定积分学案

定积分
编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅
目标认知
学习目标：
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。

2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。

3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体
验定积分的价值.
教学重点：
正确计算定积分，利用定积分求面积。

教学难点：
定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。

学习策略：
①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。

②求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.
③求导运算与求原函数运算互为逆运算.
知识要点梳理
知识点一：定积分的概念
如果函数在区间上连续，用分点将
区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式
，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分与积分，区间叫做，函数叫做，
叫做，叫做.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
知识点二：定积分的几何意义
设函数在区间上连续.
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线
与轴围成的；
在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的；
在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，
而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；
在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的.
知识点三：定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
知识点四：微积分基本定理
微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:
如果在上连续，且，则。

其中叫做的一个原函数.
注意：
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函
数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
②由于也是的原函数，其中c为常数.
知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积：
2．如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积：
3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间
上，
在区间上）围成的图形的面积：
＝＋.
4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积：
知识点六：定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定
积分，即.
②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到
，那么变力所作的功.
规律方法指导
3．利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
（2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限；
（3）借助图形确定出被积函数；
（4）写出平面图形的定积分表达式；
（5）运用公式求出平面图形的面积.
经典例题精析
类型一：利用定积分的几何定义求定积分
1．说明定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。

解析：设，则，表示半径为2的个圆，
由定积分的概念可知，表示如图所示的以2为半径的圆的面积,
所以
总结升华：利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。

举一反三：
【变式1】由，，以及轴围成的图形的面积写成定积分是____________；
【答案】
【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）
（1）（2）
【答案】（1），（2）
【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。

（1）；（2）；
【答案】
（1）设，
则表示由直线，，以及轴围成的梯形的面积，该梯形面积为
∴。

（2）设，
则表示由直线，，以及轴围成的矩形的面积，
该矩形面积为,所以。

【变式4】利用定积分的几何定义求定积分：
（1）；（2）
【答案】
（1）设，则表示个圆，由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,
所以
（2）设，则表示如图的曲边形，其面积,
故.
类型二：运用微积分定理求定积分
2．运用微积分定理求定积分
（1），（2），（3）
思路点拨：根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解.
解析：
（1）∵，∴；
（2）∵，∴；
（3）∵，∴.
总结升华：求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得
的原函数。

通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。

有时需要将原式化简后再求解，有时不易找到原函数，此时可以用其他方法（如：定积分的几何定义）.
举一反三：
【变式1】计算下列定积分的值：
（1）；（2）；（3）.
【答案】
（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
（3）∵，
∴；
【变式2】计算下列定积分的值：
（1），（2），（3）
【答案】
（1）
（2）
（3）
类型三：运用积分的性质求定积分
3．求定积分：；
思路点拨：对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分，根据定积分对区间的可加性，对给定的积分区间适当分成几个积分区间，计算各个积分，最后求和，得出结果.
解析：＝＋
＝＋
＝
＝；
总结升华：对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质＝
＋进行化简.对于含绝对值的函数求积分，一般先把绝对值号去掉，写成分段函数，合理地确定积分区间，再进行积分.
举一反三：
【变式1】设是连续函数，若，，则
____________；
【答案】；
【变式2】已知函数，计算.
【答案】＝＋
＝＋
＝＋
＝.
举一反三：
【变式1】设是偶函数，若，则____________；
【答案】∵是偶函数，∴
【变式2】求定积分：
【答案】∵是偶函数，
∴
.
类型四：利用定积分求平面图形面积
5．求直线与抛物线所围成的图形面积.
思路点拨：画出简图，结合图形确定积分区间。

解析：如图，由得交点，，
所求面积：.
总结升华：求平面图形的面积体现了数形结合的思想，求图形的面积的一般步骤是：（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；
（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；
（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；
（5）计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三：
【变式1】求由曲线（），，围成的平面图形的面积.
【答案】如图，由（）和，得交点；
法一：所求面积为矩形面积减去由曲线（），
，，围成的平面图形的面积.
故所求面积为
法二：所求面积为。

【变式2】求由曲线围成的平面图形的面积.
【答案】由得；由得.
所求面积：
【变式3】求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【答案】解方程组得或
即交点.
由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，
便于进行积分计算。

过点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.
＝
＝
＝.
需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算。

但要注意积分上限、下限的确定.
若选为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
＝.。