有限单元法课件第三章 轴对称问题的有限元解法

z
结构中的应力,应变和位移只是r,z的函数
任意一点的位移只有沿r方向的径向位移u 方向的切向 和沿z方向的轴向位移w,而沿 位移等于零。
子午面
o

r
因此,可以取出结构的任一子午面进 行分析,从而将三维问题转化为二维 问题来求解。
z ( z )
根据轴对称特点,有:
zr ( zr )
r z 0 r z 0
j
ui
uj
o
i
r
三节点三角形轴对称环单元
二、单元分析
从划分的单元中任取一个单元。 三个节点的编号分别为i,j,m,节点 坐标 (ri , zi ) , (rj , z j ) ,(rm , zm ) 为已知,节 点位移分别为(ui , wi ), (u j , wj ), (um , wm ) 。 1.位移函数
T
bi (3-12) l d s ci l
jn N 在 jm 边上有 Ni (r, z) 0 ,令 m jm t N j 1 jn 1 t jm
则有 ds jmdt ldt
s jn jmt lt
将以上五式代入式(3-12),积分得表面力 Ps 的等效节点载荷为
T

1

0
轴对称问题的弹性矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
一、结构离散 轴对称结构本身是一个三维结构 ,由于形状和载荷的特殊 性,其网格划分仅在任一子午面上进行 ,因此网格表现为平面 网格 , 但实际上单元具有环状的空间结构。本章采用三节点 三角形环单元。 w z m
m
um
wj
wi
( x, y)
T e
考虑到虚位移的任意性,将上式两边的 q 同时消去,则有 T e F B rdrd dz
eT
e
2 B D B rdrdz q k q
T e e
e
式中 k 2 B D B rdrdz (3-8)
RP
e
s
P 1 0 0 1 t 0 t 0 s z 0 0 1 t 0 t 0 0 P s
T T
bi l ldt ci l
P z j zm l 0 0 1 0 1 0 s 2 2 0 0 0 1 0 1 P s z j zm T Ps 0 0 bi ci bi ci 4
它们的关系为 D 式中
1 E D (1 )(1 2 ) 0
(3-2)

1 0 0 0 1 2 2 0
u r
u r
w z
w u (3-1) r z
j
z j zm 2
i
O
单元表面力列向量为
r
三角形环单元上作用表面力 N ds Ps
e T T
s
Ni z jm 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
P 0 s Nm P s
或写成
d
e
u e N q w
d
式中
e
q ui
e
u e N q w
wi 0 Ni uj Nj 0 wj 0 Nj um Nm 0
(3-4)
wm
T
Ni N 0
0 Nm
其中 Ni , N j , N m 是形函数,其表达式为
1 2 3
4 5
第一章 绪论 第二章 有限元法的基本原理 第三章 轴对称问题的有限元解法 第四章 杆件系统的有限元法 第五章 空间问题的有限元法
第三章 轴对称问题有限元法 第一节 轴对称问题的定义和特点 一、轴对称问题的定义
当分析结构同时满足以下三个条件时,可认为是轴对称问题:
(1)几何形状轴对称
z
rz ( rz )
r ( r )
o

( )
r
但径向变形会引起周向应变,即 2 (r u ) 2 r u 2 r r 因此在轴对称问题中,每一个点具有四 T 个应力分量 r z rz
和四个应变分量
T
r z rz
式中
e
S q Si
e
Sj
Sm q
e
A1cl bl Al fl Ab f A c E (1 ) l 1 l l l Sl 2 A(1 )(1 2 ) A1 (bl fl ) cl A c A b 2 l 2 l
( z j zm ) pbi 4
0
r
如果作用在边界上的表面力不是均布载荷,则可 将载荷分解成若干组,近似地将每组表面力视为均 布载荷,分别进行计算,然后叠加即可。
(l i, j, m)
A1

1
1 2 A2 2(1 )
三、单元刚度矩阵
和平面问题一样,本章仍用虚位移原理来推导三角形环 单元的单元刚度矩阵。在轴对称情况下单元的虚功方程为 T eT e q F rdrd dz
e
单元等效节点力 F e所作的 虚功,注意:此时的节点力是 指整个三角形环单元上的力
e T e
e
就是三角形环单元的单元刚度矩阵。 由于应变矩阵 B 中含有1/r因子,当r=0时, 式(3-8)积分时会 出现奇异性。因此 ,把单元中随位置变化而不断变化的r和z用 单元截面的形心坐标来近似,即令
rr zz
ri rj rm
3 zi z j z m 3
进行上述近似后, B 和 S 都成为常量矩阵,积分式(3-8)变为
k
e
e
式中,A是三角形单元的面积.
kii T 2 r B D B A k ji kmi
kij k jj kmj
kim k jm kmm
k 的子矩阵计算公式为
krs 2 r Br
T
E (1 )r k1 k2 D Bs A k k 2 A(1 )(1 2 ) 3 4
z
m
Ps
l
ds
z j zm Ps Ps jm psr Ps psz rm rj P Ps s jm
bi l ci l
s
n(r , z )
令 zz
2.单元应变
将位移函数式(3-4)代入几何方程(3-1)得
u r u r
Bm
w z
w u e Bq r z
T
(3-6)
式中 B Bi 其中
Bj
bl 1 fl Bl 2 A 0 cl
四、总刚集成
求出每个三角形环单元的刚度矩阵后,即可按照 第二章介绍的总体刚度矩阵的集成方法,得到结构的 总刚矩阵,从而形成刚度方程
K q R
式中, K 为结构总刚矩阵;q为节点位移列阵; R为节点载 荷列阵。
五、等效节点载荷的计算
计算轴对称问题的等效节点载荷与平面问题有所不同,因 此轴对称结构的子午面上的一个节点是一个关于对称轴中心 对称的圆环,故当计算集中力,表面力和体积力时,应在整个环 上积分。这里讨论几种常见载荷的等效移置。 1.集中力的移置 设三角形环单元内任意一点(r,z)处作用有集中外载荷 P c , 它在r和z方向上的分量分别为 pcr 和 pcz ,用矩阵表示为 T Pc pcr pcz
e
指整个三角形环单元中的 应力所作的虚功.
e e
假设单元的虚位移为 q ,则单元的虚应变为 B q 将上式代入虚功方程,得 T eT e eT q F q B rdrd dz
e
q
eT
B rdrd dz
0 0 cl bl
(l i, j, m)
al bl r cl z (l i, j, m) fl r 由此可见,周向应变分量 随r,z 而改变,不是常量,因此应变 矩阵 B 不是常量矩阵.
3.单元应力
将式(3-6)代入式(3-2),得到单元应力
D D B q
bi l ci l
式中 bi z j zm
ci rm ri
z
m
(z j zm ) pci 4
li 4 ( z j zm ) pb
Ps
ds
(z j zm ) pci 4
s
n(r , z )
i
O
j
可见,当单元的边界jm作 用有集度为p的垂直均布力 时,分配到节点i上的载荷为 零,分配到节点j和m上的载 荷相同。
k1 br bs f r f s A1 (br f s f r bs ) A2cr cs k2 A1cr (bs f s ) A2br cs k3 A1cs (br f r ) A2bs cr k4 cr cs A2br bs al bl r cl z (l i, j , m) r 1 2 A1 A2 1 2(1 ) fl fl
1 (ai bi r ci z ) 2A 1 Nj (a j b j r c j z ) 2A 1 Nm (am bm r cm z ) 2A Ni
式中各系数的表达式分别为
ai rj wm rm w j , bi w j wm , ci rm rj a j rm wi ri wm , b j wm wi , c j ri rm am ri w j rj wi , bm wi w j , cm rj ri
Pc 移置后对应的节点载荷列阵为
RP Rir
e
c
Riz
R jr
R jz
Rmr
Rmz
T
根据虚位移原理,等效节点载荷与原载荷在虚位移上作的虚功 相等,即
q RP d Pc q N Pc
eT e eT eT T
c
由于虚位移的任意性,可由上式得到 展开得
RP N Pc
e T
c
RP
e
c
Ni pcr
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0 N j pcz
0 pcr N m pcz N m pcp
Ni pcz
N j pcr
N m pcz
2.表面力的移置
设单元的jm边作用有均布载荷Ps,其方向以压向单元边界为 正,如图. 表面力的矩阵表示为
要求结构是相对对称轴的旋转体。
(2)边界条件轴对称
件具有轴对称性。
要求结构受到载荷和位移约束条
要求结构的材料特性具有轴对称性。
(3)材料轴对称
二、轴对称问题的应力应变特点
轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈 轴对称分布。
分析轴对称问题时,通常采用柱坐标系(r, , z) ,并以z轴为对称 轴。
z
m
w m
um
wj
wi
( x, y)
j
ui
uj
o
i
u 1 2 r 3 z 选择线性位移函数为
r
w 4 5r 6 z
与平面问题类似,将节点i,j,m的坐标值和位移值代入上式,整 理得
u N i ui N j u j N m u m w N i wi N j w j N m wm