角动量

根据牛顿第二定律，第 i 个质元 Fi fi mi ai
圆周轨迹切线投影 同乘以 ri 对所有质元求和
外 力
内 力
Fiτ fiτ mi aiτ Fiτ ri fiτ ri mi aiτ ri mi ri 2
2 F r f r ( m r β iτ i iτ i i i )
解：由于卫星是在地球的万有引力——有心力作用 下运动，故角动量守恒。所以有：
L mvr sin mvr 常数
r sin r
v 常数 / mr 1 / r
m v1
r1
r
r2
v2

r
v
卫星离地球的距离 r 越近，卫星的速度越大。近地点 速度最大，远地点速度最小。
开普勒第二定律(面积定律): 行星在相等的时间内扫过相等的面积。

+
例 如图，质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过一 铅直 套管，使小球以速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动, 然后 向下拉绳, 使小球运动的轨迹最后成为半径为r1的圆。 求（1）小球距管心为r1时速度v的大小；（2）由r0缩短到r1 过程中，力F 所做的功。 解 小球受到的是有心力，根据质点的角 r0 动量守恒，故有
m
1、有心力：力的方向始 终指向一个定点。如： 万有引力。 2、有心力的特点：有心力 对力心的力矩恒为零。 3、有心力场中运动的质点， 对力心的角动量守恒。
r
O
r // F Mo r F 0
Mo 0 Lo 常 矢 量 。
讨论 人造地球卫星绕地球运转时的速度变化。
dL M dt
注意 1.角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在 研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒 定律都起着重要作用。 2、质点的角动量守恒定律的条件是M=0，这可能 有两种情况： （1）合力为零，合外力矩为零； （2）合力不为零，但合外力矩为零。
四、质点在有心力场中的运动
F
F
o
方向用右手螺旋法规定
力对轴的力矩
z
（产生垂直轴方向的力矩） F//
F
h
r

F
（产生平行轴方向的力矩）
力对轴的力矩等于力对点的力矩沿轴方向的分量 使刚体逆时针加速转动，为正数；否则为负。 力矩取决于力的大小、方向和作用点位置
二、质点的角动量（动量矩）定理
v p 0
解：由机械能守恒可得
1 mgh mv 2 2
v 2 gh 2 gR sin
L mvR mR3 2 (2 g sin )1 2
v 2g ( sin )1 2 R R
三、质点的角动量守恒定律
若：M 0, 则有： L 常矢量 当质点对某点所受的合外力矩为零时，质点对该 点的角动量保持不变（大小与方向均不变）。
L0+L

L0 1 2 2 11 2 211 2 2 1 v0 mv mv kL kL mv 0 mv 0 22 22 22 m 2 k k2 2 2 v v 0 v v 0 L L 如何求角度？ mm
由于质点在有心力作用下运动，故角动量守恒。
0mv L0 mv )0 ( LL mv L0 0 mv sin(sin( ) (L ) L) 0 sin /v LL sin v0 Lv /L v0( L ) L) 0 00 0(
大小： L pr mvr
L
O
mr 2
方向：右手螺旋
m r
v
90 0
2、直线运动质点的角动量
角动量大小:
O
mvd
d
r
m v α
方向：垂直板面向外
（二）、力矩
F F Fi 0, M i 0 i i
力对点的力矩
F Fi 0, M i 0 i i
mv0 r0 mvr1
所以
r0 v v0 ( ) r1
v0
o r1
根据动能定理，力 F 做的功为
F
1 1 1 2 r0 2 2 2 r0 2 A Ek mv0 ( ) mv0 mv0 [( ) 1] 2 r1 2 2 r1
例：光滑的水平面上用一弹性绳（k）系一小球(m)。 开始时，弹性绳自然伸长(L0)。今给小球与弹性绳垂 直的初速度V0, 试求当弹性绳转过90度且伸长了L 时， 小球的速度大小与方向。 v 解： 由机械能守恒：
第四节 角动量与冲量矩 角动量守恒定律
一、基本概念
（一）、质点的角动量 (动量矩) 质点对O点的动量矩定义为：
L
O
P
r m
L r P r mv
大小： 方向：由右手螺旋法则规定。 角动量的方向垂直于动量和矢 径构成的平面。
L
p
r
角动量单位：kg· m2· s-1
1、做圆周运动质点对圆心的角动量
ai=ri
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 转动惯量 质量连续分布物体
M J
2
J mi ri
ri fi
h mi
fi
J r 2dm
讨 论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
以子弹和沙袋为系统
动量守恒；
v
角动量守恒； 机械能不守恒 .
以子弹和杆为系统
子 弹 击 入 杆
o
动量不守恒；
角动量守恒；
v
机械能不守恒．
o
圆 锥 摆
'
圆锥摆系统
动量不守恒；
R
T
m
p
o
v
角动量守恒； 机械能守恒．
五、刚体定轴转动的转动定律
dL r F M dt
冲量矩 质点的角动量定理
t1
t2
M dt

t2
t1
M dt L2 L1
合外力矩的冲量矩等于质点角动量（动量矩）的增量。
质点的角动量定理的微分形式：
质点角动量对时间的变化率等于作用于质点 的合外力矩。
例题 一半径为 R 的光滑圆环置于 竖直平面内. 一质量为 m 的小球穿在 圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开 始时静止于圆环上的点 A (该点在通过 环心 O 的水平面上)，然后从A点开始 下滑。设小球与圆环间的摩擦力略去不 计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度。