直线一级倒立摆控制器设计(自动控制理论课程设计)

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

课程设计说明书（论文）

课程名称：自动控制理论课程设计

设计题目：直线一级倒立摆控制器设计

院系：电气工程及其自动化学院

班级：

设计者：

学号：

指导教师：**

哈尔滨工业大学

哈尔滨工业大学课程设计任务书

*注：此任务书由课程设计指导教师填写。

1、理论模型建立和分析

1.1直线一级倒立摆数学模型的推导

对于忽略空气阻力和各种摩擦之后，直线一级倒立摆系统抽象为小车和匀质杆组成的系统。

x

b

p

图1-1 倒立摆系统小车和摆杆的受力分析

本系统参数定义如下：

M——小车质量；

m——摆杆质量。

b——小车摩擦系数；

l——摆杆转动轴心到杆质心的长度；

I——摆杆惯量；

F——加在小车上的力；

x——小车位置；

φ——摆杆与垂直向上方向的夹角。

θ——摆杆与垂直向下方向的夹角

方程为：

Mx F bx N

=--（1-1）

因此主动控制力可近似线性化地表示为：

()2

2sin d N m x l dt

θ=+ （1-2）

即：

2cos sin N mx ml ml θθθθ=+- （1-3）

代入前面式子：

()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-= （1-4）

垂直方向上：

()2

2cos d P mg m l dt θ-=- （1-5）

即：

2

sin cos P mg ml ml θθθθ-=+ （1-6） 力矩平衡方程：sin cos Pl Nl I θθθ--= （1-7）

注意等式前面的负号，由于

,cos cos ,sin sin θπφφθφθ=+=-=-

()2

2

sin cos I ml mgl mlx

θθθ

++=- （1-8）

1．微分方程模型 设θ

πφ=+，近似处理:2

cos 1,sin ,(

)0d dt

θθθφ=-=-= 设u=F ，则：

()()2

M m x bx ml u I ml mgl mlx φφφ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩ （1-9）

2.传递函数模型

对上式拉氏变换处理，设初始条件为0，则：

()(

)22

222

()()()()()()()M m X s s bX s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s ⎧++-Φ=⎪⎨+Φ-Φ=⎪⎩（1-10） 输出为角度为φ，由第二式得到

()22()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦ （1-11）

或者

()2

22()()s mls X s I ml s mgl

Φ=

+- （1-12）

如果令x ν=，则有

()22()()s ml

V s I ml s mgl

Φ=

+- （1-13）

把上式代入10式，则有：

()()()22222()()()()I ml I ml g g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤

++⎢

⎥⎢⎥+-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（1-14）

整理：

()()2

12432()()()

ml s s q G s U s b I ml M m mgl bmgl s s s s

q

q

q

Φ=

=+++

-

-

（1-15）

其中()()

()22

q M m I ml ml ⎡⎤

=++-⎣

⎦

从而，有

()()()()()22

2

2

2

2432222432()()

()()()X s s G s s U s ml s I ml s mgl

q mls

b I ml M m mgl bmgl s s s s q

q

q

I ml mgl

s q q b I ml M m mgl bmgl s s s s

q

q

q

Φ=⨯

Φ+-=

⨯+++

-

-+-=+++

-

-

（1-16）

3.状态空间数学模型

X AX Bu

Y CX Du

=+=+，可得状态方程

()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=⎧⎪

-++⎪

=++⎪++++++⎪⎨

=⎪⎪+-⎪=++⎪++++++⎩

()()()()()()()()()2

2

2

2

22

2

2

2

2

010000

00

00

100

010000010x x I ml b I ml m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml

x y φφφφφ-++++++++=+-+++++++==⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥⎢

⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦00x x u

φφ+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥

⎡⎤⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦

⎪⎢⎥⎩⎣⎦

1.2系统阶跃响应分析

1.2.1、阶跃响应源程序：参考模型 %实际系统参数

M=0.5; m=0.2; b=0.1; l=0.3; I=0.006; g=9.8; T=0.005;

%求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置)

q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; num=[m*l/q 0];

den=[1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q]; gs=tf(num,den);

numpo=[(I+m*l^2)/q 0 -m*g*l/q];