正方体的展开图

s h
z
x
q
y
师生互动，验证猜想
• 同学们分两组讨论， • 小组一：将正方体沿棱剪开，（剪开时保 证每两个正方形有一条公共边）得到平面 图 ，再将这个平面图形折叠，围成正方体。 • 小组二：首先在方格上画出可能存在的正 方体的展开图形，然后将画好的展开图形 剪下，将剪下的展开图形按照方格线折叠， 看能不能围成正方体。
◎
空间问题平面化
未知转化为已知 一种认识
◎ ◎
实践是检验真理的唯一标准
回味无穷，深化提高
• 课后探究： • 你觉得所有的立体图形都有展开图吗？若 把引入中的正方体变成长方体、三棱锥、 圆柱、圆锥等，你认为蚂蚁行走的最短路 径又如何求？
• 问题1、如图１，长方体ABCD-A1B1C1D1 的三条棱长AB=a,AD=b,AA1=c,0<c<b<a, 蚂蚁从点A1爬到C，它按怎样的路线爬行， 才使其行迹最短. • 问题2、如图２，课桌上放着一个正三棱锥 S-ABC，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A沿 三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三 个侧面）再回到A，它按怎样的路线爬行， 才使其行迹最短.
动手操作：
摆一摆
1.先想象正方体的展开图还有什么样子，再用 6个正方形摆出来，然后试一试你所摆的这个平 面图形能不能折成正方体？比一比哪个组在规 定时间内拼摆的正方体展开图最多？ 2.把能折成正方体的展开图贴到黑板上。注 意：贴之前先观察一下黑板，如果你的展开图 与黑板上的展开图重复了，就不要再贴了。
M A B D C N F E
合作交流，巩固提高 • 练习3.用一张正方形的包装纸把一个棱长为 a的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开， 所需包装纸的最小面积为( ). B • A. 9a 2 B. 8a C. 7 a D. 6a
2
2
2
课堂小结，主动反思
• 师：同学们，通过本课的学习，你们 有什么收获？ 两种思考解决问题的方法：
合作交流，巩固提高
练习1、从边长为10的正方体的一顶点 处挖去一个边长为1的小正方体，则剩 下图形的表面积为（ A ） A.600 B.599 C.598 D.597
• 练习2.下图为棱长是1的正方体的表面展开 图，在原正方体中，给出下列三个命题： 2 • ①点M到AB的距离为 2 ②三棱锥C－ DNE的体积是 1/6 ③AB与EF所成角是 2 • 其中正确命题的序号是 ①②③ . .
h z q
(1)
h
y s
(2)
h
(3)
x
z
x q
y
s
z
x
y q
s
h z
Hale Waihona Puke Baidu
(4)
h
y s q
(5)
h
(6)
x
z
x q
y
s
z
x
y q
s
第二种：“132”结构 即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三 行放2个正方形,如图所示，此种结构有3种展开图
h
(7)
h s
(8)
h
(9)
x y
z x y
z
x y
2、相对的面不相连
3.最长两边走，田凹不能有。
如何记忆？
巧记正方体的展开图口诀 : “一四一”“一三二”， “一”在同层可任意, “二二二”成阶梯, “三三”“日”相连, 异层必有“日”， “凹”“田”不能有， 掌握此规律，运用定自如。
红 蓝
黄
想一想：下列图形都是正方体的展开图吗？
(1) (3) (2)
小组讨论：
分一分
1.先自己观察黑板上的11种正方体展开 图有什么规律？ 2.小组讨论这些展开图可以分为几类？ 哪几号展开图可以分为一类？为什么？
汇报交流：
先说出你们小组把这些正方体展开 图分为几类？每一类分别有哪几号展开 图？再说出规律是什么？
第一种：“141”结构， 即：第一行放6个正方形， 第二行放4个正方形， 第三行 放1个正方形。如图所示：此种结构有6种展开图：
无为县襄安中学 李向林
情境导入，引发思考
如图，一只蚂蚁，在正方体箱子的一个顶点A， 它发现相距它最远的另一个顶点B处有它感兴趣 的食物，这只蚂蚁想尽快得到食物，哪条路径最 短？试在图中将路线画出来。
B 在点B
发现食物
一只蚂蚁 在点A处
A
.
B
●
C
B
A
●
A
.
A
B1
这样的路径有几条？
.
B
B
A
• 问题1：上述蚂蚁行走路径最短问题，实际是讨 论正方体的展开图问题，那么一个正方体的展开 图是怎样的一个平面图形呢？ 为了显示展开图与原正方体的六个面之间的关 系，我们按正方体的方向上、下、前、后、左、 右分别标为s，x，q，h，z，y.(汉语的第一个字母） 如下图：
z q
s q
s q
第三种：“33”结构 即每一行放2个正方形，如图所示：此种结构只有一 种展开图
(10)
h x
y
q
s
z
第四种：“222”结构 即每一行放2个正方形，如图所示：此种结构只有一 种展开图
s
y h
11
x z q
以上是一个正方体的11种平面展开图。从 上面这些图中，我们基本可以看出它的规律。 1、一个立方体的表面展开图必定6个正方 形连接组成，缺一不可，展开图折叠后，必 须覆盖立方体的6个表面。
(√)
(4) (5)
(√)
(6)
(√)
(√)
(× )
(× )
考考你
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了
太 你 们 棒
！
KEY: 棒
比划比划：已知正方体的表面展开图 （11种）
探究：将一个正方
体的表面沿某些 棱剪开，展成一 个平面图形，需 要剪 ？ 条棱
分析：正方体的六个 面需要有五条棱来连 接展成一个平面图形， 需要剪 12-5=7条棱 规律：正方体展开图，外周长必须是小正方形边长的 14倍，简称14个单位，因为正方体剪开必须剪7刀，1刀 两边，由此得出14。
• 问题３如图３，课桌上放着一个圆锥，点Ａ 为圆锥底面圆周上一点，SA=3,OA=1,蚂蚁从 点A沿圆锥的侧面爬行再回到A，它按怎样的 路线爬行，才使其行迹最短. • 问题４如图４，课桌上放着一个圆柱，蚂蚁 从点A沿圆柱的侧面爬行到另一点B，它按怎 样的路线爬行，才使其行迹最短.
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