函数的最值及凹凸性
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定义4.3曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点；
注意：拐点处 =0或者 不存在；
例：求曲线 的凹凸区间与拐点；
令 =0，得 ，
则曲线在 ， 为凹的；
曲线在 为凸的；
为拐点；
例2：求曲线 的凹凸性及拐点；
解：求导数
当x=2时， 不存在（也可能是拐点）
则曲线在 为凸的；
曲线在 为凹的；
为拐点；
3．其他例题
例：设曲线 在x=1处取极小值，(0,2)为其拐点试确定常数a,b,c的值
注意：前提是可导的，若不可导，需要另外讨论？
凹凸性如何判断，从图形分析问题。
， 由小变大 由大变小
小， 小 小， 大
单调上升 单调下降
>0 >0
2.曲线凹凸性的判别方法
定理4.7假设函数 在区间 内具有二阶导数，那么
（1）若 ，恒有 >0，则曲线 在区间 内是凹的；
（2）若 ，恒有 <0，则曲线 在区间 内是凸的；
实际问题的最值
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
例2：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解：设房租为每月 元，
租出去的房子有 套，
每月总收入为：
解：(0,2)为曲线拐点，则2=c；
，因为x=1处取极小值，则 ；
，因为(0,2)为拐点，则
则：a=0，b=-3，c=2
小结：
1）凹凸性的定义；
2）凹凸性的判定；
课外作业
教学后记
§4.6曲线的凹凸性及其拐点
1．曲线的凹凸性
凹 凸
光滑的，每一点作切线，凹的曲线每一点的切线总是在曲线的下方；凸的曲线每一点的切线总是在曲线的上方；
定义4.2设函数 在区间 内可导，若曲线 位于任一点处切线的上方，则称曲线 在区间 内是凹的，记为 ；
若曲线 位于任一点处切线的下方，则称曲线 在区间 内是凸的，记为 ；
求最值的步骤：
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;
例1：求函数 在区间 上的最大值，最小值；
当 时， =0，驻点为 ；
当 时， 不存在；
的大小可以得到：函数 在区间 上在 处取得最小值-5/2，在 与 处取得最大值0；
教学内容
第四章
§函数的最大值，最小值，函数的应用
§曲线的凹凸性及其拐点
预计学时
2
教学目的
最值得概念及求法；凹凸性的概念，凹凸性的判定；
教学重点
教学难点
教学方法
教学手段
教学方案
回忆函数单调性的判断
可导函数求极值的必要条件
函数极值的两个充分条件；
§函数的最大值，最小值，函数的应用
若函数 在闭区间 内连续，除个别点外处处可导，并且又有限个导数为0的点，则 在 上最大值，最小值存在；
注意：拐点处 =0或者 不存在；
例：求曲线 的凹凸区间与拐点；
令 =0，得 ，
则曲线在 ， 为凹的；
曲线在 为凸的；
为拐点；
例2：求曲线 的凹凸性及拐点；
解：求导数
当x=2时， 不存在（也可能是拐点）
则曲线在 为凸的；
曲线在 为凹的；
为拐点；
3．其他例题
例：设曲线 在x=1处取极小值，(0,2)为其拐点试确定常数a,b,c的值
注意：前提是可导的，若不可导，需要另外讨论？
凹凸性如何判断，从图形分析问题。
， 由小变大 由大变小
小， 小 小， 大
单调上升 单调下降
>0 >0
2.曲线凹凸性的判别方法
定理4.7假设函数 在区间 内具有二阶导数，那么
（1）若 ，恒有 >0，则曲线 在区间 内是凹的；
（2）若 ，恒有 <0，则曲线 在区间 内是凸的；
实际问题的最值
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
例2：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解：设房租为每月 元，
租出去的房子有 套，
每月总收入为：
解：(0,2)为曲线拐点，则2=c；
，因为x=1处取极小值，则 ；
，因为(0,2)为拐点，则
则：a=0，b=-3，c=2
小结：
1）凹凸性的定义；
2）凹凸性的判定；
课外作业
教学后记
§4.6曲线的凹凸性及其拐点
1．曲线的凹凸性
凹 凸
光滑的，每一点作切线，凹的曲线每一点的切线总是在曲线的下方；凸的曲线每一点的切线总是在曲线的上方；
定义4.2设函数 在区间 内可导，若曲线 位于任一点处切线的上方，则称曲线 在区间 内是凹的，记为 ；
若曲线 位于任一点处切线的下方，则称曲线 在区间 内是凸的，记为 ；
求最值的步骤：
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;
例1：求函数 在区间 上的最大值，最小值；
当 时， =0，驻点为 ；
当 时， 不存在；
的大小可以得到：函数 在区间 上在 处取得最小值-5/2，在 与 处取得最大值0；
教学内容
第四章
§函数的最大值，最小值，函数的应用
§曲线的凹凸性及其拐点
预计学时
2
教学目的
最值得概念及求法；凹凸性的概念，凹凸性的判定；
教学重点
教学难点
教学方法
教学手段
教学方案
回忆函数单调性的判断
可导函数求极值的必要条件
函数极值的两个充分条件；
§函数的最大值，最小值，函数的应用
若函数 在闭区间 内连续，除个别点外处处可导，并且又有限个导数为0的点，则 在 上最大值，最小值存在；