NSGA,NSGA-I算法详解
如何在Matlab中进行多目标优化问题求解
如何在Matlab中进行多目标优化问题求解如何在Matlab中进行多目标优化问题求解？多目标优化问题是指存在多个目标函数，且这些目标函数之间相互矛盾或者无法完全同时满足的问题。
在实际应用中，多目标优化问题非常常见，例如在工程设计中寻求最佳平衡点、在金融投资中追求高收益低风险等。
而Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的优化算法和工具箱，可以帮助我们解决多目标优化问题。
一、多目标优化问题数学建模在解决多目标优化问题之前，首先需要将实际问题转化为数学模型。
假设我们需要优化一个n维的向量x，使得目标函数f(x)同时最小化或最大化。
其中，n为自变量的个数，f(x)可以表示为多个目标函数f1(x)、f2(x)、...、fm(x)的向量形式：f(x) = [f1(x), f2(x), ..., fm(x)]其中，fi(x)（i=1,2,...,m）即为待优化的目标函数。
在多目标优化问题中，一般没有单一的最优解，而是存在一个解集，称为"帕累托前沿（Pareto Frontier）"。
该解集中的每个解被称为"非支配解（Non-Dominated Solution）"，即不能被其他解所优化。
因此，多目标优化问题的目标就是找到帕累托前沿中的最佳解。
二、Matlab中的多目标优化算法Matlab提供了多种多目标优化算法和工具箱，包括paretosearch、gamultiobj、NSGA-II等等。
这些算法基于不同的思想和原理，可以根据问题的特点选择合适的算法进行求解。
1. paretosearch算法paretosearch算法采用遗传算法的思想，通过迭代更新种群来寻找非支配解。
该算法适用于求解中小规模的多目标优化问题。
使用paretosearch算法求解多目标优化问题可以按照以下步骤进行：（1）定义目标函数编写目标函数fi(x)（i=1,2,...,m）的代码。
非支配排序遗传算法ii
非支配排序遗传算法ii
非支配排序遗传算法II（NSGA-II）是一种多目标优化算法，它是对NSGA的改进和升级。
NSGA-II在保持NSGA的优点的同时，通过引入快速非支配排序算法和拥挤度距离的概念，进一步提高了算法的效率和性能。
NSGA-II的核心思想是将种群中的个体按照非支配关系进行排序，即将个体划分为不同的层次，每一层次中的个体都不会被其他层次中的个体所支配。
这样，我们就可以得到一组非支配解集，其中每个解都是最优的，而且它们之间没有支配关系。
为了实现这一目标，NSGA-II采用了快速非支配排序算法。
该算法通过比较个体之间的支配关系，将种群中的个体划分为不同的层次。
具体来说，对于任意两个个体i和j，如果i支配j，则将j的支配计数加1；如果j支配i，则将i的支配计数加1；如果i和j之间不存在支配关系，则它们的支配计数都为0。
然后，将支配计数为0的个体划分为第一层，支配计数为1的个体划分为第二层，以此类推，直到所有个体都被划分为不同的层次。
在得到非支配解集之后，NSGA-II还引入了拥挤度距离的概念，以保证解集的多样性和分布性。
拥挤度距离是指一个个体周围的密度，即它与相邻个体之间的距离之和。
NSGA-II通过计算每个个体的拥挤度距离，将解集中的个体按照密度从大到小排序，以保证解集中的个体分布均匀，不会出现过于密集或过于稀疏的情况。
NSGA-II是一种高效、可靠的多目标优化算法，它通过快速非支配排序和拥挤度距离的概念，实现了对种群中的个体进行有效的排序和筛选，得到了一组优质的非支配解集。
在实际应用中，NSGA-II 已经被广泛应用于各种多目标优化问题中，取得了良好的效果。
NSGA-NSGA-I算法详解
NSGA的缺点：
1）非支配排序的高计算复杂性。非支配排序遗传算法
一般要进行次搜索 ( m是目标数量，N 是种群大
小)，搜索次数随着目标数量和种群大小的增大而增多。
2）缺少精英策略。近年来的研究结果表明，精英策略
可以加快 GA 的执行，还有助于防止好的解丢失。
3）需要指定特殊的共享参数share ，NSGA 的保持种
欧几里得距 −
其中，L为问题空间的变量个数, , 分别为 的上、
下界
（2）共享函数是表示两个个体间关系密切程度的函数，两个个体
与 间的共享函数 一般描述为：
−
， ≤ share
函数值。
拥挤度比较算子
--拥挤度比较算子
经过前面的快速非支配排序和拥挤度计算之后，种群中
的每个个体i都拥有两个属性：非支配排序决定的非支配序
rank 和拥挤度 。依据这两个属性，可以定义拥挤度比较
算子：个体i与另一个个体 j 进行比较，只要下面任意一个
条件成立，则个体i获胜。
① 如果个体i所处非支配层优于个体 j 所处的非支配层，
群和解的多样性的策略都是依赖于共享的概念，共享的
主要问题就是需要有一个共享参数share 。正是由于要
对共享参数作额外的工作，所以就需要一种不依赖共享
参数的方法。
带精英策略的非支配排序遗传算NSGAⅡ
NSGA-II 算法的改进：
1）提出了快速非支配排序算法，降低了计算的复杂度，使算
法的复杂度由原来 的降到
要人为指定共享参数的缺陷，而且将其作为种群中个体间的
比较标准，使得准 Pareto 域中的个体能均匀地扩展到整个
nsga2算法通俗讲解
nsga2算法通俗讲解NSGA-II（Nondominated Sorting Genetic Algorithm II）是一种经典的多目标优化算法，是对遗传算法的一种改进和扩展。
它使用遗传算法的思想来解决求解多目标优化问题，可以同时优化多个目标函数。
NSGA-II通过遗传算子的选择、交叉、变异等操作对候选解进行搜索，然后使用非支配排序和拥挤度距离计算来选择较好的个体，最终得到Pareto最优解集。
NSGA-II的核心思想是模拟进化过程来搜索多目标优化问题的解空间。
它通过构建和维护一个种群来搜索解空间，每个个体都代表一个候选解。
首先，随机生成一组个体作为初始种群，然后通过迭代的方式进行优化。
在每一代演化中，NSGA-II从当前种群中选择父代个体，并使用交叉和变异操作来产生子代个体。
然后，将父代和子代合并为一组候选解，通过非支配排序和拥挤度距离计算筛选出优秀的个体，构成下一代种群。
重复迭代直到满足停止准则。
非支配排序（Non-dominated Sorting）是NSGA-II中的一个重要操作，用于根据个体的优劣程度进行排序。
首先，对种群中的所有个体进行两两比较，如果某个个体在所有目标函数上都优于另一个个体，则认为前者不被后者支配。
根据支配关系，将个体分为不同的等级，形成层次结构。
然后，在每个等级中按照拥挤度距离进行排序。
拥挤度距离用于衡量个体周围的密度，较大的值表示个体所在区域较为稀疏，较小的值表示个体所在区域较为密集。
通过综合考虑支配关系和拥挤度距离，可以选择出较优的个体。
NSGA-II采用了精英策略（Elitism）来保留种群中的优秀个体，避免遗忘最优解。
在选择下一代个体时，将精英个体直接复制到下一代，以保持种群的多样性和收敛性。
通过重复进行选择、交叉和变异操作，不断更新种群，使得算法能够逐渐搜索到Pareto最优解集。
NSGA-II是一种高效的多目标优化算法，它充分利用了种群中个体之间的关系，通过非支配排序和拥挤度距离计算来选择出Pareto最优解集。
nsga-ii计算流程
nsga-ii计算流程NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II）是一种基于遗传算法的多目标优化算法。
其计算流程主要包括以下几个步骤：1. 初始化种群：随机生成一个初始种群，包含一定数量的个体。
每个个体表示一个解，解的维度与问题相关。
2. 计算适应度函数：根据问题的特点，为每个个体计算适应度函数值。
适应度函数值反映了个体在多目标优化问题中的优劣程度。
3. 非支配排序：根据适应度函数值对种群中的个体进行非支配排序。
将种群分为多个等级，每个等级中的个体互不支配。
支配等级较高的个体具有较高的适应度函数值。
4. 拥挤距离计算：针对每个等级，计算个体之间的拥挤距离。
拥挤距离反映了个体在同一等级中的相对优劣程度。
5. 选择操作：采用二元锦标赛选择策略，从高到低选取一定数量的个体作为父代。
此外，根据拥挤距离和精英策略，选取部分优秀个体直接进入下一代种群。
6. 交叉操作：对选定的父代个体进行交叉操作，生成新的子代个体。
交叉方式有多种，如单点交叉、多点交叉等。
7. 变异操作：对子代个体进行变异操作，增加种群的多样性。
变异方式有多种，如随机变异、均匀变异等。
8. 更新种群：将新产生的子代个体与上一代种群中的优秀个体合并，形成新一代种群。
9. 终止条件判断：判断是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或收敛。
如果满足终止条件，算法结束并输出当前最优解；否则，返回步骤2，继续迭代。
整体而言，NSGA-II算法的计算流程侧重于对种群中的个体进行非支配排序和拥挤距离计算，以实现多目标优化的Pareto前沿搜索。
通过选择、交叉和变异操作，逐步逼近最优解集合。
第一代非支配排序遗传算法
第一代非支配排序遗传算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：第一代非支配排序遗传算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-I）是一种多目标优化算法，它将遗传算法与非支配排序技术结合起来，用于解决具有多个目标函数的优化问题。
NSGA-I 的提出是为了解决传统遗传算法在多目标优化中存在的问题，例如难以找到非支配解、收敛速度慢等。
在多目标优化问题中，通常存在着多个目标函数之间的冲突，即优化一个目标函数可能会导致其他目标函数的性能下降。
我们需要一种有效的优化算法来找到一组非支配解，即没有其他解能同时优于它们的解集合。
NSGA-I就是一种这样的算法，它通过遗传算法的进化过程来搜索这样的非支配解集合。
NSGA-I的基本思想是将种群中的个体按照它们之间的非支配关系进行分类，然后根据这些分类结果来选择适应度高的个体用于繁殖下一代。
具体来说，NSGA-I算法的步骤包括初始化种群、计算适应度值、进行非支配排序、计算拥挤度距离、选择个体、交叉和变异等。
NSGA-I算法通过随机初始化种群，然后计算每个个体的适应度值。
在计算适应度值之后，算法会对种群中的个体进行非支配排序，将种群划分为不同的层次，每一层代表了一个不同的非支配集合。
在进行非支配排序的过程中，算法还会计算每个个体的拥挤度距离，用于保持种群的多样性。
接下来，NSGA-I算法会根据非支配排序和拥挤度距离来选择适应度高的个体用于繁殖下一代。
选择的方法包括锦标赛选择、轮盘赌选择等。
一旦选择了足够数量的个体，算法就会对它们进行交叉和变异操作，生成下一代种群。
通过不断迭代以上步骤，NSGA-I算法能够逐渐改进种群的性能，并最终找到一组非支配解集合，这些解集合之间不存在显著的偏好关系。
在多目标优化问题中，这样的解集合通常被称为帕累托前沿，代表了问题的最优解集合。
第一代非支配排序遗传算法（NSGA-I）是一种有效的多目标优化算法，通过结合遗传算法和非支配排序技术，能够有效地搜索帕累托前沿解集合。
连续昂贵多目标优化问题综述
第 22卷第 5期2023年 5月Vol.22 No.5May 2023软件导刊Software Guide连续昂贵多目标优化问题综述张峰，陈新中（中国电子科技集团公司第二十八研究所，江苏南京 210007）摘要：许多实际工程优化问题通常需要同时优化多个相互冲突的目标，并且目标函数的计算主要依赖十分耗时的仿真实验，此类问题一般可称为昂贵多目标优化问题。
代理辅助进化算法通过使用机器学习方法建立代理模型，并辅助算法进行评估，因而使代理辅助进化算法成为解决此类问题的热门方法。
根据问题规模大小将相关算法划分成两类，描述每类问题特点，分类梳理相关算法，并说明每个算法的优缺点，以便人们能直观地了解连续昂贵多目标优化问题研究进展，更好地开展后续研究工作。
关键词：多目标优化；昂贵多目标优化；代理辅助进化算法；代理模型；机器学习DOI：10.11907/rjdk.221626开放科学（资源服务）标识码（OSID）：中图分类号：TP18 文献标识码：A文章编号：1672-7800（2023）005-0248-05Survey of Continuous Expensive Multiobjective Optimization ProblemsZHANG Feng， CHEN Xin-zhong（The 28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation， Nanjing 210007， China）Abstract：Many practical engineering optimization problems usually involve optimizing multiple conflicting objectives at the same time， and the calculation of the objective function mainly relies on time-consuming simulation experiments， such problems can generally be called ex‐pensive multiobjective optimization problems. Surrogate-assisted evolutionary algorithms use machine learning methods to build surrogate mod‐els and assist algorithms for evaluation， which makes surrogate-assisted evolutionary algorithms a popular method to solve such problems. Ac‐cording to the scale of the problem， the relevant algorithms are divided into two categories， the characteristics of each type of problem are de‐scribed， the related algorithms are classified and sorted out， and the advantages and disadvantages of each algorithm are explained， so that people can intuitively understand the research progress of continuous expensive multiobjective optimization problems and better carry out fol‐low-up research work.Key Words：multiobjective optimization； expensive multiobjective optimization； surrogate-assisted evolutionary algorithm； surrogate mod‐el； machine learning0 引言许多实际工程优化问题，通常涉及同时优化多个相互冲突的目标，此类问题可称为多目标优化问题（Multiobjec‐tive Optimization Problem，MOP）［1-4］。
(完整版)NSGA-II
Abstract:NSGA（采用Non—dominated sorting and sharing算法的MOEA)存在以下三个问题:a、非劣排序遗传算法的复杂度为O（MN3）b、没有引进精英策略；c、必须人为指定一个共享参数；Introduction：传统的优化方法（Multi-criterion decision-making methods）提出将多目标优化问题转换为单目标优化问题，强调一次仿真运行只获得一个最优解，然后通过多次仿真希望获得多个不同的最优解;NSGA-II改进主要是针对如上所述的三个方面：a、提出了快速非支配排序算法，一方面降低了计算的复杂度，另一方面它将父代种群跟子代种群进行合并，使得下一代的种群从双倍的空间中进行选取，从而保留了最为优秀的所有个体;b、引进精英策略，保证某些优良的种群个体在进化过程中不会被丢弃,从而提高了优化结果的精度；c、采用拥挤度和拥挤度比较算子,不但克服了NSGA中需要人为指定共享参数的缺陷,而且将其作为种群中个体间的比较标准，使得准Pareto域中的个体能均匀地扩展到整个Pareto域，保证了种群的多样性。
NSGA-II提出了一个简单的解决约束优化问题的方法；Part II：强度Pareto进化算法，SPEA（suggested an elitist multi-criterion EA with the concept of non-domination）具体步骤如下:a、产生初始种群P和空的外部非劣解集NP;b、将种群P中的非劣个体拷贝到非劣解集NP；c、剔除集合NP中受种群P中个体支配的解;d、如果保留在集合NP中的非劣解的个数超过事先给定的最大值，则通过聚类分析对集合NP进行修剪，剔除多余的解；e、计算种群P和集合NP中每个个体的适应度值;f、利用二元锦标赛方法从P +NP中选择个体进入下一代;g、对个体实施交叉和变异操作；h、如果最大代数达到，停止搜索;否则转到b.适应度赋值:首先对非劣解集NP中的个体进行赋值，然后对种群中的个体赋值，具体描述如下：a、对于每个解x i ∈ NP，赋予一个强度值S i ∈[0,1）,S i = h i /(N+1)，其中h i 表示种群中受个体xi 支配的个体数,N为种群规模.Si即为xi的适应度值;b、每个个体x j ∈ P 的适应度值为1+ ∑S i ，即所有支配解x j 的解x i ∈ NP的强度之和再加1.聚类分析：通常情况下,非劣解集大小必须受限，必须为其规定最大规模，即保留在其中的解的最大个数，主要原因有四个方面：a、M OP的非劣解集大小可能非常大，甚至无穷大b、实现算法的计算资源是有限的；c、档案维护的复杂性会随档案规模的变大而显著增加；d、遗传漂移可能出现，因为均匀采样过程中搜索空间中过度代表的区域总是优先被选择。
几种多目标进化算法简介
NPGA II-Ranking
NPGA II-Niche Count
NPGA II – 总结评制选择个体进入下一代，出现tie则 使用共享机制 3. 计算个体的Niche Count，选择NC值较小的进入 下一代 1. 相对而言，效率不错（SGA和ERS），但也不算 很好 2. 不使用外部种群，精英保护机制类似于NSGA II
NSGA II-Sorting
NSGA II-Sorting
Crowded Comparison
Crowded Comparison
NSGA II-Main Loop
NSGA II-Main Loop
NSGA II-Main Loop
NSGA II-性能评价
a. 最优秀的多目标进化算法之一。
小生境技术的基本思想是将生物学中的小生境概念应 用于进化计算中，将进化计算中的每一代个体划分为若 干类，每个类中选出若干适应度较大的个体作为一个类 的优秀代表组成一个群，再在种群中，以及不同种群之 间，杂交、变异产生新一代的个体种群。
小生境（niche）
小生境计数（Niche Count） 用来估计个体 i 所有邻居（小生境内）的拥挤程度
个体支配关系
假设 x 和 y 是群体 P 中不同的两个个体，我们定义
x 支配（dominate） y ，如果满足下列条件：
（1）对所有子目标，都有 x 不差于 y ,
fk ( x) f k ( y), (k 1,2, , r )
（2）至少存在一项子目标，x 优于 y ， 即， l {1, 2,
多目标进化算法
多目标进化算法
1. 绪论
2. 主要的多目标进化算法 3. 多目标进化算法性能评价和问题测试集
nsga原理
nsga原理NSGA（Nondominated Sorting Genetic Algorithm）是一种多目标优化算法，被广泛应用于解决多目标优化问题。
它是基于遗传算法的一种改进方法，通过将个体按照非支配排序的方式进行进化，以寻找最优的非支配解集。
在传统的遗传算法中，通常只能找到单一的最优解。
然而，在实际问题中，往往存在多个相互矛盾的目标函数，需要在多个目标之间进行权衡和取舍。
NSGA正是为了解决这一问题而被提出的，它能够同时优化多个目标函数，得到一系列非支配解，这些解之间互相没有优劣之分。
NSGA的核心思想是通过将个体按照非支配排序的方式进行进化。
非支配排序是指根据个体在目标函数空间中的相对优劣关系进行排序，具有更好的解被分配更高的排序等级。
在排序的过程中，除了考虑个体的排名外，还需要考虑个体的拥挤度，即个体周围解的密度。
拥挤度越大，说明该个体所代表的解在目标函数空间中越优秀。
在NSGA中，通过交叉、变异等遗传操作对个体进行进化。
在每一代中，根据非支配排序和拥挤度计算，选取出一部分优秀的个体作为父代，然后通过遗传操作生成子代。
子代的生成过程中，还会对个体进行混合排序，以保证多样性和收敛性的平衡。
通过多代进化，NSGA可以逐渐收敛到非支配前沿，得到一系列非支配解。
NSGA在解决多目标优化问题时具有一些优点。
首先，它能够找到多个非支配解，提供了多样性的解集，为决策者提供了更多的选择空间。
其次，NSGA能够平衡收敛性和多样性，既能够快速收敛到非支配前沿，又能够保持解集的多样性。
此外，NSGA还可以通过调节参数和设置约束条件，适应不同的问题和需求。
然而，NSGA也存在一些限制和挑战。
首先，NSGA对于高维问题的计算复杂度较高，需要更多的计算资源和时间。
其次，NSGA在处理非线性和非凸问题时效果可能不如其他优化算法。
此外，NSGA在处理大规模问题时可能面临搜索空间过大的问题，导致效率下降。
总的来说，NSGA作为一种多目标优化算法，在解决多目标优化问题时具有一定的优势。
nsga-ii算法流程详细解释
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多目标遗传算法------NSGA-II（部分源码解析）实数、二进制编码的变异操作muta。。。
多⽬标遗传算法------NSGA-II（部分源码解析）实数、⼆进制编码的变异操作muta。
遗传算法的变异操作1/* Mutation routines */23 # include <stdio.h>4 # include <stdlib.h>5 # include <math.h>67 # include "global.h"8 # include "rand.h"910/* Function to perform mutation in a population */11void mutation_pop (population *pop)12 {13int i;14for (i=0; i<popsize; i++)15 {16 mutation_ind(&(pop->ind[i]));17 }18return;19 }⼀次进化过程中的变异操作，需要调⽤变异函数 mutation_ind 种群个数popsize 次。
函数包装，判断是实数编码还是⼆进制编码并调⽤不同的变异函数。
1/* Function to perform mutation of an individual */2void mutation_ind (individual *ind)3 {4if (nreal!=0)5 {6 real_mutate_ind(ind);7 }8if (nbin!=0)9 {10 bin_mutate_ind(ind);11 }12return;13 }⼆进制编码的变异操作：每个个体的每个变量的⼆进制编码段的每个⽐特位，以变异概率 pmut_bin 进⾏变异。
（单点变异）1/* Routine for binary mutation of an individual */2void bin_mutate_ind (individual *ind)3 {4int j, k;5double prob;6for (j=0; j<nbin; j++)7 {8for (k=0; k<nbits[j]; k++)9 {10 prob = randomperc();11if (prob <=pmut_bin)12 {13if (ind->gene[j][k] == 0)14 {15 ind->gene[j][k] = 1;16 }17else18 {19 ind->gene[j][k] = 0;20 }21 nbinmut+=1;22 }23 }24 }25return;26 }实数编码情况下的变异操作：（多项式变异）1/* Routine for real polynomial mutation of an individual */2void real_mutate_ind (individual *ind)3 {4int j;5double rnd, delta1, delta2, mut_pow, deltaq;6double delta;7double y, yl, yu, val, xy;8for (j=0; j<nreal; j++)9 {10 rnd = randomperc();11if (rnd <= pmut_real)12 {13 y = ind->xreal[j];14 yl = min_realvar[j];15 yu = max_realvar[j];16 delta1 = (y-yl)/(yu-yl);17 delta2 = (yu-y)/(yu-yl);18 delta = minimum (delta1,delta2);19 rnd = randomperc();20 mut_pow = 1.0/(eta_m+1.0);21if (rnd <= 0.5)22 {23 xy = 1.0-delta1;24 val = 2.0*rnd+(1.0-2.0*rnd)*(pow(xy,(eta_m+1.0)));25 deltaq = pow(val,mut_pow) - 1.0;26 }27else28 {29 xy = 1.0-delta2;30 val = 2.0*(1.0-rnd)+2.0*(rnd-0.5)*(pow(xy,(eta_m+1.0)));31 deltaq = 1.0 - (pow(val,mut_pow));32 }33 y = y + deltaq*(yu-yl);34if (y<yl)35 {36 y = yl;37 }38if (y>yu)39 {40 y = yu;41 }42 ind->xreal[j] = y;43 nrealmut+=1;44 }45 }46return;47 }eta_m 为实数编码的多项式变异的参数，为全局设定。
pbi指标 nsga
pbi指标 nsgaPBI指标NSGA是一种具有高效性和准确性的多目标优化算法，它在解决多目标问题时颇具优势。
本文将为您详细介绍PBI指标NSGA的算法步骤和应用场景。
一、PBI指标的定义PBI (Penalty Boundary Intersection) 指标是一种与 Pareto 可行域边缘的交点有关的多目标优化指标。
它是多目标优化中的一种重要准则，被广泛用于多目标优化过程中精度的评价，与传统的 IGD 和 HV 评价指标有着相近的作用，并且具有更好的鲁棒性和效率。
PBI 指标的计算式如下所示：PBI(x) = min{i=1,...,m} [ω_i|g_i(x)-z_i|] + d(x,z)其中，x 表示当前的解，m 是目标数，g_i(x) 是第 i 个目标函数，z_i 是理想解（即目标最优解），ωi 是权重系数，d(x,z) 是 x 到目标最优解的欧氏距离。
二、NSGA 的基本概念NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) 是一种优化理论和算法，它是一种多目标进化算法。
NSGA 最初由 Srinivas 和Deb 提出，该算法的原理是通过非支配排序，以及拥挤性度量来生成Pareto 最优解集。
三、PBI指标NSGA的算法步骤1. 初始化种群：初始化种群，包括个体的数量和染色体的结构。
2. 计算适应度：使用 PBI 指标计算每个个体的适应度，通过比较不同个体的适应度大小来实现非支配排序。
3. 生成新种群：根据拥挤性度量和非支配排序，生成新的个体，用于下一代的优化。
4. 剪枝：去除种群中不必要的或冗余的个体。
5. 终止条件：当达到指定的迭代次数或达到期望的解的数量时，算法停止。
四、应用场景PBI指标NSGA广泛应用于工程、城市规划等领域，它可以帮助决策者在设计中找到最优的解决方案，并在多个目标之间进行平衡。
同时，该算法可以提高工程设计的效率和准确性，节约设计成本。
多目标优化问题国内外研究现状
NSGA-I I
2. 拥挤距离的计算 : 为了保持个体分布均匀，防止个体在局部堆积，
NSGA-II算法首次提出了拥挤距离的概念。它指目标 空间上的每一点与同等级相邻两点之间的局部拥挤 距离。使用这一方法可自动调整小生境，使计算结 果在目标空间比较均匀地散布，具有较好的鲁棒性。
12
NSGA-I I
10
NSGA-I I
1. 快速的非劣解分类方法： 为了根据个体的非劣解水平将种群分类，必须将每一个
体与其他个体进行比较。NSGA-II算法采用快速的非劣解分 类方法，计算速度提高。
首先，对每一个解计算两个属性： 1 ni，支配解i的解数目； 2 si，解i所支配解的集合。 找到所有ni=0的解并将其放入F1，称F1是当前非劣解， 其等级为 1。对当前非劣解中的每一个解i，考察其支配集 中si的每一点j并将nj减少一个，如果某一个体j其nj成为零， 我们把它放入单独的类H。如此反复考察所有的点，得到当 前非劣解H。依次类推，直至所有解被分类。
遗传算法是模拟自然界生物进化过程与机制，求解 优化与搜索问题的一类自组织、自适应的人工智能技术 由于遗传算法是对整个群体进行的进化运算操作，它着 眼于个体的集合，而多目标优化问题的非劣解一般也是 一个集合，遗传算法的这个特性表明遗传算法非常适合 求解多目标优化问题。近年来，遗传算法应用于多目标 优化领域 。
多目标优化问题
几乎现实世界中的所有问题都存在多个目标，而这 些目标通常是相互冲突，相互竞争的。一个目标的改善 往往同时引起其他目标性能的降低。也就是说，不存在 使各目标函数同时达到最优的解，而只能对他们进行协 调和折衷处理。
多目标优化问题，就是寻找满足约束条件和所有目 标函数的一组决策变量和相应各目标函数值的集合 （Pareto最优解），并将其提供给决策者。由决策者根 据偏好或效用函数确定可接受的各目标函数值及相应的 决策状态。
非支配排序遗传算法ii
非支配排序遗传算法ii非支配排序遗传算法II（NSGA-II）是一种多目标优化算法，它是对非支配排序遗传算法（NSGA）的改进。
NSGA-II在保持NSGA的优点的同时，通过引入快速非支配排序算法和拥挤度距离计算方法，进一步提高了算法的效率和准确性。
NSGA-II的主要特点是采用快速非支配排序算法，将种群中的个体划分为多个层次，每个层次中的个体都是非支配的，即它们之间不存在优劣关系。
在每个层次中，个体按照拥挤度距离进行排序，拥挤度距离越大的个体越容易被淘汰，从而保证了种群的多样性和收敛性。
NSGA-II的算法流程如下：1. 初始化种群，包括个体的基因编码、适应度函数和拥挤度距离。
2. 对种群进行快速非支配排序，将种群中的个体划分为多个层次，每个层次中的个体都是非支配的。
3. 对每个层次中的个体按照拥挤度距离进行排序，拥挤度距离越大的个体越容易被淘汰。
4. 选择新的种群，包括保留前几个层次中的个体和根据拥挤度距离选择的个体。
5. 对新的种群进行交叉和变异操作，生成下一代种群。
6. 重复步骤2-5，直到达到预设的终止条件。
NSGA-II的优点在于：1. 高效性：NSGA-II采用快速非支配排序算法和拥挤度距离计算方法，能够在较短的时间内找到较优解。
2. 多样性：NSGA-II保留了种群中的多样性，能够找到多个非支配解。
3. 可扩展性：NSGA-II能够处理多目标优化问题，可以扩展到更多的目标函数。
4. 稳定性：NSGA-II能够保持种群的稳定性，避免了早熟和过度收敛的问题。
NSGA-II的应用范围广泛，包括工程设计、金融投资、交通规划等领域。
例如，在工程设计中，NSGA-II可以用于优化多个设计参数，如材料、尺寸、形状等，以满足多个性能指标的要求。
在金融投资中，NSGA-II可以用于优化投资组合，以最大化收益和最小化风险。
在交通规划中，NSGA-II可以用于优化交通流量、路网布局、信号配时等，以提高交通效率和减少拥堵。
多目标优化问题的粒子群算法实现
多目标优化问题的粒子群算法实现在机器学习领域中，多目标优化问题是一种经常遇到的实际问题。
对于这类问题，传统的优化算法往往难以找到最优解或较优解，而粒子群算法则是较为有效的一种算法。
本文将介绍多目标优化问题的粒子群算法实现。
一、多目标优化问题简介多目标优化问题是指，存在多个优化目标（一般为两个或两个以上），需要找到一组最优解，使得所有目标函数都能达到最好的值。
具体来说，在机器学习中，这些目标函数可以用来衡量模型的性能、准确率、泛化能力等。
在实际问题中，多目标优化问题的解决往往涉及到非凸性、高度非线性等问题，传统的优化算法（如梯度下降法、遗传算法等）表现的不尽如人意。
而粒子群算法则可以在这类问题上展现出更出色的表现，下面将会详细阐述。
二、粒子群算法原理粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种群体智能算法，由Eberhart和Kennedy于1995年提出。
它通过模拟鸟群捕食食物的过程，实现参数寻优的目的。
与其他优化算法相比，它具有并行性、鲁棒性、容易实现等优点。
粒子群算法的基本思想是，将一群粒子随机放在搜索空间内，并不断调整它们的位置和速度，以寻找最优解。
具体来说，设群体中包含N个粒子，每个粒子都有一定的位置x和速度v，每个粒子都维护自己个体最优解pbest和全局最优解gbest。
在算法开始时，我们将各粒子随机放入欧式空间中，每个粒子尝试寻找自己的最优解，并获得全局最优解。
在每轮迭代中，按如下公式更新计算每个粒子的位置和速度：\begin{equation}v_{i}(t+1)=\omega v_{i}(t)+c_{1}r_{1}(pbest_{i}-x_{i})+c_{2}r_{2}(gbest-x_{i})\end{equation}\begin{equation}x_{i}(t+1)=x_{i}(t)+v_{i}(t+1)\end{equation}其中，第一项是粒子自身速度的惯性项，第二项和第三项分别表示吸引粒子向个体最优解和全局最优解移动的因子。
NSGAII(带精英策略的非支配排序的遗传算法)
NSGAII（带精英策略的⾮⽀配排序的遗传算法）NSGA⼀II的基本算法流程：（1）⾸先,随机产⽣规模为N的初始种群,⾮⽀配排序后通过遗传算法的选择、交叉、变异三个基本操作得到第⼀代⼦代种群;（2）其次,从第⼆代开始,将⽗代种群与⼦代种群合并,进⾏快速⾮⽀配排序,同时对每个⾮⽀配层中的个体进⾏拥挤度计算,根据⾮⽀配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成新的⽗代种群;（3）最后,通过遗传算法的基本操作产⽣新的⼦代种群:依此类推,直到满⾜程序结束的条件。
1. 快速的⾮⽀配排序该算法需要保存两个量：(1).⽀配个数np。
该量是在可⾏解空间中可以⽀配个体p的所有个体的数量。
(2).被⽀配个体集合SP。
该量是可⾏解空间中所有被个体p⽀配的个体组成的集合。
排序算法的伪代码如下：def fast_nondominated_sort( P ):F =[]for p in P:Sp =[]np =0for q in P:if p > q:#如果p⽀配q，把q添加到Sp列表中Sp.append( q )else if p < q:#如果p被q⽀配，则把np加1np +=1if np ==0:p_rank =1#如果该个体的np为0，则该个体为Pareto第⼀级F1.append( p )F.append( F1 )i =0while F[i]:Q =[]for p in F[i]:for q in Sp:#对所有在Sp集合中的个体进⾏排序nq -=1if nq ==0:#如果该个体的⽀配个数为0，则该个体是⾮⽀配个体q_rank = i+2#该个体Pareto级别为当前最⾼级别加1。
此时i初始值为0，所以要加2Q.append( q )F.append( Q )i +=12.排挤算法和精英策略原始的NSGA算法中使⽤共享函数的⽅法来维持物种的多样性，这种⽅法包含⼀个**共享参数，该参数为所求解问题中所期望的共享范围。
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精英策略
开始 进化代数Gen=0,初始化种群 Front=1 种群全部分级 N Y Gen=Gen+1 指定虚拟适应度值 应用于适用度共享 小生境 Front=Front+1 识别非支配个体
根据虚拟适应度进行复制
交叉 变异 N
进化代数Gen 小于最大代数
Y 终止
非支配排序原理
种群分层结束后，需要给每级指定一个虚拟适应度 值，级别越小，说明其中的个体越优，赋予越高的 虚拟适应值，反之级别越大，赋予越低的虚拟适应 值。这样可以保证在复制操作中级别越小的非支配 个体有更多的机会被选择进入下一代，使得算法以 最快的速度收敛于最优区域。比如第一级非支配层 的个体标上虚拟适应值为 1，第二级非支配层的个 体标上虚拟适应值为 0.9(或其他)，以此类推，直到 所有的个体都被标上虚拟适应值。但是由于同一级 非支配层中的个体拥有相同的适应度值，某些个体 在遗传操作中可能被遗弃，导致最优解集不具有多 样性，为了得到分布均匀的 Pareto 最优解集，就要 保证当前非支配层上的个体具有多样性。
Pareto占优
Pareto最优解
对于多目标优化问题，通常存在一个解集，这些 解之间就全体目标函数而言是无法比较优劣的， 其特点是:无法在改进任何目标函数的同时不削 弱至少一个其他目标函数。这种解称作非支配解 或Pareto最优解.
Pareto最优前沿
对于组成Pareto最优解集的所有Pareto最优解， 其对应目标空间中的目标矢量所构成的曲面称作 Pareto最优前沿.
NSGA非支配排序遗传算法
NSGA与简单的遗传算法的主要区别在于:该 算法在选择算子执行之前根据个体之间的支配关 系进行了分层。其选择算子、交叉算子和变异算 子与简单遗传算法没有区别. NSGA采用的非支配分层方法，可以使好的个 体有更大的机会遗传到下一代;适应度共享策略 则使得准Pareto面上的个体均匀分布，保持了群 体多样性，克服了超级个体的过度繁殖，防止了 早熟收敛.
共享小生境技术
NSGA的缺点：
带精英策略的非支配排序遗传算NSGA-Ⅱ
开始
进化代数Gen=1,初始化种群
i=1
i=i+1
N Y 交叉,变异
Y
NGenΒιβλιοθήκη Gen+1N Gen=最大代数 Y 输出
快速非支配排序法
拥挤度比较算子 --拥挤度的确定
拥挤度比较算子 --拥挤度比较算子