专题三 推理论证能力

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能力1 能力2 能力3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ + - + + 2k 2k+1 + 2k+2 - k <1 + k k+1 k+2 2k+1 2k 1 1 2k-2k+1 2k-2k+2 1 - =1+ + =1- - 2k2k+1 2k2k+2 2k2k+1 2k+2 2k 1 <1, k2k+2 所以当 n=k+1 时, f(n)<1 也成立. 由①和②知,当 n≥3 时, f(n)<1. 所以当 n=1 和 n=2 时, f(n)>1;当 n≥3 时, f(n)<1.
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能力2
试题
解析
能力1 能力2 能力3
[例 4] (用演绎推理解决创新问题)定义函数 y=f(x),x∈I,若存 fx1+fx2 在常数 M,对于任意 x1∈I,存在唯一的 x2∈I,使得 = 2 M,则称函数 f(x)在 I 上的“均值”为 M,已知 f(x)=log2x,x∈ [1,22 017],则函数 f(x)=log2x 在[1,22 017]上的“均值”为________ 1 008.5 .
2 (类比推理拓展新知识)已知 P(x0, y0)满足 x2 过点 P 0-y0>1,
作一直线与双曲线 x2-y2=1 的图象相交且仅有一个公共点,则该 π 3π 直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角 或 ;类比此思 4 4
2 想,已知 P(x0,y0)满足 3x2 0-x0y0>1,过点 P 作一直线与函数 3x

能力4
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能力1
试题
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a 令 =t>1,即证(t+1)ln t-2(t-1)>0, b 1 令 h(t)=(t+1)ln t-2t+2(t>1),则 h′(t)=ln t+ -1. t 1 1 令 k(t)=h′(t)(t>1),则 k′(t)= - 2>0, t t 因此 h′(t)>h′(1)=0, 所以 h(t)>h(1)=0,原不等式得证.
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能力2
试题
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根据定义,函数 y=f(x),x∈I,若存在常数 M,对于任意 x1∈I, fx1+fx2 存在唯一的 x2∈I,使得 =M,则称函数 f(x)在 I 上的 2 “均值”为 M,令 x1x2=1· 22 017=22 017, 当 x1∈[1,2
-xy=1 的图象相交且仅有一个公共点,则该直线的倾斜角为
能力4
π π 或 3 2 __________ .
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能力2
试题
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π π 由条件类比推理知,倾斜角为 或 . 3 2
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能力2
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1 - ,+∞上单调递减. 2m
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能力1
2 fa- fb 1 (2)易知原不等式等价于 < < , b a+b a-b
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试题
解析
fa- fb 1 a a a 要证 < ,只需证 ln < -1,令 =t>1, b b b b a-b 1 即证 ln t- t+1<0,令 g(t)=ln t-t+1(t>1),则 g′(t)= -1<0, t fa- fb 1 因为 g(t)<g(1)=0, < 得证. b a-b a 2 -1 fa- fb 2 a b 要证 > ,只需证 ln > , b a a-b a+b +1 b
能力4
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能力4
能力1 能力2 能力3
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时,关键在于 弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项,其 难点在于归纳假设后,如何推证当 n=k+1 时命题也成立.
在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的 类比,且要注意以下两点: 1找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球, 面积对应体积等等; 2找对应元素的对应关系,如:两条边直线垂直对应线面垂 直或面面垂直,边相等对应面积相等.
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能力2
试题
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依题意, 用(t, s)表示 2t+2s, 题中的等式的规律为第 1 行为 3(0,1), 第 2 行为 5(0,2),6(1,2),第 3 行为 9(0,3),10(1,3),12(2,3),第 4 行为 17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4),…,又因为 99=(1+2+ 3+…+13)+8,因此第 99 个等式应位于第 14 行的从左到右的第 8 个位置,即是 27+214=16512,故选 B.
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能力4
数学归纳法
试题
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[例 6]
(数学归纳法的应用技巧)(2016· 日照模拟)已知数列{an}的
S2n,n=1, 1 前 n 项和为 Sn,通项公式为 an= ,f(n)= n S2n-Sn-1,n≥2.
(1)计算 f(1),f(2),f(3)的值; (2)比较 f(n)与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
2 017
能力4
22 017 1 2 017 ]时, 选定 x2= ∈[1,2 ], 可得 M= log2(x1x2) x1 2
=1 008.5.
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能力2
能力1 能力2 能力3
1.解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义及符号语 言,紧扣所给定义转化成题目要求的形式,切记不要与已有的 概念或定义相混淆. 2.对新定义问题,可结合特例法、筛选法等方法,并注意运用集 合的有关性质求解,要注意培养学生领悟新信息的能力.
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能力4
1 3 (1)由题意知 f(1)= S2=1+ = , 2 2
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试题
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1 1 1 13 f(2)= S4- S1= + + = , 2 3 4 12 1 1 1 1 19 f(3)= S6- S2= + + + = . 3 4 5 6 20 (2)由 (1)知 f(1)>1, f(2)>1; 下面用数学归纳法证明:当 n≥3 时,f(n)<1.
试题
解析
假设数列{bn}存在三项 br、bs、bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,
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1 2 由于数列{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列,于是有 bt<bs<br, 4 3 则只可能有 2bs=br+bt 成立. 12s-1 12r-1 12t-1 所以 2· = + . 43 43 43 两边同乘 3t 121 r,化简得 2· 2s r3t s=3t r+2t r,
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能力3
反证法
试题
解析
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[例 5]
1 (反证法在解题中的应用)已知数列{bn}的通项公式为 bn= 4
2n-1 .求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 3
能力4
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能力3
能力4
1 1 - ,+∞时,f′(x)<0, f(x)在 - ,+∞上单调递减. 2m 2m 综上所述:当 m≥0 时,f(x)在 (0,+∞)上单调递增;
当 m<0
时, f(x)在 0,
1 在 - 上单调递增, 2m
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能力导读 推理论证能力:推理是思维的基本形式 之一,它由前提和结论两部分组成;论证是 由已有的正确的前提到被论证的结论的一连 串的推理过程,推理既包括演绎推理,也包 括合情推理;论证方法既包括按形式划分的 演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的 直接证法和间接证法.一般运用合情推理进 行猜想,再运用演绎推理进行证明. 中学数学的推理论证能力是根据已知的 事实和已获得的正确数学命题,论证某一数 学命题真实性的初步的推理能力.
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能力2
归纳、类比和演绎推理
试题
解析
[例 2]
(归纳推理发现一般结论 )如图是按一定规律排列的三角形等式
表,现将等式从左到右,从上到下依次编上序号,即第 1 个等式为 20+
能力1 能力2 能力3
21=3,第 2 个等式为 20+22=5,第 3 个等式为 21+22=6,第 4 个等式 为 20+23=9,第 5 个等式为 21+23=10,…,则第 99 个等式为( B ) 20+21=3 20+22=5 20+23=9 20+24=17 …… A.27+213=8320 C.28+214=16640 B.27+214=16512 D.28+213=8448 21+22=6 21+23=10 21+24=18 22+23=12 22+24=20 23+24=24
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能力2
能力1 能力2 能力3
求解归纳推理类问题的方法 与数字有关:观察数字特点,找出等式左右两边的规律可解; 与不等式有关:观察每个不等式的特点,找到规律后可解.
能力4
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试题
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[例 3]
能力1 能力2 能力3
能力4
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本课内容结束
能力1 能力2 能力3
当 m≥0 时,f′(x)>0,f(x)在 (0,+∞)上单调递增; 当 m<0 时,令 f′(x)=0 得 x= 当
x∈ 0,
1 - . 2m 1 - 上单调递增,当 x∈ 2m
1 - 时,f′(x)>0,f(x)在0, 2m
能力4
①由(1)知当 n=3 时,f(n)<1; 1 1 1 ②假设当 n=k(k≥3, k∈ N*)时, f(k)<1, 即 f(k)= + +…+ <1, k k+ 1 2k
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能力4
试题
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1 1 1 1 1 那么当 n=k+1 时, f(k+1)= + +…+ + + = 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2
a+b fa-fb < 点, 且 a>b>0, f′(x)为 f(x)的导函数, 求证: f′ a-b 2
能力4
<f′(b).
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能力1
1+ 2mx 1 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= +2mx= , x x
2
试题
解析
- - - - - -
能力4
由于 r<s<t,所以上式左边为偶数,右边为奇数, 所以上式不可能成立,导致矛盾. 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.
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能力3
能力1 能力2
当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形
能力3
式出现时,宜用反证法来证.
能力导图
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能力1
分析法、综合法的应用
试题
解析
能力1 能力2 能力3
[例 1]
(分析综合法解决函数不等式的综合问题)(2016· 石家庄
质检)已知函数 f(x)=ln x+mx2(m∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 m=0,A(a,f(a)),B(b,f(b))是函数 f(x)图象上不同的两
能力4
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能力1
能力1 能力2 能力3
1.分析、综合法充分表明分析与综合之间互为前提、相互渗透、 相互转化的辩证统一的关系,分析法的终点是综合的起点,综 合的终点又成为进一步分析的起点. 2.在利用分析、综合法时,注意书写格式,推理要严谨.
能力4
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