4.2、角动量及其守恒定律
角动量守恒定律_概述及解释说明
角动量守恒定律概述及解释说明1. 引言1.1 概述角动量守恒定律是物理学中一个重要的基本原理，它描述了在不受外力或转矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
这一定律有着广泛的应用，在自然界和工程领域中都扮演着至关重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍角动量守恒定律的基本概念，包括角动量的定义和性质，以及角动量守恒的原理和在自然界中的应用。
接着我们会详细解释数学原理，包括刚体系统和非刚体系统中角动量守恒的推导过程，并探讨转矩与角动量之间的关系。
然后，我们将通过经典实例分析实验来验证角动量守恒定律，并探讨其应用和验证方法。
最后，我们会对角动量守恒定律的重要性进行总结，并回顾其在物理领域中的广泛应用，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍角动量守恒定律，并深入探讨其数学原理、实验验证以及在实际应用中的案例。
通过对角动量守恒定律的深入理解，能够帮助读者更好地理解物理学中的基本原理，同时也有助于激发读者对未来研究方向的思考。
2. 角动量守恒定律的基本概念2.1 角动量的定义和性质角动量是刻画旋转运动的物理量，它与物体的质量、速度以及距离有关。
角动量的定义为一个物体在给定参考点周围旋转时所具有的动力学特性。
其数学表达式为L = r x p，其中L表示角动量，r表示从参考点到物体质心位置矢量，p表示物体的线性动量。
根据右手法则，可以确定角动量的方向与线性动量和半径之间的关系。
角动量具有以下几个重要性质：1) 角动量是矢量，在运算中需要考虑其方向；2) 角动量大小与速度、质量及距离之间的积相关；3) 在封闭系统中，总角动量守恒。
2.2 角动量守恒的原理角动量守恒指在一个封闭系统中，如果没有外力或外力矩作用于该系统，则系统总角动量将保持不变。
这意味着在不受外界干扰的情况下，系统内各个部分相对于共同参考点的角动量之和保持不变。
这一原理可以通过牛顿第二定律和牛顿第三定律的推导来解释。
根据牛顿第二定律，一个物体的角动量变化率等于作用在该物体上的转矩。
角动量守恒
lz
R⊥
r
P
F
o
β
φ
F '
y
φ
R
Q
x z
M
F'
M z M cos
r Fsin cos
lz r
o
F
y
x
§4.2
质点角动量守恒定律
自然界存在着各种运动方式，如质点 在一平面内绕某点作转动。
F
r
d
O
x
y
右手定则 四指由矢径 r 通过小于180º的角度
的方向，姆指指向就是力矩的方向。
ML2T 2
如果作用于质点上的力是多个力的合力, 即
F F1 F2 Fn
代入力矩定义中, 得
M r F r F1 F2 Fn
质点对通过参考点O 的任意轴线Oz 的角动量lz , 是 质点相对于同一参考点的角动量l 沿该轴线的分量。 mv z l l cos
z
如果质点始终在Oxy平面上运动, 质点对Oz 轴的角动量与对参考点O 的角动量的大小是相等的,即
l
lz
o
r
p
向所形成的角才是 角。
l z l r mv sin x 方向沿逆时针转向 mv 的方 注意 面对 z 轴观察, 由r
M
dr v dt
dp F dt
大小； 方向：
右手螺旋定则。 ML2T-2
单位： Nm
m o r
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
第四章 角动量守恒定律综述
对轴： M z M1z M 2 z
Z
5、对定轴力矩的方向
选定正方向后只有正负两种可能，合 力矩可以用各力矩的代数和来计算
O
M z ""
' Mz ""
eg1：质量为m=1Kg的质点在力 ˆ (3t 2) ˆ F (2t 3)i j 作用下运动， 质点在t=0时刻位于坐标原点，v0=0，
i M rF x Fx j y Fy k z Fz
Mx
z
Mz
M
My
O x
y
ˆ ˆ ( zFx xFz ) ˆ ( yFz zFy )i j ( xFy yFx )k ˆ ˆMy ˆ M xi j M zk
F 3、对定轴的力矩 力矩的分量式
O’
F2
r’ r F1 r1
转动平面
M x yFz zFy M y zFx xFz M z xFy 轴的力矩:即力矩沿z轴的
分量或力矩在z轴的投影
M z r1F1 sin
沿转轴方向力矩可以使物体沿此轴转动，即只有
平行于转轴的力矩才对转动起作用
将参考点沿 z 轴移至O’，位矢 r 改变，但是 r1 不变，Mz也不变，说明力对 z 轴上任一点的力
矩在z 轴的投影等于力对z 轴的力矩，即对一确
定的力F，对z 轴上任一参考点来说，力对z 轴 的力矩保持不变 如果已知力矩矢量的大小和它与 Z轴的夹角，则力对Z轴的力矩:
M
z
M z M cos
Mz
O
4、合力矩 对点：M r F r F1 r F2
M1 M 2
0
4.2、角动量及其守恒定律解析
L pd pr sin mvr sin 2 mr sin
（下一页）
取 m r2 J 叫转动惯量
用叉积定义
角动量
v
L r p r mv
a
m r
L
p
角动量大小:
r
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d
也可叫动量矩
（下一页）
2、力对定点的力矩 Mo
质点的角动量定理
o
r
d
F
力对定点的力矩：
M0 r F
大小：
M 0 Fd Fr sin
（下一页）
方向：用右手螺旋法规定
dB dA d * 应用微分公式 ( A B) A B dt dt dt dL dp dr r p r F v p dt dt dt
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。 ●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。 ●力矩 M = r ×F ●刚体绕定轴的转动定律 M = J
r F M0
所以得
角动量定律
也可写成
Mdt dL
dL M0 dt
方向相同，叉乘为零
称为冲量矩
（下一页）
3、 质点的角动量守恒定律
若 M0 0 d L 由 角动量定律 M 0 L 常矢量 dt v r dr a L L m vrsin a m r sin a m dt
角动量守恒定律和动量守恒定律
角动量守恒定律和动量守恒定律角动量守恒定律和动量守恒定律是物理学中两个重要的守恒定律，它们在描述物体运动过程中起着关键作用。
我们来了解一下角动量守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的转动惯量和角速度有关。
当一个物体不受外力或外力矩的作用时，其角动量守恒。
简单来说，这意味着物体的角动量在运动过程中保持不变。
例如，在没有外力作用下，一个旋转的陀螺会保持自己的角动量，即使它的方向和速度发生改变。
接下来，我们来了解一下动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
当一个系统不受外力作用时，其总动量守恒。
简而言之，这意味着系统中各个物体的动量之和在运动过程中保持不变。
例如，在碰撞过程中，两个物体之间的动量可以相互转移，但总动量保持不变。
角动量守恒定律和动量守恒定律是基于牛顿力学的基本原理推导而来的。
牛顿第一定律指出，当一个物体受到的合力为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而牛顿第二定律则表明，物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
基于这两个定律，我们可以推导出角动量守恒定律和动量守恒定律。
在物理学中，守恒定律是描述自然界中一些重要物理量保持不变的规律。
角动量守恒定律和动量守恒定律是这些守恒定律中的两个重要的例子。
它们不仅在经典力学中有广泛应用，而且在其他领域，如量子力学和相对论中也有重要的意义。
角动量守恒定律和动量守恒定律的应用非常广泛。
在物理学中，它们被用于解释各种运动现象，如行星的运动、天体的自转、杠杆原理等。
在工程学中，它们被用于设计和优化各种机械系统，如汽车发动机、航天器姿态控制系统等。
在生物学中，它们被用于研究动物的运动机制和人体的运动生理学。
在化学和物理化学中，它们被用于解释分子反应和化学平衡等现象。
角动量守恒定律和动量守恒定律是描述物体运动过程中重要的守恒定律。
它们在物理学的各个领域都有广泛的应用。
通过研究和理解这两个定律，我们可以更好地理解和解释自然界中的各种现象。
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
角动量 冲量矩 角动量守恒定律
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
41..4.质1 点质的点角的动角量动量定理和角动量z守L恒定v律
度
v
质量为m 的质点以速
在空间运动，某时对
O 的位矢为 r ，质点对O
rm
xo
y
的角动量
L
r
p
r
mv
L
1 2
mv 12
r1 r2
2
1
4.4.2 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的
角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
L
Ji
z
O ri
v i
mi
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受dd合Lti力矩dM(diJ(t包 )括Midedxt、(mMiiirni
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于在
这段时间内转动物体的角动量的增量
例 在通过定滑轮的一条轻绳的两 端，分别连有质量为 m1和 m2的物体， 设滑轮是质量为M 、半径为R的质 量均匀分布的圆盘。设绳的质量可 不计，求两物体的加速度。 解： 支撑力与滑轮的重力皆通原 点。只有 m1和m2 的重力才有对原 点的力矩。
R
M
m 1
m 2
作用于该系统的力矩为
M Rm1g Rm2g m1 m2 Rg
整个系统的角动量为
L
角动量定理、角动量守恒定律
在 M d L 中 ，若 M 0 dt
即：J J
1
2
M 0 的原因可能有：
则 L常量
（1） F 0 （不受外力）
（2）外力作用于转轴上
（3）外力作用线通过转轴
（4）外力作用线与转轴平行
以上几种情况对定轴转动均没有作用，则刚
体对此轴的角动量守恒。
角动量守恒定律也适用于定轴转动系统。
例1：一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸 直水平地举起两哑铃，在该人把此二哑铃水平收缩 到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统 的：
（A）机械能守恒，角动量守恒 （B）机械能守恒，角动量不守恒 （C）机械能不守恒，角动量守恒 （D）机械能不守恒，角动量不守恒
选C
像其他所有行星一样，太阳是由大量的灰尘雾和早 先充满宇宙空间的气体所组成。在几十亿年的时间内， 这些物质在引力的吸引下，慢慢缩聚起来，刚开始的时 候，这些气体团旋转的很慢，后来随着它们体积的缩小， 旋转速度不断提高，这个道理就和滑冰运动员把自己的 双臂逐渐收拢起来的时候，她的旋转速度就会不断加快 的道理一样。缩聚和旋转速度的加快，使组成太阳的物 质变成一个碟子般的东西。
2、刚体的角动量定理 在定轴转动中
MJaJddJ
dt dt
积分形式：
0 tM d tL L 1 2d L L 2 L 1 J2 J1
左边为对某个固定转轴的外力矩的作用在某段时间内 的积累效果，称为冲量矩。 右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。
3、角动量守恒定律
盘状星系——角动量守恒的结果
例2：有一个半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖 直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀 角速度 0 转动，此时有一质量为m的人站在转台中 心。随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时 转台的角速度为：
第4章 角动量守恒定律
开普勒第二定律认为：对于任一行星， 开普勒第二定律认为：对于任一行星，由太 阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。 阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。 m 试用角动量守恒定律证明。 试用角动量守恒定律证明。 v v v r 解: 将行星看为质点,在dt 时间内以 将行星看为质点, vdt f v v ,矢径 v 在 v 速度 v 完成的位移为 vdt r r o dt 时间内扫过的面积为 （图中阴影）。 时间内扫过的面积为dS 图中阴影）。
r v Mdt = dl
∫
t2 t1
r r v M d t = l 2 − l1
称为冲量矩 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所 受的冲量矩等于质点角动量的增量.
角动量定理的分量形式
如果质点始终在Oxy平面上运动,可得到Mz 平面上运动,可得到 如果质点始终在 平面上运动
d Mz = dt (rmv sinθ )
·
v v v v 根据质点角动量的定义 l = r × mv = m(r × v )
l ds l dt ⇒ = ∴ds = 2m dt 2m 行星受万有引力,为有心力 为有心力, 行星受万有引力 为有心力 r r ∑ M = 0, l = 恒矢量
1r r ds = r × vdt , 2 v
ds l 故 = = 恒量. dt 2m
v v v dr v= = −aω sinωti + bω cosωtj dt
角动量 v v v v v v 2 2 l = r × mv =mabω cos ωtk + mabω sin ωtk = mabωk
14
v v v r = a cosωti + bsinωtj v
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
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r 对于定轴转动， 对于定轴转动， L 对沿定轴的分量 Lz 为
Lz = ∑ ∆Li cosθ = ∑ ∆mi Ri vi cosθ = ∑ ∆mi ri vi = (∑ ∆mi ri )ω
2
称刚体绕定轴转动的角动量。 称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量： 刚体转动惯量
I = ∑ ∆mi ri
ml 2 ω ′2 23 l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2 mgh =
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3、物体系的角动量守恒 、 若系统由几个物体组成， 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒： 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。 直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。
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飞轮1： 摩擦轮 ： 例4-7 摩擦离合器 飞轮 ：I1、 ω1 摩擦轮2： I2、 静止，两轮沿轴向结合， 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角 速度。 速度。 解：两轮对共同转轴的角动量守恒
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角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于 角动量定理比转动定律的适用范围更广， 刚体，非刚体和物体系。 刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统， 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 I ω ， I 2 ω 2 ，L
1 1
系统对该轴的角动量为 且系统满足角动量定理
Lz = ∑ I i ω i
i
dLz d = ∑ I iω i Mz = dt dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律的公式
角动量守恒定律的公式
1. 角动量守恒定律公式。
- 对于质点，角动量L = r× p（其中r是质点相对于某参考点的位矢，p = mv 是质点的动量，×表示矢量叉乘）。
- 在合外力矩M = 0时，角动量守恒，即L_1 = L_2。
- 对于定轴转动的刚体，角动量L = Iω（其中I是刚体对轴的转动惯量，ω是刚体的角速度）。
当合外力矩M = 0时，I_1ω_1=I_2ω_2。
2. 相关知识点（人教版教材相关内容补充）
- 转动惯量。
- 对于离散质点系，I=∑_im_ir_i^2，其中m_i是第i个质点的质量，r_i是该质点到转轴的垂直距离。
- 对于质量连续分布的刚体，I = ∫ r^2dm。
不同形状的刚体转动惯量有不同的计算公式，例如，对于质量为m、半径为R的均匀圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴转动，其转动惯量I=(1)/(2)mR^2；对于质量为m、长为l的细棒绕通过中心且垂直于棒的轴转动，I=(1)/(12)ml^2。
- 角动量定理。
- 对于质点，M=(dL)/(dt)（M是合外力矩），这表明质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
- 对于刚体定轴转动，M = Iα（α是角加速度），结合L = Iω也可推导出
M=(dL)/(dt)。
2-4 角动量守恒定律
L Li mi ri mi ri
2 i i i
2
二 转动惯量
2.4.1 角动量
L mr
2
L mi ri
i
2
P m
z
O
单个质点的转动惯量：质 量m与该质点到转轴的垂 直距离平方之积
I mr
2
r
m
质点系对转轴的转动惯量：质点系内每个质点的质 量与该质点到转轴的垂直距离平方之积的总和
2
vB
R
B
vA
v0
v
O A
u
h
v v v
2 A 2 0
2
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
mv0 ( R h) mvB R
得
vB (R h)v0 R 1709m s
1
2.4.1 角动量
vB 1709m s
v 0 l0 arcsin( ) 30 vl
2.4.1 角动量 4 例4 一质量 m 1.20 10 kg 的登月飞船, 在离月球表 面高度 h 100km 处绕月球作圆周运动。飞船采用如 下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷 气，使飞船与月球相切到达点 B，且OA 与 OB 垂直。 4 1 飞船所喷气体相对月球的速度为 u 1.00 10 m s 。 已知月球半径R 1700km ； 在飞船登月过程中，月球 v B 0 v A 的重力加速度视为常量 vB g 1.62m s 2 。试问登月 R v u 飞船在登月过程中所需消耗 O A 燃料的质量 m 是多少? h
O
l 2
m l
旋转运动知识点总结
旋转运动知识点总结旋转运动是物体绕着某一固定轴线或者某一固定轨道进行运动的一种动力学运动形式。
在自然界和日常生活中，我们都能够看到许多旋转运动的例子，比如地球的自转、风车的旋转、运动员的体操表演等等。
本文将从角速度、角加速度、牛顿第二定律、角动量、角动量守恒定律等方面对旋转运动进行系统的总结。
一、角速度1.1 角速度的定义角速度是指物体绕着某一轴线旋转的速度，通常用符号ω表示，它的大小等于单位时间内通过的弧度数。
角速度的国际单位是弧度每秒(rad/s)或者角度每秒(deg/s)。
1.2 角速度的计算物体的角速度可以通过如下公式来计算：ω = Δθ / Δt其中，ω表示角速度，Δθ表示在时间Δt内物体绕轴线旋转的角度变化，Δt表示时间变化量。
1.3 角速度的方向在右手定则下，如果指尖指向旋转的方向，大拇指指向旋转轴线的方向，那么角速度的方向也是指向旋转轴线的方向。
二、角加速度2.1 角加速度的定义角加速度是指物体旋转运动的速度变化率，用符号α表示，它表示单位时间内角速度的变化量。
角加速度的国际单位是弧度每秒平方(rad/s²)或者角度每秒平方(deg/s²)。
2.2 角加速度的计算物体的角加速度可以通过如下公式来计算：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示在时间Δt内角速度的变化量，Δt表示时间变化量。
2.3 角加速度与速度的关系在匀加速旋转运动中，角加速度和角速度之间的关系可以用如下公式来表示：ω = ω0 + αt其中，ω表示时间t内的角速度，ω0表示初始角速度，α表示角加速度。
三、牛顿第二定律在旋转运动中的应用在旋转运动中，牛顿第二定律也同样适用，其数学表达式可以表示为：τ = Iα其中，τ表示合力对物体产生的力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
在牛顿第二定律的应用中，我们需要注意以下几点：1）转动惯量的计算2）力矩的计算3）角加速度的计算四、角动量4.1 角动量的定义角动量是指物体绕固定轴线的旋转运动所具有的动量，通常用符号L表示，它的大小等于物体运动速度的矢量叉乘转动惯量的大小。
4-2 角动量-角动量守恒定律
角应是多少？着陆滑行初速度为多大？
v0
m2
r0 4R
v R
m1
sin
1 4
(1
3Gm1 2Rv02
)
1 2
v
v0
(1
3Gm1 2Rv02
)
1 2
三.角动量（Angular Momentum）
2. 刚体定轴转动的角动量（Angular
Momentum of Rigid Body）
NO.4-2
第四章 刚体的转动
内容目录
1. 角动量 冲量矩 2. 角动量定理 3. 角动量守恒定律 4. 进动
三.角动量（Angular Momentum）
1. 质点角动量
( Angular momentum of one particle )
（1） 定义 L r p r mv
若质点作圆周运动
转体
外环
内环
支架
例3.静止水平转台边缘上一质量为 m的人，当 人沿边缘以速率 行v走时，问转台的角速度为
多大？设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ台绕通过转台中心的铅直轴转动，
转动惯量为 J，0 半径为 R．
mRv J0 mR2
例4. 一质量为 ,m长1为l 的匀质棒可绕支点
O与自棒由的v转下动端.相一碰质，量碰为后的以小速m球度2 以反水向平运速v动度' 。
四.进动（Precession ）
L f
炮管中的来复线使炮弹 高速旋转，飞行过程中
作进动。
在日、月的引力作用下，地球自转 轴的空间指向并不固定，呈现为绕 一条通过地心并与黄道面垂直的轴 线缓慢而连续地运动，大约25800 年顺时针向（从北半球看）旋转一 周，描绘出一个圆锥面 。这就造成 了“岁差”。 岁差即为地球自转轴的进动引起春 分点位移的现象。
4-2角动量
开普勒第二定律：行星对太阳的矢径在相等的时间 内扫过相等的面积。
开普勒发现行星绕太阳的轨道是椭圆形 的，提出了开普勒三定律* ，开普勒为 此欣喜若狂。把二十余年观测的几千个 数据归纳成这样简洁的几条规律，开普 勒应该为此感到自豪。只是开普勒尚不 理解，他所发现的三大定律已传达了重 大的“天机”。由于角动量正比于位矢 的掠面速度，因此开普勒第二定律意味 着角动量守恒。
r
v
O
二 力矩和角动量定理
1 力矩 M M rF
大小： M
M
F
rF sin Fd
o
d
r
A
d:参考点到力的作用线的垂直距离 方向：如图
M
、
r 、F
构成右手螺旋关系
思考：
合力为零时，其合力矩是否一定为零？ 合力矩为零时，合力是否一定为零？
对应的角量
L
——角动量（动量矩）
1.质点的角动量
定义： L r p r mv
m
d
p
大小： L r m v sin
o
z o
d
r
方向：
m v(r sin ) pd
垂直于 r 和 p 组成的平面， 服从右手定则。
x
L
r
m
p
y
例1 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考 点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 解 此时刻质点对三个参考点的动量矩
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R1 fdt R1 fdt J1 (1 10 ) R2 fdt R2 fdt J 2 ( 2 20 ) R1 J1 (1 10 ) 消去 fdt，得 R2 J 2 ( 2 20 )
（下一页）
由前已知
R1 2 R2 1 1 J1 M 1 R12 2
r F M0
所以得
角动量定律
也可写成
Mdt dL
dL M0 dt
方向相同，叉乘为零
称为冲量矩
（下一页）
3、 质点的角动量守恒定律
若 M0 0 d L 由 角动量定律 M 0 L 常矢量 dt v r dr a L L m vrsin a m r sin a m dt
M1 R1
M2 R2
答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的 轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能 对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动 时v1，v2方向相反，所以应为 1R1 2 R2 正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于 两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量 矩的大小正比于半径,方向相同:
因
f ' f ， 由两式得
v0
m
v
（下一页）
3mv 0l 9mv 0 1 2 这里 J Ml 4J 4Ml 3
请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?
不守恒——上端有水平阻力
M
总角动量守恒吗?----若守恒,
v0 m v
其方程应如何写?
v0 mv 0l m l J 4
J1 r J10 r1r2 1 2 , 2 2 2 2 J1r2 J 2 r1 J1r2 J 2 r1
（下一页）
T4-20 一转台绕其中心的竖直轴以角速度0 = s-1转 动，转台对转轴的转动惯量为J0=4· 0×10-3 kg·m2。今 有沙粒以Q=2t g·s-1的流量竖直落至转台，并粘附于 台面形成一圆环，若环的半径为r=0·10m，求沙粒下落 t=10s时，转台的角速度。 分析：对转动系统而言，转动惯量发生变化，对竖直 =====轴无外力矩，∴角动量守恒。 解：在时间0
（下一页）
2、力对定点的力矩 Mo
质点的角动量定理
o
r
d
F
力对定点的力矩：
M0 r F
大小：
M 0 Fd Fr sin
（下一页）
方向：用右手螺旋法规定
dB dA d * 应用微分公式 ( A B) A B dt dt dt dL dp dr r p r F v p dt dt dt
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量 保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件 M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ； ====在定轴转动中还有 M ≠0，但力与轴平行，即 Mz= 0 ,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动 量依然守恒。
（下一页）
应用角动量守恒定律的两种情况： 1、转动惯量保持不变的单个刚体。
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。 ●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。 ●力矩 M = r ×F ●刚体绕定轴的转动定律 M = J
2
Li ri mi vi ri mi
2 i
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
i
L Li ( mi ri ) J
（下一页）
2、刚体定轴转动的角动量定理 d dL d ( J ) 转动定律 M J J M dt dt dt t L Mdt dL L L0 Mdt dL t L
T4-18与本题有相似之处（一个系统两个转轴） （下一页）
P152，T4-18 半径分别为r1 、 r2 的两个薄伞形轮， 它们各自对通过盘心且垂直盘面转轴的转动惯量为J1 和J2 。开始时轮Ⅰ以角速度ω0 转动 ，问与轮Ⅱ成正 交啮合后（图4-18），两轮的角速度分别为多大？ 分析：两伞形轮在啮合过程中存在着 0 Ⅰ 相互作用力，这对力分别作用在两轮 r1 上，并各自产生不同方向的力矩，对 r2 Ⅱ 转动的轮Ⅰ而言是阻力矩，而对原静 ][ 图4-18 止的轮Ⅱ是启动力矩。由于相互作用 的时间很短，虽然作用力的位置知道，但作用力大小 无法得知，因此，力矩是未知的。但是，其作用的效 果可从轮的转动状况的变化来分析。对两轮分别应用 角动量定理，并考虑到啮合后它们有相同的线速度， 这样，啮合后它们各自的角速度就能求出。
T4-25提示；除了应用角动量守恒 ，
还要应用机械能守恒(要用引力势能) 。
看看书上四个例题
Bye Bye!
P128例1 如图所示,一半径为 R 的光滑圆 环置于竖直平面内. 有一质量为m 的小球 R 穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开 o 始静止于圆环上的点A（该点在通过环心 A O 的水平面上），然后从点A开始下滑。 FN 设小球与圆环间的摩擦略去不计。求小 球滑到点B 时对环心的角动量和角速度。 B 解: 小球受支持力 FN 和重力 P 的作用。 P F 支持力 N 指向环心O , 对点O 的力矩为零, 故小球所受的力矩仅为重力矩, 其大小为 M mgR cos 方向垂直纸面向里. 小球从 A 向 B 滑动的过程中, 角
1 2 J 2 M 2 R2 2
由此可解得:
R1 ( J11R2 J 2 2 R1 ) M1R11 M 2 R2 2 1 2 2 J1R2 J 2 R1 R2 ( M1 M 2 )
R2 ( J 2 2 R1 J1R1 2 ) M 2 R2 2 M 1R11 2 2 2 J1R2 J 2 R1 R1 ( M 1 M 2 )
2
L pd pr sin mvr sin 2 mr sin
（下一页）
取 m r2 J 叫转动惯量
用叉积定义
角动量
v
L r p r mv
a
m r
L
p
角动量大小:
r
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d
也可叫动量矩
解：取飞船和喷出的气体为系统，其角动量守恒，有
Jω – mur =0
因喷气的流量恒定，故有 m = 2Qt
（ 1）
（ 2）
由式（1）、（2）可得喷气的喷射时间为：
J 2 0 10 0 2 t 2 67s 2Qur 2 1 0 501 5
3
（下一页作业）
作业：P152-153 T4---17、19、25。
（下一页）
例2、质量分别为M1、M2,半径分 别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别 绕它们本身的轴转动,二轴平行。
原来它们沿同一转向分别以10 ， 20 的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相 接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个圆 柱的角速度1，2 。 对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二 圆柱边缘的线速度一样,故有 1R1 2 R2 1 二圆柱系统角动量守恒故有 J1 M 1 R12， 2 J110 J 220 J11 J 22 其中 1 2 J 2 M 2 R2 由以上二式就可解出 1，2 。 2 这种解法对吗? （下一页）
1 dr r sin a ds 2 2m 开普勒第二定律（P157） 2m dt dt
r
行星受力方向与矢径在一条
dS：矢径在dt 时间 直线（有心力），故角动量守恒。====扫过的面积
（下一页）
二、 刚体的角动量
角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量 质点对点的角动量为： Z L r p r mv ri vi 刚体上的一个质元△mi ,绕固 m i 定轴做圆周运动角动量为：
当M 0时，J J 0 , 则 0
2、转动惯量可变的物体或物体系。
当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变
加速旋转时，团身、收拢四肢，减小J ； 旋转停止时，舒展身体、伸展四肢，增大J 。
实例很多：舞蹈、跳水、花样滑冰等等……
（下一页）
角动量守恒定律 一、质点的角动量及其守恒定律 L 质点的动量 p 和 1、质点的角动量
（这是个新的概念） 质量为m的质点做圆周 运动时对圆心的角动量
4-3
角动量
矢径 r 不互相垂直
L
O
r
90 0
p
m
O
m r
p
d
90 0
L pr mvr mr =Jω
角动量守恒定律也适用于微观、高速领域。
（下一页）
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度
射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度 损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒 长为l ,质量为M. 解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 3 fdt m(v v0 ) 4 mv 0 子弹对棒的反作用力对棒的冲 M 量矩为： f 'ldt l f ' dt J
0
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿· 米· 秒 表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
0
角动量定理
J不变时， Mdt L J J0
t t0
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
（下一页）
J 改变时
L J J 00