九年级数学图形的相似(带标准答案)

第3章图形的相似
【经典例题】
1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．
A ．(2，0)
B ．(23，2
3)
C ．(2，2)
D ．(2，2)
【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．
【答案】C
【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．
2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则
FD
BF
的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.5
1 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故
FD BF =AD BE =3
1
. 解答：选B ．
点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.
3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．
【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.
【解答】ABC △与DEF △的相似比为
254=5
2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.
4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．
【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。

由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。

解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． 【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE
A B C
D
F E
（第6题）
y x
A
O
C
B
D E
F
【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．
5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．
【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27． 【答案】27．
【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．
6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，
=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）
A ． 9
B ． 10
C ． 12
D ． 13
解析：
求出
的值，推出△AEF∽△ABC，得出
=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可．
解：∵=， ∴
=
=，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC， ∴
=
=，
∴9S △AEF =S △ABC ， ∵S 四边形BCFE =8，
∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ， 解得：S △ABC =9． 故选A ．
答案： A
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的
平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.
C
A
E
解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角
∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴
CD BC =DE
CE
,
∴
610=DE
6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.
点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.
8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于
F ,作C
G ∥AE ,交BF 于G .
(1)求证CG =BH ; (2)FC 2
=BF·GF ;
(3) 2
2AB FC =GB
GF .
解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2
=BF·BG ,结合AB=BC 可得. 证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF , ∴ CG ⊥BF .
∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o
, ∠CBG+∠BCG =90o
,
∠BAH+∠ABH =90o
,
∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG,
AB=BC,
∴△ABH ≌△BCG , ∴CG=BH ;
(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o
,
∴△CFG ∽△BFC , ∴
FC
GF
BF FC =, 即FC 2=BF ·GF ;
(3) 由（2）可知，BC 2
=BG ·BF , ∵AB=BC ,
∴AB 2
=BG ·BF ,
∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BG
FG
A
F
即22AB FC =GB
GF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.
9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=0
90，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ）
C
D
B
A
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA 【答案】C ．
【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。

难度中等。

10． （2014四川内江，11，3分）如图，在等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE =60°，
BD =4，CE =
34
，则△ABC 的面积是（ ） A ．83 B ．15
C ．93
D ．123
【思路分析】∠ADC = ∠ADE +∠EDC =∠B +∠BAD ，∵∠ADE =∠B =60°，∴∠EDC =∠BAD ．又∵∠C =∠B =60°，∴△ABD ∽△DEC ,∴EC :BD =DC :AB =1:3,∴AB =BC =3DC ,∴BD =2DC ，∴DC =2，∴BC=6，∴△ABC 的面积是93．
【答案】C ．
【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解．
11. （山东省威，3,3分）在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF:CF=( ). A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5
【解题思路】利用△AEF 与△CBF 相似，将AF:CF 转化成AE:BC 的比值. 【答案】A.
【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.
12．（2014广东省，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的2
1
，得到的图形是（ A ）
A ．
B ．
D
．
题3图
F
E D
C
B A
【解题思路】图形缩小，就是“大小变化而形状不变”，可判断选A符合要求.
【答案】A
【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大小变化而形状不变”这一本质，即图形相似. 难度较小.
13．（2014山东潍坊，3，3分）如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4。

其中正确的有（）
A ．0 个 B．1个 C ． 2 个 D．3个
【解题思路】因为DE是三角形的中位线，所以DE=1
2
BC=1，DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADE：S△
ABC=
2
()
DE
AB=
2
1
()
2=
1
4
．
【答案】D．
【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定．三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点
的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半．所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的面积比等于相似比的平方．难度中等．
14.（2014年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=2
3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（）
分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
解：∵在正方形ABCD中，AC=2
3∴BC=AB=3，
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，
∴正方形A ′B ′C ′D ′的边长为1，
∴正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是
3
1
． 故选B ． 点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
15.（2014陕西18，6分）如图，在ABCD 中，ABC ∠的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ． （1）求证：AB AF =； （2）当35AB BC ==，时，求
AE
AC
的值． 【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由△AEF ∽△CEB 先求出AE EC ，再求AE
AC
. 【答案】解：（1）如图，在ABCD 中，//AD BC ，
∴23∠=∠．
∵BF 是ABC ∠的平分线， ∴12∠=∠． ∴13∠=∠． ∴AB AF =．
（2）23AEF CEB ∠=∠∠=∠，， ∴△AEF ∽△CEB ，
∴
3
5AE AF EC BC ==， ∴38
AE AC =． 【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等. 16.已知：如图正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点． 求证：△ADQ ∽△QCP ．
思路点拨：因△ADQ 与△QCP 是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ 与PQ 是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD 是正方形，Q 是CD 中点，而BP=3PC ，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴=2
∵=3，∴=4
又∵BC=2DQ ，∴=2
在△ADQ 和△QCP 中，=，∠C=∠D=90°，
∴△ADQ∽△QCP．
17.已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．
求证：△DFE∽△ABC．
思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．
证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，
∴DE=AB，
即=．
同理=．
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF=BC，
即=．
∴==．
∴△DFE∽△ABC．
总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成
比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．
18．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.
思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.
解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.
(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，
从而x=cm，y=cm.
(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，
从而x=cm，y=cm.
(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，
从而x=cm，y=cm.
综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.
总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.
19．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.
解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.
∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得，
∴，∴，.
∴EF=6cm，EH=12cm.
∴.
总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.
20.△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.
解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC
∴
∵M为DE中点，∴
∵DM∥BC ，∴△NDM∽△NBC
∴
∴=1：2.
总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.
21.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
解：(1)△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE
∴∠ACB=∠AED=90°
∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ADE
(2)由(1)得△ABC∽△ADE
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m
∴
∴DE=16m
答：古塔的高度为16m.
22.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？
思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC.
解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE，所以又因为，
所以，所以.
因为AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.
所以m.
23．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F 点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．解：∵DA∥BC，
∴△ADE∽△BCE．
∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．
∵AE︰BE=1︰2，
∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．
∵S△ADE=1，
∴S△BCE=4．
∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，
∴S△ABC=6．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∵AE︰AB=1︰3，
∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．
∴S△AEF==．
总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
举一反三
24.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
且，，
∴，
∴.
25.如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；
(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；
解：(1)∵S △PQC =S 四边形PABQ
∴S △PQC ：S △ABC =1：2
∵PQ ∥AB ， ∴△PQC ∽△ABC ∴S △PQC ：S △ABC =(CP ：CA)2=1：2 ∴CP 2=42×， ∴CP=.
(2)∵S △PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等，
∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC 的周长)=6
∵PQ ∥AB ， ∴△PQC ∽△ABC
∴ ，即：
解得，CP=
【经典练习】
1.如图，已知PN//BC,AD ⊥BC 交BC 于点D ，交PN 于点E 。

（1）若AP:PB=1:2, ABC S ∆=18cm 2，求APN S ∆的值。

（2）若2
1=∆四边边形PBC APN
s s ，求AD AE 的值。

（3）若BC=15cm,AD=10cm,且PN=ED=x ，求x 的值。

2.请阅读下面材料，并回答问题。

三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

已知：如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，试说明
AC
AB DC BD =。

3.如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，已知AB=12,AC=15,AD=AB 3
2，如果AC 上有一点E ，使△ADE 与原三角形相似，求AE 的长。

4.如图所示，∠ABC=∠ADB ，若AB=5cm ，AC=9cm ，DB=3cm ，那么AD= ，
BC= ，ABC S ∆：ABD S ∆= 。

5．在△ABC 中，∠B=250，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA 为 。

6．在△ABC 中，BC=8cm ，AC=6cm ，点P 从B 出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动。

点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动，若点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，设运动的时间为t ，则△CPQ 能否与△CBA 相似？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由。

7．如图所示，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 点以4cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？
8．晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自已被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时（如图），自已右边的影子长3米，左边的影子长1.5米，又知自已身高1.8米，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高度为多少米？
9．如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连接BD 并延长与CE 交于点E 。

（1）求证：△ABD ～△CED 。

（2）若AB=6，AD=2CD ，求BE 的长。

10．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.（1）求AD的长。

（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD的相似比。

11．如图，在矩形ABCD中，AB=1
5 ，AD=2，且四边形ABEF是一个正方形，则矩形EFDC～矩形ADCB吗？说明你的现由。

12.如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA
1B
1
，第二次将△OA
1
B
1
变换成OA
2
B
2
，第三次将OA
2
B
2
变换
成OA
3B
3
，已知A（1，3）、A
1
（2，3）、A
2
（4，3）、A
3
（8，3）、B（2，0）、
B 1（4，0）、B
2
（8，0）、B
3
（16，0）.
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将
△OA
3B
3
变换成OA
4
B
4
，则点A
4
的坐标是，B
4
的坐标
是。

（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA
n M
n
,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，
找出规律，推测A
n 的坐标为，B
n
的坐标为。