2020年安徽淮北高三一模数学试卷(理科)

2020年安徽淮北高三一模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知结合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2.已知复数，为虚数单位，则的实部为（ ）．
A. B. C. D.
3.已知锐角满足 ，则（ ）．
A. B. C. D.
4.国庆周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲，乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是（ ）．
甲乙
A.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐
B.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐
C.乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐
D.乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐
5.已知圆，直线，则“”是“上恰有两个不同的点到的距离为”的（ ）．
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.若函数在上既是奇函数，又是减函数，则
的图象是（ ）．
A.
B.
C.
D.
7.已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动
点，且周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8.已知，，，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
9.关于函数，下列说法正确的是（ ）．
A.函数以为周期且在处取得最大值
B.函数以为周期且在区间单调递增
C.函数是偶函数且在区间单调递减
D.将的图像向右平移个单位得到
10.函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然
后两边同时求导得，于是
，用此法探求的递减区间为（
）．
A.
B.
C.
D.
11.淮北市第一次模拟考试理科共考语文，数学，英语，物理，化学，生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文，数学，物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（同一半天如果有两科考试不计顺序）（ ）．
A.
B.
C.
D.
12.已知等差数列满足，则的最大值为（ ）．
A.
B. C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在边长为的正中，为中点，则
．
14.从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且
．设为抛物线的焦点，则
的面积为 ．
15.设函数
，则满足
的
取值范围是 ．
16.已知直线与球有且，从直线出发的两个半平面、截球所得两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的表面积等于 ．
只.有.一
.个.公.共.点
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
（
1
）
（2）
17.已知的面积为，且．
求的值．
若角，，成等差数列，
，求的面积
．
（1）
（2）
18.在直角梯形中（如图），，，
，，为线段中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体（如图）．
图图求证：平面．
求与平面所成角的正弦值．
19.
（1）（2）已知数列的前项和
，等比数列的公比
，且
，
是
和
的等差中项．
求和
的通项公式．
令
，
的前
项和记为
，若
对一切
成立，求实数
的
最大值．
（1）（2）20.有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽，籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用，，表示石榴甜度与海拔、日照时长，温差的相关程度，并对它们进行量化：表示一般，表示良，表示优，再用综合指标的值评定石榴的等级，若
则为一级；
若
则为二级；若
则为三级．近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解
目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了个石榴种植园，得到如下结果：
种植园编号
种植园编号
若有石榴种植园个，估计等级为一级的石榴种植园的数量．
在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量
的分布列及数学期望．
（1）（2）21.已知椭圆过点，离心率为．
求的方程．如图，若菱形
内接于椭圆，求菱形面积的最小值．
（1）22.已知函数，，是的导函数．
若
，求
在
处的切线方程．
【答案】
解析:
∵集合
，
，
∴．
故选．
解析:
复数，
∵
，
∴的实部为．
故选．
解析:
∵锐角满足，
，
∴
（2）
（3）
若在上单调递增，求的取值范围．
求证：当时，在区间内存在唯一极大值点．A
1.
D
2.
B
3.
．
．
所以
．
故选．解析:
由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：，，，，，，，，，乙：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由已知易得：
，，
，
故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选．解析:圆，
直线，由上恰有不同的两点到的距离为，则且
，
∴则“
”是“上恰有不同的两点到的距离为”的必要不充分条件．
D 4.甲
乙
甲
乙
C 5.
故选．解析:∵函数在
上是奇函数，
∴，
∴，
又∵为减函数，
所以，
所以定义域为
，且递减．
故选．解析:如图所示：
根据题意可得，，因为周长的最小值为
，
即，所以
，
根据双曲线定义可得：，
故有
，
当且仅当点位于与之间是三点共线时取等，
此时有，即，
解得，所以离心率为
．
故选．
A 6.
B 7.
解析:已知，，
，
所以有，
，
，故根据函数的单调性可知，
，又，，即，又，所以，综上所述．故选．解析:已知，
故，所以的周期
．
令，，解得：，
．
当
时，可得的增区间为
，
故选．解析:设，
，∴，
，
∴
，
∵，
∴
，
A 8.
B 9.B 10.
∴，若令，只需要
即可，
解得，又，
∴，
即为函数的单调减区间．
故选．解析:
先安排语文、数学、英语三科的考试时间，因为该三科中任意两科不能排在同一个半天，所以该三科的排法共有
种，
再安排物理、化学、生物三科的考试时间，因为每个半天必考一科或两科，所以这三种的排法共有
种，
所以此次考试时间不同的安排方案的种类共有：．
故选．解析:已知数列为等差数列，
则令，，
故，令，则
，即
，
又因为，即，
整理得
．将该不等式看作关于的一元二次不等式，故该不等式一定有解，所以有，
解得
，
C 11.C 12.
故，
即，
所以，最大值为．
故选．
13.
解析:
大致画出图形如图所示，
根据几何知识可知：
，
，
∴
，
故答案为：．
14.
解析:
已知抛物线方程为，为准线与轴的交点，如图：所以，，
又因为，所以有，即，故
，
所以
，
，，
，
．
．
故答案为：．
解析:当
时，
,
此时单调递减，
∴，
∴当
时，
或
或
，
∴
或
或
，
∴的取值范围为
．
故答案为：．
解析:
过与作直线
的垂面，画出截面图形，如图所示，为直线与球的切点，
设球的半径为，作
，
，
四边形
15.16.
（1）（2）（1）则，
，
设，
，
所以，
，
即
，
整理得，代入
，
可得
，所以
，
则球的表面积等于
．
解析:设
中、、的对边分别为、、，
∵及，
∴，∴
，
.
．
∵
，，
∴从而有
．
∵
，
∴由正弦定理得
．
所以
．
解析:
由题设可知
，
，
，
（1）．
（2）．
17.（1）证明见解析．（2）．
18.
（2）∴，
∴，
又∵平面平面，平面平面，∴平面．
方法一：
取的中点连接，
由题设可知为等腰三角形，所以面，
∵且，
而，
∴到面的距离，
所以．
方法二：
取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，
所以面，连接，
因为、分别为和的中点，所以，
由（）可知，故以、、所在直线为轴、轴、轴建间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
∴，，，
∴面的一个法向量，
∴．
（1），，．19.
（1）
（2）（1）（2）解析:时，，
当时
，
也符合上式，
所以，又和
，得
，
或
，
∵，∴．
∴
，
．
∵
，
∴．
而随着的增大而增大，所以，
故有
最大值为
．
解析:计算
个石榴种植园的综合指标，可得下表
编号综合指标
由上表可知等级为一级的有个，所以等级为一等的频率为，
所以
个石榴种植园中一级种植园约有
个．
若有石榴种植园个，估计等级为一级的石榴种植园的数量．
由题意可以取、、，其中
，
，
，
∴的分布列为
（2）．
（1）个．（2）．
20.
（1）
（2）（1）故
．
解析:由题意得，又
，
解得
，
．
所以的方程为
．①当
与轴或轴重合时，可求菱形的面积为；
②当
为
时，
为
，由
得
，
所以由弦长公式得，
同理可得．
所以菱形
的面积为
，
∵，
∴，当且仅当时取等号．
∵，
∴
菱形面积的最小值为．解析:∵
，
∴
，
（1）．
（2）．21.（1）．
（2）
．（3）证明见解析．22.
（2）（3）又，
∴在处的切线方程为．
∵，
∴，
令，，
则，
∵，，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
∴．
∵，
∴令，，
∴，
显得在上单调递减，而，
得，
取，则，
故存在，使，
即在上单调递增，在上单调递减，
也即为的极大值点，
所以当时，在区间内存在唯一极大值点．。