实验二__连续时间信号的频域分析

2.2
k 1
其中 0
2 T1
，称为信号的基本频率（Fundamental
frequency）， a0，ak，和bk 分别是
信号 x(t) 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度， ck、 k 为合并同频率项之后各正
弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率 k0 的函数，绘制出它们与 k0 之间的图像，
以看得很清楚。
三、实验内容和要求
Q2-1 编写程序 Q2_1，绘制下面的信号的波形图：
x(t)
cos(0t)
1 3
c
os(30
t
)
1 5
c
os
(50t
)
n1
1 n
s in( n 2
) cos(n0t)
其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制 cos(0t)、cos(30t)、
（amplitude）为 ck 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以
合成一个任意的非正弦周期信号。
指数形式的傅里叶级数为：
x(t) ak e jk0t
2.3
k
其中， ak 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：
ak
1 T1
T1 / 2
x(t)e jk0t dt
执行程序 Q2_1 所得到的图形如下：
Q2-2 给程序 Program2_1 增加适当的语句，并以 Q2_2 存盘，使之能够计算例题 2-1 中的
周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
通过增加适当的语句修改 Program2_1 而成的程序 Q2_2 抄写如下：
% Program2_1
bn 0
通 过 计 算 得 到 的 x1(t) 的 傅 里 叶 级 数 的 系 数 的 数 学 表 达 式 是 ：
x1 1 4 [cos(t) 1 cos(t) 1 cos(t) ]
2 2
9
25
信号 x2(t) 在其主周期内的数学表达式为： x2
1 2
Sa（n )e jt
2
计 算 x2(t) 的 傅 里 叶 级 数 的 系 数 的 计 算 过 程 如 下 ：
cos(50t) 和 x(t) 的波形图，给图形加 title，网格线和 x 坐标标签，并且程序能够接受从键
盘输入的和式中的项数。
抄写程序 Q2_1 如下：
clear,%Clear all variables close all,%Close all figure windows dt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi;
实验二 连续时间信号的频域分析
一、实验目的
1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用 MATLAB 语言编写计算 CTFS、CTFT 和 DTFT 的仿真程序，并能利 用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证 CTFT、DTFT 的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方 法，掌握利用 MATLAB 编程完成相关的傅里叶变换的计算。
k N
显然，N 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号 x(t)。本实验可
以比较直观地了解傅里叶级数的物理意义，并观察到级数中各频率分量对波形的影响包括
“Gibbs”现象：即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为 9%的过冲，且所选谐波次数
越多，过冲点越向不连续点靠近。这一现象在观察周期矩形波信号和周期锯齿波信号时可
T1 / 2
2.4
指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号 x(t)，满足狄里克利条件，那
么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related）的周期
复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度
（complex amplitude）为 ak 。这里“复幅度（complex amplitude）”指的是 ak 通常是复
数。
上面的傅里叶级数的合成式说明，我们可以用无穷多个不同频率的周期复指数信号来
合成任意一个周期信号。然而，用计算机（或任何其它设备）合成一个周期信号，显然不
可能做到用无限多个谐波来合成，只能取这些有限个谐波分量来近似合成。
假设谐波项数为 N，则上面的和成式为：
N
x(t) ak e jk0t
2.5
x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t); N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N; x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; end subplot(221) plot(t,x1)%Plot x1 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(w0.*t)') subplot(222) plot(t,x2)%Plot x2 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(3*w0.*t))') subplot(223) plot(t,x3)%Plot x3 axis([-2 4 -2 2]) grid on, title('signal cos(5*w0.*t))')
二、实验原理及方法
1、连续时间周期信号的傅里叶级数 CTFS 分析
任何一个周期为 T1 的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级 数。
其中三角傅里叶级数为：
x(t) a0 [ak cos(k0t) bk sin(k0t)]
2.1
k 1
或： x(t) a0 ck cos(k0t k )
称为信号的频谱图（简称“频谱”）， ck － k0 图像为幅度谱， k － k0 图像为相位谱。
三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号 x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就
可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related）的正弦信号所组
成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度
end
phi = angle(ak);
% Evaluate the phase of ak
Leabharlann Baidusubplot(211)'
k = -10:10;
stem (k,abs(ak),'k');
axis([-10,10,0,0.6]);
grid on;
title('fudupu');
subplot(212); k = -10:10 stem(k,angle(ak),'k'); axis([-10,10,-2,2]); grid on; titie('xiangweipu'); xlabel('Frequency index x');
end
w0 = 2*pi/T;
N = 10;
% The number of the harmonic components
L = 2*N+1;
for k = -N: N;
% Evaluate the Fourier series coefficients ak
ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;
1、周期信号的傅里叶级数与 GIBBS 现象
给定如下两个周期信号：
x1 (t )
x2 (t)
1
t
2 1
12
1
Q2-4 分别手工计算 x1(t) 和 x2(t) 的傅里叶级数的系数。
信号 x1(t) 在其主周期内的数学表达式为：
2 0.2 0.2
t 2
x1(t)=t*(u(t+1)-u(t))-t*(u(t)-u(t-1));
N=2
通过观察我们了解到：如果一个周期信号在一个周期有内断点存在，那么，引入的误
差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为 9%的过冲（Overshot），这种现象
被称为吉伯斯现象（Gibbs phenomenon）。即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为 9%
的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。
计算 x1(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下：
t2
a 0
x1(t ) dt
t
t T
an 2 / T x1(t) c os(nw1t)dt
t
t T
bn 2 / T x1(t ) sin(nw1t )dt t
a0 1/2 a1 4/ 2
a2 4 9 2
a3 4 52 2
a4 4 62 2
clear, close all
T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;
x1 = u(t) - u(t-1-dt); x = 0;
for m = -1:1
% Periodically extend x1(t) to form a periodic signal
x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt);
Sa（n )e jt 2
Q2-5 仿照程序 Program2_1，编写程序 Q2_5，以计算 x1(t)的傅里叶级数的系数。
t 2
a 0
x 2 ( t ) dt ：
t
t T
an 2 / T x2(t) cos(nw2t)dt t
t T
bn 2 / T x2(t) sin(nw2t )dt t
通 过 计 算 得 到 的 x1(t) 的 傅 里 叶 级 数 的 系 数 的 数 学 表 达 式 是 ：
x2
1 2
执行程序 Q2_2 得到的图形
Q2-3 反复执行程序 Program2_2，每次执行该程序时，输入不同的 N 值，并观察所得到 的周期方波信号。 通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是： % Program2_3 % This program is used to compute the Fourier series coefficients ak of a periodic square wave clear,close all T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2; x1 = u(t)-u(t-1-dt); x = 0; for m = -1:1 x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt); % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal end w0 = 2*pi/T; N = input('Type in the number of the harmonic components N = :'); L = 2*N+1; for k = -N:1:N; ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end phi = angle(ak); y=0; for q = 1:L; % Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier series y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T); end; subplot(221), plot(t,x), title('The original signal x(t)'), axis([-2,2,-0.2,1.2]), subplot(223), plot(t,y), title('The synthesis signal y(t)'), axis([-2,2,-0.2,1.2]), xlabel('Time t'), subplot(222) k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.'), title('The amplitude |ak| of x(t)'), axis([-N,N,-0.1,0.6]) subplot(224) stem(k,phi,'r.'), title('The phase phi(k) of x(t)'), axis([-N,N,-2,2]), xlabel('Index k') N=1