泊松方程和拉普拉斯方程

拉普拉斯方程和泊松方程

摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。

关键词：分离变量电磁场拉普拉斯

简史

1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和

即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：

，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出，如

果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。

静电场的泊松方程和拉普拉斯方程

若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-V高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：

式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo =8.854×10-12

法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程 。

在各分区的公共界面上，V 满足边值关系，

, 式中i ，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边界面上的内法线

方向。

边界条件和解的唯一性

为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物

理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄

利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷

，叫做诺埃曼边界条件。

静电场的唯一性定理： 设区域V 内给定自由电荷分布)(x ，在V 内电势满足泊松方程

或拉普拉斯方程,在V 的边界S 上给定电势

,或V 边界上给定电势的法线方向偏导数

,则V 内场（静电场）唯一确定。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。

各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任

何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，

可以通用于其他的势场。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程

在SI 制中，静磁场满足的方程为

,式中j 为传导电流密度。第一式表明静磁

场可引入磁矢势r)描述： 。

在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为。

选用库仑规范，，则得磁矢势A满足泊松方程，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。

拉普拉斯方程的解——分离变量法

在直角、柱或球坐标系的分离变量法中，通过变量分离将拉普拉斯方程分解为两个或三个微分程分别求解，然后利用边界条件和初始条件来确定其中的系数和常数。

参考文献：

郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。

J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye & Sons，New York，1976.)

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