐标系依次进行的齐次变换，按“从左向右”的原则依
次相乘(左乘）。
z-y-x欧拉角：
=
相对于固定坐标系运动
相对于活动坐标系运动
二.变换过程的可逆性 齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换 。
所以有
I 44 B T AT A B
B AR 0 B A PAO B R 1 0 A
PBO 1
B
B A A RBR 0
B A
B A
B A
R PBO PAO I 33 1 0
A
0 1
对应元素相等得
A R B R I 33
R APBO B PAO 0
所以得
三.变换过程的封闭性
{W}
画出空间尺 寸链图为:
{B}
和
所以有 利用点乘的性质和上式共同求解得
将
代入上面三式中并写成矩阵形式得
上式简写为：
此式称为坐标旋转方程。其中旋转矩阵 表示了坐标系{B}相
对于{A}的方位，正好与刚体姿态的描述相同。同理也可得
和
都是正交矩阵，因此满足
由
与
互逆，可得
若把
写成行向量的形式
，则其中 满足六个约束条件
每一个元素都是一个列向量。容易得出 （称正交条件）：
x’ y’
y' θy
x x’
z’
z
例3.1 若从基坐标系
矩阵为
({B})到手爪坐标系
({E})的旋转变换
。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的
原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢
量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，