导数基本概念

第一节 导数的概念与运算
一、 思维导图
二、知识模块
【知识点1】导数的定义 1． 导数的概念
设函数()y f x =在0x x =附近有定义，如果0x ∆→时，y ∆与x ∆的比y
x
∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即
y
x
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0'()f x 或0
'
x x y =.
即0'()f x =0000000
()()()()lim lim lim x x x x f x x f x f x f x y
x x x x ∆→∆→→+∆--∆===∆∆-.
2. 导数的物理意义：瞬时速度
设0t =时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().S S t =在01~t t 时刻，车走了10()()S t S t -，这一段时间里车的平均速度为
1010
()()
S t S t t t --，当1t 与0t 很接近时，该平
均速度近似于0t 时刻的瞬时速度.若令10t t →，则可以认为10
1010
()()
lim t t S t S t t t →-=
-，即0'()S t 就
是0t 时刻的瞬时速度.
3. 思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.
例1: 设0'()f x 存在，求下列各式极限.
⑴()()
000
3lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆；⑵()()000lim h f x h f x h →--
例2: 若()()
000
2lim
13x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则0'()f x 等于（）
A.
23 B.3
2
C.3
D. 2 例3: 设()f x 在0x 处可导，则()()
000
3lim
x f x x f x x x
∆→+∆--∆∆等于（ ）
A. 02'()f x
B. 0'()f x
C. 03'()f x
D.04'()f x 例4: 若()y f x =既是周期函数，又是偶函数，则其导函数'()y f x =（ ） A.既是周期函数，又是偶函数
B.既是周期函数，又是奇函数
C.不是周期函数，但是偶函数
D.不是周期函数，但是奇函数
例5: 已知函数2,0
(),0x x y f x x x ⎧≥==⎨<⎩
，那么0
'
x y =的值为（）
A.0
B.1
C.1或0
D.不存在
例6: 已知22lim 21x x ax b x →∞⎛⎫
--=
⎪+⎝⎭
，其中,a b R ∈，则a b -的值为（） A.6- B.2- C.2 D.6
例7: 已知,,m N a b R *
∈∈，若()0
1lim
m
x x a
b x
→++=，则ab 等于（）
A. m -
B. m
C. 1-
D. 1 例8:
1
x →等于（）
A.
12 B.0 C.1
2
- D.不存在 例9: 已知(3)4,'(3)1f f ==，则343()
lim
3
x x f x x →-=-____ 例10: 已知定义在R 上的函数(),()f x g x ，若0
1
()1(),lim (),2
x f x xg x g x →=+=-则()f x 在
0x =处的导数'(0)f =___
例11: 如图157-，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()0,4，
()2,0，()6,4，则()()0f f =___；()()011lim x f x f x
∆
→+∆-=∆___ 例12: 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1312,a S ==则2
lim n
n S n →+∞=____
例13: 21
1
lim
34
x x x x →-=+-___
例14: 已知函数23,0(),0x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩，在点0x =处连续，则222
1
lim n an a n n →∞+=+_____ 例15: 设2,1
(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩
，试求,a b 的值，使()f x 在1x =处可导.
【知识点2】求函数的导数
1. 导数的运算的法则（和、差、积、商）
设()u u x =，()v v x =均可导，则
⑴()'''u v u v ±=±；⑵()'''uv u v uv =+；⑶2
''
()'(0)u
u v uv v v v
-=≠ 2. 基本导数表
⑴'0(C C =为常数）；⑵1
()'()n
n x nx n Q -=∈；⑶()'ln x x a a a =；⑷()'x x e e =；
⑸1(log )'ln a x x a =
；⑹1
(ln )'x x
=；⑺(sin )'cos x x =；⑻(cos )'sin x x =-； 3. 思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.
例1: 求下列函数的导数
⑴5
y x =；⑵4
1y x
=
；⑶y =10x y =；⑸2log y x =；⑹sin y x = 例2:()()sin ln cos ln y x x x =+⎡⎤⎣⎦，则'y 等于（）
A. ()2cos ln x
B. 12cos ln x ⎛⎫
⎪⎝⎭
C. ()2sin ln x
D. ()sin ln x
例3:()2f L ='()f L 为（） A.
例4:设函数1
()sin 2sin 2
f x x x =+，导函数为'()f x ，则下列关于导函数'()f x 的说法正确的是（）
A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值，又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数
D.非奇非偶函数
例5: 记,22
x x x x
e e e e shx chx ---+==，则()'shx =（） A. shx - B. shx C. chx D.chx -
例6:二次函数2
()f x ax bx c =++导函数为'()f x ，已知'(0)0f >，且对任意实数x ，有
()0f x ≥，则
(1)
(0)
f f 的最小值为___ 例7:已知函数()'()cos sin 4f x f x x π=+，则()4
f π
的值为_____
【知识点3】复合函数求导 1. 复合函数的导数
复合函数[()]y f g x =的导数与函数()y f u =，()y f u =的导数之间具有关系
'''x u x y y u =⋅，该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的
乘积”，也就是先把()g x 当做一个整体，把[()]y f g x =对()g x 求导，再把()g x 对x 求导，这二者的乘积就是复合函数[()]y f g x =对x 的导数 例1:求下列函数的导数. ⑴32
x y e
+=；⑵()2log 21y x =+；⑶sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
；⑷11y x
=
-
例2: 函数cos 2y x =+的导数为（ ）
A.2sin 2x -2sin 2x +
C.2sin 2x -2sin 2x
例3:函数()()sin sin +cos cos y x x =的导数是（ ） A. ()()'cos cos sin sin sin cos y x x x x =-
B. ()()'cos cos sin sin sin cos y x x x x =+
C. ()()'sin cos cos sin y x x =+
D. 'cos 2y x =
例4:函数()()sin ln cos ln y x x =+的导数为（ ） A.
cos ln sin ln x x x + B. cos ln sin ln x x
x
-
C.cosln sin ln x x +
D. cosln sin ln x x - 例5:求函数()sin cos x
y x =的导数
例6:求函数y =的导数
【知识点4】导数的几何意义
1. 导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率
函数()y f x =在0x 处的导数0'()f x ，表示曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线PT 的斜率，
即0tan '()f x α=，如图3-1所示，过点P 的切线方程为000'()()y y f x x x -=-.同样可以定义曲线()y f x =在0x 的法线为过点()00,()P x f x 与曲线()y f x =在0x x =的
切线垂直的直线.过点P 的法线方程为00001
()('()0).'()y y x x f x f x -=-
-≠
例1：设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线斜率为（）
A.1
5- B.0 C.
1
5
D.5 例2:下列各函数在点0x =处没有切线的是（）
A.3sin y x x =+
B.2
cos y x x =-
C.1y =
D.cos y x =
例3:若0y =是曲线3
y x bx c =++的一条切线，则3
2
32b c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（）
A.1-
B.0
C.1
D.2
例4:已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为（） A.3 B.2 C.1 D.
1
2
例5：若在曲线sin (0)y x x π=<<上取一点M ，使过M
点的切线与直线2
y x =平行，则点M 坐标为（）
A.(
,
3
2π
B.(,32π±±
C.1
(,)62
π
D.(,62π
例6：如果一直线过原点且与曲线1
1
y x =
+相切于点P ，那么切点P 的坐标为（） A.1(,2)2- B.12(,)23- C.(2,1)-- D.1(2,)3
例7：已知函数3
()f x x x =-.
（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；
（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<
例8：曲线在点处的切线方程为__________. 例9：曲线在点处的切线方程_________. 例10：曲线在点处的切线的斜率为
A. B. C. D. 例11：曲线在点处的切线斜率为____________.
例12：已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 A. B. C. D.
例13：若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_____________. 例14：设直线是曲线的一条切线，则实数的值为_____________.
例15：已知曲线2
1y x =-在0x x =点处的切线与曲线3
1y x =-在0x x =点处的切线互相平行，则0x 的值为___________________. 例16：已知函数2
()ln (0)f x x ax x a =-->
（I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程； （II ）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围。

例17：已知函数2
()ln(1)(0)2
x f x x x x k =+-+
≥ (Ⅰ)当k =2时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.
例18: 已知函数2
()()()f x x a a b =--(,,a b R a ∈<b)。

（I ）当1,2a b ==时，求曲线()y f x =在点(2,())f x 处的切线方程。

（II ）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠
证明：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4x
例19：已知函数32
()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．
例20：设函数，，其中，,a b 为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线l . （I ） 求,a b 的值，并写出切线l 的方程；
（II ）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m 的取值范围。

【知识点5】综合 例1:求下列函数的导数
⑴5
y x =；⑵4
1y x
=
；⑶y =10x y =；⑸2log y x =；⑹sin y x =
例2:已知1x ≠时，12
++1n n
x x x x x x
+-+⋅⋅⋅=-，利用求导法求21
123n x x nx -+++⋅⋅⋅+的和
例3:设函数()f x 满足1()(),,,c
af x bf a b c x x
+=为常数，a b ≠，求'()f x
例4：已知双曲线2
xy a =，通过其上任意一点P 做切线与,x y 轴分别交于点,Q R ，试证： (I)点P 平分QR ； (II)OQR ∆的面积为定值.
例5:已知()01221n
n n
n n n n x C C x C x C x +=+++⋅⋅⋅+，利用求导法证明： 12122n n n n n C C nC n -++⋅⋅⋅+=⋅。