练习册 第12章《真空中的静电场》答案

第12章 真空中的静电场

一、选择题

1(A)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题

(1). 电场强度和电势，0/q F E ，l E q W U a

a

00d /(U 0=0).

(2). 042 /q q ， q 1、q 2、q 3、q 4 ；

(3). 0， / (2 0) ； (4). R / (2 0) ；

(5). 0 ； (6).

00

114r r q

；

(7). －2×103 V ； (8).

b a

r r q

q 1140

(9). 0，pE sin ； (10).

j y x i xy

40122482

(SI) ；

三、计算题

1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．

解：在O 点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A ∞在O 点产生的场强：

j i R

E 014

半无限长直线B ∞在O 点产生的场强：

j i R

E

024

四分之一圆弧段在O 点产生的场强：

j i R

E

034

由场强叠加原理，O 点合场强为： j i R

E E E E

03214

2. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E

垂直于地面向下，大小约为100 N/C ；在离地面1.5 km 高的地方，E

也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ． (1) 假设地面上各处E

都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均

O B

A

∞

∞

y

x

3

E 2

E 1

E

O B A

∞

∞

体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0 ＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2) 解：(1) 设电荷的平均体密度为 ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面 S 平行地面)上下底面处的 场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：

E

·S d ＝E 2 S -E 1 S ＝(E 2-E 1) S

高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h S

由高斯定理(E 2－E 1) S ＝h S / 0

∴

E E h

1201 ＝4.43×10-13 C/m 3

(2) 设地面面电荷密度为 ．由于电荷只分布在地表面，所以电力

线终止于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理 E

·S d = i 0

1q

-E S =S 0

1

∴ =－ 0 E ＝－8.9×10-10 C/m 3

3. 带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为 = 0sin ，式中 0为一常数， 为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度．

解：在 处取电荷元，其电荷为d q = d l = 0R sin d 它在O 点产生的场强为R R q E 002

04d sin 4d d

在x 、y 轴上的二个分量

d E x =－d E cos ， d E y =－d E sin 对各分量分别求和

000

d cos sin 4 R E x ＝0 R

R E y 0002

008d sin 4 ∴ j R

j E i E E y x

008

(2)

(1)

4. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： = 0cos ，式中 为半径R 与x 轴所夹的角，

试求圆柱轴线上一点的场强．

解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为

= 0cos R d ， 它在O 点产生的场强为：

d s co 22d 000

R

E 它沿x 、y 轴上的二个分量为：

d E x =－d E cos = d s co 2200

d E y =－d E sin =

d s co sin 200

积分： 2020

d s co 2 x E ＝002 0)d(sin sin 2200

y E

∴ i i E E x

02

5. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为

4

πR qr

(r ≤R ) (q 为一正的常量) = 0 (r >R )

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势．

解：(1) 在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 d q = d V = qr 4 r 2d r /( R 4) = 4qr 3d r/R 4 则球体所带的总电荷为 q r r

R

q V Q r V

3

4

d /4d

(2) 在球内作一半径为r 1的高斯球面，按高斯定理有

4

0410

2

40

121

1

d 41

4R

qr r r R qr E r r

得 4

02

114R qr E (r 1≤R)，1E 方向沿半径向外．

在球体外作半径为r 2的高斯球面，按高斯定理有 022

2/4 q E r

得 2

2

024r q

E (r 2 >R )，2E 方向沿半径向外． (3) 球内电势

O

R

z

y

x

O

x

R

y

d

d E x d E y

d E