矩阵理论-第四讲 最小多项式

0
= ϕ ( A)
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矩阵理论第4讲 - 13
Hamilton-Cayley定理的应用 – 化简矩阵多项式的计算：
• 当n阶方阵的矩阵多项式 f ( A) 中A的最高次幂超过n时，可用多项 式的带余除法，将此矩阵多项对应的多项式 f (λ ) 表示为 ϕ (λ ) =
那么根据Hamilton-Cayley定理
•
任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明：
n ∃P ∈ Cn ×n
P −1 AP = J
考察J：
λ1 1 λ1 O O 1 λ1 0 λ2 1 O 1 λ2 0 O O O 1 λi
Dr×1 ∈ F m×( n +1) ~ D( m −r )×1
矩阵理论第4讲 - 2
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Hamilton-Cayley定理
•
任一方阵都是它的特征多项式的根
– Hamilton-Cayley定理 设 A∈ C nxn ，ϕ (λ ) = det(λI − A) ，则 ϕ ( A) = 0 – 证明： 由于
利用矩阵加法的定义 A + B ∆ ( aij + bij ) 将 B(λ ) 分解
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矩阵理论第4讲 - 11
Hamilton-Cayley定理
B(λ ) = λn −1 Bn −1 + λn − 2 Bn −1 + L + B0 Bi ∈ C n×n (i = 1,L n − 1) 考察等式 B(λ )(λI − A) = det(λI − A) I 的右边：
其中： f ij* (λ ) 是 A(λ ) 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式， 那么与常数矩阵类似：
A(λ ) A* (λ ) = A* (λ ) A(λ ) = det A(λ ) I
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矩阵理论第4讲 - 9
Hamilton-Cayley定理 设 B(λ ) 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么
矩阵理论第4讲 - 5
Hamilton-Cayley定理
= ( PJP −1 − P(λ1 I ) P −1 )( PJP −1 − P(λ2 I ) P −1 ) L ( PJP −1 − P(λn I ) P −1 ) = P( J − λ1 I ) P −1 P( J − λ2 I ) P −1 P L P −1 P( J − λn I ) P −1 = P( J − λ1 I )( J − λ2 I ) L ( J − λn I ) P −1
λ1 − λn ×
α λ2 − λn
O −1 P O α 0
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矩阵理论第4讲 - 7
Hamilton-Cayley定理
λ1 − λ3 0 0 * * 0 0 O * = P M M O * 0 0 * λ1 − λn × = L0
比较两边的系数：
Bn −1 = I B − B A = α I n−2 n −1 n −1 M − B0 A = α 0 I
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矩阵理论第4讲 - 12
Hamilton-Cayley定理 以 An , An −1 ,L , A, I 依次右乘这些等式：
Bn −1 = I B − B A =α I n −1 n −1 n−2 Bn −3 − Bn − 2 A = α n − 2 I M B0 − B1 A = α n −1 I − B0 A = α 0 I
运算结果是一个零矩阵 运算结果是一个零矩阵
ϕ (λ ) = det(λI − A)
显然
运算结果是一个多项式 运算结果是一个多项式
ϕ ( A) = det( AI − A) = 0
运算结果是一个数 运算结果是一个数
运算结果是一个矩阵 运算结果是一个矩阵
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矩阵理论第4讲 - 3
Hamilton-Cayley定理
令:
(n (n α11 −1) α12 −1) ( n −1) (n α 22 −1) α 21 Bn −1 = M M α ( n −1) α ( n −1) n2 n1 n (0 (0 α11 ) α12 ) L α1(n −1) (0) (0 ( n −1) L α 2n α 21 α 22 ) L B0 = M O M M (n α (0) α (0) L α nn −1) n2 n1 0 L α1(n ) (0) L α 2n O M (0) L α nn
det(λI − A) 与商 g (λ ) 的积，再加上余式 r (λ ) 的形式： f (λ ) = g (λ )ϕ (λ ) + r (λ ) deg r (λ ) < n
f ( A) = g ( A)ϕ ( A) + r ( A) = r ( A) 这样可简化 f ( A) 的计算
– 多项式的带余除法 设 f (λ ) ，g (λ ) 为任意多项式，g (λ ) 不恒等于0，则必有两个多项 式 q (λ ) 和 r (λ ) ，使得
矩阵理论-第四讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
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矩阵理论第4讲 - 1
上节内容回顾
•
化方阵A为Jordan标准形
– 特征向量法 – 初等变换法
• • • 多项式矩阵（ λ矩阵） 多项式矩阵的Smith标准型 不变因子、初等因子 2. 1. 在A的Jordan矩阵中构 构 造k个以 λi 为对角元素 个 的Jordan块 k个Jordan块的阶数之 阶数之 和等于 ri
λ1 α λ2 O J = O α λn
λ1 − λi α O O λi −1 − λi α J − λi I = 0
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α λi +1 − λi
O α O λn − λi
矩阵理论第4讲 - 6
Hamilton-Cayley定理
= P( J − λ1 I )( J − λ2 I ) L ( J − λn I ) P −1
α 0 λ1 − λ2 α 0 O 0 λ2 − λ1 O 0 = P M L M O α M O α 0 0 λn − λ1 0 λn − λ2
B (λ )(λI − A) = det(λI − A) I det(λI − A) 是次数为n的多项式：
det(λI − A) = λn − (tr A)λn −1 + L + (−1) n det A
再考察 B(λ ) ，其每个元素的次数均不超过n – 1:
(n (0 (n (0 α11 −1) λn −1 + L + α11 ) α12 −1) λn −1 + L + α12 ) ( n −1) n −1 (0 (n (0 α 21 λ + L + α 21 ) α 22 −1) λn −1 + L + α 22 ) B (λ ) = M M α ( n −1) λn −1 + L + α ( 0 ) α ( n −1) λn −1 + L + α ( 0 ) ) n1 n2 n2 n1 n 0 L α1(n −1) λn −1 + L + α1(n ) ( n −1) n −1 (0) L α 2n λ + L + α 2n O M ( n −1) n −1 (0) L α nn λ + L + α nn
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矩阵理论第4讲 - 4
Hamilton-Cayley定理
将J写成如下形式：
λ1 α λ2 O J = O α λn 上式中 λ1 , λ2 , L, λn 是A 的n个根，所以
ϕ (λ ) = det(λI − A) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) L (λ − λn )
α λ2 − λ3 α
0
λ4 − λ3
L O O
α λ2 − λn
O −1 P O α 0
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矩阵理论第4讲 - 8
Hamilton-Cayley定理
•
任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明： 仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵： 设 A(λ ) = ( f ij (λ )) ∈ C n×n
f ( λ ) = q ( λ ) g ( λ ) + r (λ )
式中 r (λ ) = 0 或 deg r (λ ) < deg g (λ )
× An × An −1 × An − 2 ×A ×I
Bn −1 An = An Bn −2 An −1 − Bn −1 An = α n −1 An −1 Bn −3 An −2 − Bn −2 An −1 = α n − 2 An −2 M B0 A − B1 A2 = α n −1 A − B0 A = α 0 I +
* f11 (λ ) * f12 (λ ) * A (λ ) ∆ M f * (λ ) 1n * f 21 (λ ) L * f 22 (λ ) L
M O f 2*n (λ ) L
f n*1 (λ ) * f n 2 (λ ) ∈ C n×n M * f nn (λ )
B(λ )(λI − A) = (λn −1 Bn −1 + λn − 2 Bn − 2 + L + λB1 + B0 )(λI − A)
考察其左边：
= λn Bn −1 + λn −1 ( Bn − 2 − Bn −1 A) + L + λ ( B0 − B1 A) − B0 A
det(λI − A) I = [(λn − tr Aλ + L + (−1) n det A]I = [(λn + α n −1λn −1 + L + α1λ + α 0 ]I = λn I + λn −1α n −1 I + L + λα 1 I + α 0 I
– 行列式因子法
d k (λ ) =
•
A ~ J 的相似变换矩阵P的求法 AP = PJ
Dk (λ ) Dk −1 (λ )
(1 ≤ k ≤ n)
Api1 = λi pi1 M Ap = p + λ p iri −1 i iri iri
(A
Ir B) = 0
C r ×( n − r ) 0
将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：
ϕ ( A) = ( A − λ1 I )( A − λ2 I ) L ( A − λn I )
−1 将 A = PJP 代入上式：
ϕ ( A) = ( PJP −1 − λ1 I )( PJP −1 − λ2 I ) L ( PJP −1 − λn I )
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矩阵理论第4讲 - 10
Hamilton-Cayley定理
(n (0 (n (0 α11 −1) λn −1 + L + α11 ) α12 −1) λn −1 + L + α12 ) ( n −1) n −1 (0 (n (0 α 21 λ + L + α 21 ) α 22 −1) λn −1 + L + α 22 ) B (λ ) = M M α ( n −1) λn −1 + L + α ( 0 ) α ( n −1) λn −1 + L + α ( 0 ) ) n1 n2 n2 n1 n 0 L α1(n −1) λn −1 + L + α1(n ) ( n −1) n −1 (0) L α 2n λ + L + α 2n O M ( n −1) n −1 (0) L α nn λ + L + α nn