3.2连续小波变换的性质2014修正2

或 WTx a, ,WTy a, C x t , y t （5）能量关系 当内积定理中的信号 x t y t 时，就变为


0
2 2 1 da WTx a, d C x t dtWTx a, 2 a
x 2 2
WTx a1,1 的完全准确恢复需要 a 平面 那么， 上无数个类似于的点的共同贡献才能完成，即 把这种贡献的累积就归结为平面上的二维积分：
2 a2
WTx a1 ,1 da2
0


WTx a2 , 2 K a1, 1, a2 , 2 a WTx a, K a1 , 1 , a,
1 1 2 2
4.连续小波变换的可逆性
1 x t C

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0
1 da WTx a, a, t d 2 a
这里
c


ˆ ( ) d
2
a2
2 2

d 2
式 称为重建核方程（再生核方程）。


0
da

d

对于重建核和重建核方程，需要注意一下3点： （1）小波变换系数在域内必须满足重建核方 程，因此，并不是任意的函数 F a, 都可以作 为小波变换系数 WTf a, 。 （2）重建核 K a1,1, a2 , 2 刻画了小波基函数 a , t K a1,1, a2 , 2 a1 a2 ,1 2 与 a , t 的相关性。如果， 那么平面内任意两点都不相关，任意两点都正 交，通过这种基对信号 f t 进行小波 变换得到的系数之间就没有冗余度。 （3）冗余度究竟是去大一些还是小一些， 这需要根据实际应用来确定。
* * 1 * 1 * ^ ^ , (t b) , a ^ a ^ a (t b) * a a a a a

a2
2 *^

4 ^

a 1

*
^
2 ^ ^

a 1/ 2
2
0
（3）尺度变换 t x ( t ) z t x 令原信号 的拉伸信号表示为 , 0, a 则其连续小波变换为 WT a, WT , 。 （4）内积定理（Moyal定理）
z x


0
1 da WT a , WT x y a, d C x t , y t 2 a

0 a
连续小波变换：
–“恒Q性质”：
• 假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中心为0， 有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说a,b() 提取地是F()在窗口[0/a-D/(2a), 0/a+D/(2a)]中的 性质，因此对于小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的 乘积始终为DtD。
式中的系数为
C
0
d
2
而事实上，要完全准确恢复出 WTx a1,1 ，仅 仅依靠 WT a , 是不够的，通过 WTx a2 , 2 只能提 供部分恢复信息，如果将 WTx a2 , 2 的“部分贡 献”表示为 WTx a2 , 2 K a1,1, a2 , 2
当选定一个母小波 (t ) 之后，尺度a 会影响时窗宽度 t 和频窗宽度 ，但是窗口的面积 Sw 却不变，始终保持一个 常量，这也验证时域的压缩（拉伸）会导致频域的拉伸（压 缩）。
（VI）品质因素恒定 在数字信号处理中，将滤波器的宽度与 中心频率的比值定义为品质因素。 Qa 0 当尺度因子为 a 时的品质因素 Q 与母小波的品质因素 是恒等的。 这种品质因素恒定的特性（简称恒Q特性）
E t dt a , t dt
2 2 R R
（2）窗中心位置：
t0 at0
0
0 a
（3）窗宽度（标准差）：
t a t

a
（4）面积不变：
t Sw t
下面具体分析尺度因子和平移因子对时频窗 的影响：
1 * ^ 2

1
2
t
2.连续小波变换的性质 假设信号矢量 x(t ) 和 y(t ) 为能量有限信号， 即 x(t ), y(t ) L (R) ，其连续小波变换（CWT）分别 k2 为任意常 表示为 WTx a, 和 WTy a, ，令 k1 ， 数。 （1）线性叠加性 若 z t k1x(t ) k2 y(t ) ，则 z t 的连续小波变换 为 WTz a, k1WTx a, k2WTy a, 。 （2）时不变性 令原信号 x(t ) 的延时信号表示为 z t x t t 则其连续小波变换为 WTz a, WTx a, t0
§2.3 连续小波变换的性质
1.小波基的自适应时频窗及其度量 小波基的时窗、频窗的波形参量如下： （1）时窗中心：实质上信号在时域的一阶 矩，即
t0



t a , t dt
2
a , t
2
（2）时窗宽度：实质上是信号的时域标准差， 即
t
[



（I）时频窗位置 上式可以看出，当 a 增大时，时窗中心位置 变大，频窗中心位置变小，时频窗往低频移 动，对应于低频分析；反之相反。 （II）时频窗大小 从上式可以看出，当 a 增大时，时窗宽度变 大且时域分析精度降低，频窗宽度 变小， 频带变窄且频域分析精度 提高， 落入频窗中的频率成分减 少， 小波变换 WTf a, 提取的是 窄带信息； 反之相反。
在平面上任意两点 a , 和 a , ， 其对应的小波基函数之间究竟有多大的 相关性，这就需要用再生核来描述和刻 画。 再生核定义：
1 1
2
2
1 K a1 ,1 , a2 , 2 C
t a , t dt a , R
1 1 2 2
3. 再生核和再生核方程 再生核又称重建核，它定量给出了小波 基的相关性和冗余性。从小波基函数的定 义可以猜想，如果 a , 参数连续变化，得 到的小波基将是冗余的。 尺度-位移连续变化的小波基函数 a, (t ) 形成了一组非正交的过度完全基。其中的 “过度”表示这一组基含有冗余性， “完全”表示这一组基可以完全覆盖 整个尺度-位移平面，这样，任意一 个信号都可以用这些基来分解表示。
( )2 d 0 a ,
2 1 2
a ,
设母小波为 (t ) ，其傅里叶变换为 ( ) ，根据 上公式计算出母小波 (t ) 对应的波形参量 , t, 0 , 分别为 t0 ，经过伸缩平移后的 小波基函数 a, (t ) 对应的波形参量分别为 t0 , t , 0 , ，则存在以下的结论： （1）能量守恒 ：
（III）位移因子 从上式可以看出，平移因子 只影响时窗 中心位置。从时域看，平移不会影响波形 大小。从频域看，函数在时域的平移只会 在频域引入附加的相位，不会影响函数的 幅频特性，也不会影响频窗中心和大小。 （IV）时频窗面积 从严格的数学角度来说，时频窗面 积遵循Heisenberg测不准原理，即 1 t 2
t a , t dt
2
a , t dt
2
t t0 a, t a, t
2

2
dt ]
1
2
（3）频窗中心：实质上是信号在频域的一阶 矩，即
0



a , d
2
a ,
2
（4）频窗宽度：实质上是信号的频域标准差， 即