一般二次曲线的化简与分类资料讲解

4.2.2 直角坐标变换下，二次曲线方程的系数变 换规律
（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates）
为了选择适当的坐标变换来化简二次曲线的方程，需要 了解在坐标变换下方程的系数是怎样变化的。
比较方程系数，得平移变换下曲线方程系数的变化规律： (1) 二次项系数不变； (2) 一次项系数变为F1(x0,y0), F2(x0,y0)； (3) 常数项变为F(x0,y0).
若取新坐标原点O (x0,y0)满足方程
❖ 则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点(x0,y0) 就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称为曲线的中 心。此时方程称为中心方程。
从前面的讨论可知，二次曲线化简的关键是如何消去方 程中的交叉项xy和一次项。化简一般二次曲线方程，首先要 判别二次曲线的类型，然后根据曲线的类型，采用不同的坐 标变换。 心 以型下二曲3次种线曲类；线型当的：I类2=型0时可,二以次用曲I2来线判是别非：中当心I型2≠曲0时线,二.又次可曲以线细是分中为
❖ 注：当I2≠0时,上一方程组就有唯一解,这时曲线称为中心型二 次曲线；当I2=0时,方程组就没有解或有无穷多解,这时曲线称 为非中心型二次曲线或无心型二次曲线。
例2 求二次曲线 x2xyy23x6y30的中心.
解 (x0,y0)是对称中心必须且只需满足中心方程,即
F1(x0
,
y0
)
x0
1 2
y0
(1) 椭圆型：I2>0， (2) 双曲型：I2<0， (3) 抛物型：I2=0。 注：二次曲线类型判别的严格证明，参看后文的利用不变量化 简曲线方程部分。
4.2.4 二次曲线的化简与作图
（Simplification and graphing of Quadratic curves）
根据坐标变换下方程系数的变化规律，对于中心型二 次曲线，可以先求出曲线的中心，通过移轴变换消去一次项， 然后再作转轴变换时，就不用整理一次项了。而对于非中心 型二次曲线，由于曲线没有中心，只能先作转轴变换。这就 是说，要根据曲线的类型，采用不同的化简方法。
(1) 二次项系数一般可变,但新系下方程的二次项系数仅与 旧系下方程的二次项系数及旋转角 θ有关,而与一次项系数及 常数项无关；
(2) 一次项系数一般也可变，但新系下方程的一次项系数 仅与旧系下方程的一次项系数及旋转角θ 有关，而与二次项 系数及常数项无关；
(3) 常数项不变。
根据公式的表达式，若选取θ角，使
a13 a23
a13
a23
a33
为二次曲线(4.2-1)的系数矩阵,或称F (x,y) 的矩阵
再引入几个记号：
例1 试求二次曲线 6 x y 8 y2 1x2 2y6 1 1 0的系数矩阵A,
F1(x,y), F2(x,y) , F3(x,y), I1 , I2, I3, 和K1. 解 由以上记号知,
2a12
也无意义,但这时方程中已经不含交叉项,就用不到转轴变换了.
例 利用转轴变换,消去二次曲线x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉项.
解 设旋转角为,由决定方程得
可取 , 故转轴公式为： 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
4.2.3 二次曲线的判别
（Quadratic curve discriminant）
由上节讨论，知道一般的坐标变换可以分解为移轴和 转轴两部分。因此，将分别考察移轴变换和转轴变换对方程 系数的影响。
1) 平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律
将平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲线方程，化简整理， 设曲线方程变为 F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
cot 2 a11 a22
2a12
上式中的 不是唯一的，为确定起见，一般规定0≤ ≤
需要说明的是,我们为什么不用
tan2θ
2a12 a11 a22
?
这是因为当
a11=a22
时,
该式没有意义,而
cot 2 a11 a22
2a12
0
完全可以决定旋转角θ= /4.当a12=0时,虽然
cot 2 a11 a22
1)中心型二次曲线(I2≠0)的化简与作图：
对于中心型二次曲线，采用“先移后转”，较为简便。 其具体步骤是： 1、解中心方程组，求出曲线的中心(x0,y0) ； 2、作平移变换，消去一次项；
3、利用旋转角公式，求出cos 、sin ；
4、作旋转变换，消去交叉项，得到曲线的标准方程； 5、将旋转变换代入平移变换，得到直角坐标变换公式； 6、作出新旧坐标系O-xy、O-xy和O-xy ，在新坐标系下 按照标准方程作出曲线的图形。
例 化简二次曲线方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并画出它的 图形。 解 因 I2＝5×2-22＝6≠0，所以曲线为中心型二次曲线。“先移
一般二次曲线的化简与分类
4.2.1 一些常用记号 （Notations）
为了以后讨论问题和书写的方便,引进下面的一些记号：
根据这些记号的含义,可验证下面的恒等式成立：
F(x,y)=Baidu NhomakorabeaxF1(x,y) + yF2(x,y) + F3(x,y)
称F (x,y) 的系数所组成的矩阵
a11 A a12
a12 a22
3 2
0,
F2
x0
,
y0
1 2
x0
y
0
3
0.
解得(x0,y0)=(0,3).
所以(0,3)是曲线的中心 .
2) 旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律
将旋转公式： x = xcos – ysin , y = xsin + ycos 代
入曲线方程，化简整理，曲线方程变为
F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比较方程系数，得旋转变换下曲线方程系数的变化规律:
则方程中没有交叉乘积项。
注：若要通过旋转变换消去交叉项，只须旋转角 满足：
a12=(a22-a11)cos sin +a12(cos2 -sin2)=0,
即
(a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0
从而得旋转角 满足
因为余切的值可以是任意实数，所以一定存在 满足上式。
这就是说，一定可以通过转角 消去交叉项。