高中数学学业质量标准的解读

高中数学学业质量标准的解读
一、学业质量标准
（一）三水平
三个水平：第一个水平就是高中毕业的水平，或者我们叫水平一，就是孩子们达到了这个水平，在某种意义上就能够达到高中毕业的要求，当然也是高中毕业的学业水平考试的一个依据。

水平二，是基于必修和选择性必修的内容达到的一个核心素养水平的要求，并且作为高考的依据，在核心素养方面的依据。

水平三，应该是依托于必修，限定必修和选修课程内容的基础上，提出来的一个数学核心素养的要求，特别是作为大学自主招生的一个依据。

但是这部分内容，比如数学的D类课程，可能学习这部分课程内容的同学属于艺术特长，或者体育特长，不一定对他们有水平三的要求。

对于水平三，
是希望在我们通常所说的理工科、部分的文科这些方面寻求发展的学生的一个高水平的要求。

在某种意义上，我们是上不封顶的一个要求。

比如，有些学生可以学习大学先修课程，甚至可以达到大学很高的水平。

这些都是核心素养水平三的一个基本表述。

这是第二个方面。

（二）核心素养四个表现
如何体现核心素养呢？我们不仅要从核心素养本身，它的内涵，它的学科价值，它的教育价值和目标，它的表现，还希望通过四个方面来体现数学核心素养的水平。

这四个方面是：情境与问题，知识与技能，思维与表达，交流与反思。

关于核心素养本身，在前面已经做了详细的解读，包括每一个核心素养的内涵，也包括每一个核心素养的数学价值，和每一个核心素养的数学教育价值，以及目标，还有每一个核心素养的表现。

学业质量标准，是希望能够把这些东西综合起来，构成一个水平。

在学业质量标准阐述的一个基本的指导思想，不是孤立的去说每一个核心素养的水平，而是希望站在数学教育的角度，把这样六个核心素养的水平一、水平二、水平三，做一个综合的表述，再结合课程内容的联系，通过案例，帮助我们的老师，帮助我们教材的编写者，帮助我们考试的命题者，能够提供一个支持和依据。

这是我们的一些基本的考虑。

关于学业质量标准，怎么样把核心素养和内容有机地结合起来，大概是有这么一个初步的考虑，首先我们是在水平一的时候，主要是依托于必修的内容，来阐述水平一的表现。

水平二，主要是依赖必修和限定必修的内容，来阐述水平二的表现。

我们在必修内容的学习过程中，已经达到了水平仪的要求。

但是在进一步的学习中，通过核心素养水平的提升，可以对于我们在必修所学习的内容，通过老师的教学和学生的自主学习，会有一个新的认识，达到水平二，这是我们老师需要注意的。

不严格的说，在我们限定必修课程的教学中，不仅仅需要重复必修课程的内容，还希望用一个更高的观点，站在一个更高的核心素养水平要求上，对于我们学过的东西进行提升、巩固。

所以我们所谓的螺旋上升，是在不断的前进、不断的高水平的基础上形成的。

比如，我们的运算能力，我们依托于必修的内容，我们掌握到一定的程度，对于所有学生来说，达到必修一就可以了。

在证明函数单调性的时候，至
少需要掌握对于线性函数单调性的证明，对于二次函数单调性的证明，对于反比例函数单调性的证明，等等。

水平三，我们可能需要站在一个更高的观点上，运用导数，不仅能够处理一次、二次、甚至处理三次函数，以及更高的一些次数函的一些变化问题，所以我们的计算本领就会有一个明显的提升。

这是高中毕业的一个基本要求，也是水平二需要达到的核心素养的说法，这件事情是在我们的教学中需要去认真的考虑。

我们再举个例子，比如对于直观想象素养的培养，
也是一样。

比如在必修的过程中，我们已经知道长方体是我们理解空间想象的一个重要的、最基本的图形。

在我们必修内容的学习中，它发挥了重要的作用。

依托长方体，我们可以很好的理解几何希望达到的目标，需要搞清楚基本图形之间的位置关系，特别是平行垂直的位置关系。

我们需要搞清楚，在必修中所达到的、所要求的度量关系，求距离、求角度、求面积、求体积，等等。

到了限定选修的学习过程中，需要对于我们学过的这些内容，做一次新的反思。

比如当我们学习了空间向量，我们就会去对比。

我们又学了解析几何，又学了立体几何初步，我们就会在学习的过程中，引导孩子们进行对比、进行类比，向量的方法，解析几何的方法，立体几何的方法，或者综合几何的方法，都是处理图形、位置关系和度量关系很重要的切入点。

那么，它们各自的特点是什么？在解决不同问题的过程中，他们各自发挥哪些重要的作用？什么是我们处理这些问题的通信通报？这些思考就能使得我们直观想
象的水平上到一个新的高度。

我们对于内容的把控，方法的理解，思想的感悟，都会达到一个新的水平，而我们的核心素养和关键能力都会得到提高。

这是我们在教学中需要认真思考的问题。

不仅是前面举到的这些，包括每一个核心素养，都会达到这样的要求。

比如数学建模，同样的在我们必修的学习中，碰到一个具体的、新的数学概念，就会养成一个习惯，就会问自己，这样的一个概念在实际中的背景是什么？这样一个概念在实际中还有哪些不同的背景？举个例子，比如学习一元二次函数，势必要问我们的生活中、其他学科中，哪样一些实际问题和其他学科的问题，是需要通过一元二次函数来揭示它的规律的呢？这会引起我们思考。

我们知道，自由落体运动的路程和时间的关系，是可以通过一元二次
函数去揭示的。

比如我们在推铅球的过程中，一元二次函数仍然是揭示这些背景的重要的数学工具。

所谓的斜坡运动，仍然是需要依托一元二次函数来揭示这样的运动规律。

到了限定必修的内容，就不只是一个一个地去理解它
们的背景，而是需要对这些背景有一个深入的思考，需要重新来认识物理中受到恒力作用的物体的运动，和数学的一元二次函数之间的关系。

我们掌握这些东西的本领就会得到提升。

那么，在必修中学到一个新的数学的结果，我们需要去考虑，这样的一个数学结果在实际中有哪些应用？我们到了限定必修学习的时候，势必要对我们提出更高的要求，我们不是一个定理一个定理的去寻求它的应用，而是希望在碰到具体问题的过程中，能够综合的应用我们所学到的知识，去思考我们需要解决的问题，去选择解决这个问题最重要的数学模型，来实现我们的目的。

这样，我们数学建模的水平就会升到一个新的高度。

还需要我们的学生能够自己在日常生活中、在其他学科的学习中，发现问题，提出问题，并建立数学模型，设计解决问题的思路，来描述这个问题，在这个基础上求出数学的解，并且研究我们的解和实际需求之间的联系。

如果满足不了实际的需求，我们
就需要调整模型，重新实现数学建模，学生解决实际问题的实践应用能力就会得到提升。

数学的内容就是这些。

但是我们运用这部分内容的本领，是随着我们素养的提升在不断的提升。

我想这是我们制定学业质量标准的一些基本思想。

希望的老师结合教的内容，结合我们对于核心素养的认识，能够把内容和核心素养有机的结合起来，这样才能提高我们教和学的效率，才能通过我们的命题，能更好地考察出我们学生应有的核心素养。

二、学业质量标准的三个水平
（一）水平一
水平一的情景与问题方面，标准中是这么阐述的，能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够用归纳或类比的方法发现数量或图形的性质、
数量关系，或图形关系，形成简单的数学命题，这是数学抽象的一个体现。

水平的制定有这么几个原则：
第一，核心素养是希望学生不仅仅停留在知识上，而是促进孩子们的发展，就是以人为本。

简单的说，学会知识是以知识为本，会学知识是以人为本，会学就意味着有好的思维品质。

所以这是我们制定的最基本的原则。

第二，我们有六个抓手，抽象、推理、模型、建模、直观、运算、数据分析，这六个是数学要围绕展开的东西。

第三，我们需要把这些东西和我们学习的内容有机地结合起来，否则就变成空中楼阁了，就变成了玩弄文字游戏。

那么怎么样把前面说的这些有机的结合起来呢？不妨沿用前面所讲的单调性。

在学习单调性必修课程中，希望孩子们能做到哪些东西呢？首先是他们的基础，或者说在这样一个学习的情境中如何来提高？前面已经分析了，孩子们能用自然的语言形象地刻画出函数的变化，孩子们能有图形的语言，结合图形来识别函数的变化，这是他进一步学习的基础。

前面也讲了，我们就会产生进一步的要求，或者说问题。

我们能不能用更准确的数学语言，把这样一个变化清楚、简洁地表述清楚。

于是就产生了我们现在所强调的用符号的语言来刻画单调性这样一个数学概念，让学生感悟到，一旦用符号语言描述清楚了这个问题，就会使我们对于图形语言的认识、自然语言的认识，有一个更深入的感觉，并且初步的形成了任何数学问题，需要学会能从图形语言、自然语言和符号语言对峙加以描述，才能更好的理解这样一个数学概念。

我想这是单调性的第一个重要的意义。

第一阶段，我们说这些东西的时候，离不开图，离不开实例，离不开抽象。

我们在表述的过程中，离不开推理，因为我们的抽象是合理的，而我们的合理性体现在归纳和演绎上，这样就使得学生对这些知识的认识和理解，提升了孩子们的抽象、推理、直观，并且把这三者有机的结合起来。

这是单调性教学的第一个阶段。

第二阶段，如何来判定，如何来证明一个函数是单调上升、单调下降。

这是学生不仅能够判断，而且能够证明一个很重要的能力。

而这个能力的核心是推理，而这种推理的具体体现是运算。

要帮助学生，首先要掌握证明一个函数是单调上升的基本思路是什么呢？就是在给定的范围里，比如说 B 区间A B ，或者X 轴的负无穷到正无穷，这是根据不同的具体问题。

我们知道，随着X 增长，可以选择这样确切的语言来反映无穷情况的东西，就是对于这个范围中的任意X1 ﹤X2 。

这样一句话告诉我们的是条件，就是我们进行推理的基础，而推理的基础是用一个不等关系体现出来的，是X1 ﹤X2 ，
它的等价说法是X2 - X 1 ﹥0 。

我们要结合具体的实例去理解，我们要证明什么？我们要证明FX1 和FX2 的关系，是不是始终是FX1 ﹤FX2 ，还是≦FX2 ，还是大于，还是≧。

我们要证明这件事情的基本思考，是运用我们以前学过的东西，我们需要证明FX2 - FX 1 ﹥0 。

我们的思路很简单，就变成通过X2 - X 1 ﹥0 ，能否再利用我们学过的知识去证明FX 2 ﹥FX 1 呢？这是我们解决单调性问题的一个基本思路。

我们不一定用很复杂的载体去理解这个思路，我们可以用线性函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，帮助学生形成这个思想。

同时，还有另外一件事情，如果函数值都是﹥0 ，就不仅可以通过FX2 - FX 1 ﹥0 ，还可以考虑用FX2 比上FX1 是不是﹥ 1 来刻画。

这些都是我们在初中学过的，运用不等关系来帮助我们识别数与数之间关系的最基本的手段。

我们通过简单的基本的问题，先帮助学生把证明函数单调性的基本思路要搞定。

这是水平一的基本要求。

所以，水平一不仅是掌握理解单调性的概念，而且需要理解怎么理解一个概念？我们不仅要掌握证明单调性的基本方法，还要体会运算推理在逻辑推理中的作用，还需要感悟基本的方法和基本的思路是什么？这件事情搞清楚，对于孩子们的抽象、直观、推理、运算，都是极为有帮助的。

我们还要感悟，当我们可以一类一类地处理问题，可以一般地去讨论Y = AX 2 + BX + C 的单调性。

可以讨论，Y = AX + B 的单调性。

用我们最通常的说法，通过分类讨论，可以做到这一点。

而这些都是我们一水平应该形成的一个思维习惯，而我们利用函数单调性的平台来促进孩子们这方面本领的提升。

因此，在我们的教学中不仅仅是知识，而是怎么驾驭这些知识，怎么思考问题。

第三个阶段，我们有了单调性的概念，我们有了处理判定单调性的基本思路，要对于我们需要学习的几个重要的函数进行深入的思考。

在必修中，这些重要的函数，或者说重要的函数类是指数函数、对数函数、三角函数。

我们会运用单调性的理解，会运用处理单调性的基本方法、基本思路，去
建立能够讨论一类函数变化、一类函数单调的能力，就使我们在初中学习的基础上上了一个大台阶，就是我们的出发点是一类一类函数，如何来揭示它的变化特点。

在这个过程中，我们要帮助孩子清楚，在揭示一类函数单调性的过程中，怎么样把一类函数搞清楚，逻辑是什么？直观是什么？留在脑子里的思维是什么？
比如，对于指数函数来说，Y = AX ，我们希望小孩能留住这样一些具体的图形，当A ﹥ 1 的时候，孩子们应该清楚，Y = 2X 2 ，Y = 3X 2 。

当X ﹤1 的时候，需要他知道，Y = 1/2AX 2 ，Y = 1/3X 2 ，以及它们之间的关系，进而搞清楚。

Y = 2X 2 和Y = 1/2X 2 之间的关系。

通过这个去理解，Y = AX 2 A 的变化，或者叫参变量的变化，在理解一类函数中的作用。

所有这些里头蕴含着我们的抽象、推理、模型、运算、直观，这样孩子在学习这些内容中，不仅得到的是知识，是技能，而且能够受到一个很好的思维训练，形成一个良好的思维品质。

（二）水平二
水平二是在水平一的基础上有所提升。

还是以单调性作为例子，首先需要孩子们明确这样一个问题，单调性在刻画函数变化中够用吗？它有什么缺陷呢？我们可以营造这样一个数学的情景。

Y = X ，Y = X 2 ，Y = 于X 3 2 。

我们知道，当X =1 的时候，函数值都一样。

当X ﹥1 的时候，Y = X ，Y = X 2 ，Y = X3 2 ，都是随着X 增长而增长的函数，都是严格
单调上升的函数。

但是我们清楚，他们的增长是不一样。

Y = X 2 ，要比Y = 于X 增长的快些。

Y = X3 2 要比Y = X 2 增长的快些。

我们就会思考
到单调性，只是定性地刻画了函数的变化，所以我们就产生了一个强烈的愿望，如何定量的更准确的去刻画函数的变化，于是我们就需要导数。

在X =1 的地方，Y = X 导数是 1 ，Y = X 2 的导数是 2 ，Y = X3 2 的导数是 3 ，123 分别刻画了X 在1 这一点函数变化的定量刻画。

这个刻画给我们带来什么好处呢？是我们在讲导数的时候，需要让学生清晰地感悟到的。

单调性的好处是整体地刻画了函数的变化，而我们导数的补充是局部的定量地刻画了函数的变化。

我们能不能把这两个好处都能够形成孩子们一个正确的认识，
是我们在教学中需要做在努力。

在这样一个过程中，我们需要看图，需要推理，需要运算，需要建立起不同模型之间的关系。

而这些就使得我们不仅留给学生知识，而且让学生在思维品质中得到提升。

（三）水平三
有了导数，对于刻画函数的变化是不是就够了呢？是否需要我们进一步挖掘对函数变化更深入的考虑呢？我们需要通过高阶导数，需要通过微分，需要通过泰勒公式，进一步帮助孩子们掌握更多的能揭示函数变化的知识和技能，使得我们对于函数的变化有一个更深入的了解，能解决更多的问题。

这些恰恰就是我们做核心素养水平制定所做的思考，希望我们的老师能够有一个更好的理解和认识，这样的教学能给孩子们留下更多的东西。

三、学业质量标准的四个方面
在关于核心素养的解读过程中，阐述了孩子们如何提高自己的核心素养水平，需要经历两个最主要的过程：第一个是学习的过程；第二个是运用我们学习的知识，在实践的过程中，不断的发现、提出问题，不断地分析、解决问题的过程。

这样两个过程，是我们提升核心素养最重要的过程，因为我们的孩子毕竟还是处于学习阶段。

无论是在学习的过程中，和运用我们学习的知识解决问题的过程中，都会碰到这样四个方面的问题：
（一）情境问题
无论学习哪一个新的知识，总是在一定的情境下产生这样一个新的知识。

举个例子，还是我们上次说的单调性，单调性的学习，实际上是从小学就开始了。

小学生们都能很容易地表述，当速度一定的时候，所用的时间越多，我们走的路程就越长。

当我们口袋里的钱数一定，我们想要多买东西，就要选择便宜的产品。

他们通过这样一些非常具体的实例，来认识什么是单调上升，什么是单调下降的概念。

到了初中，我们又为他们提高了认识，引入了变量的概念，帮助孩子们去理解在我们的生活中，碰到的各种问题的过程中，存在着这样的量，它可以取不同的数值，存在着这样相关的量。

当一个量发生变化的时候，会引起另一个量的变化。

我们就帮助学生营造了一个理解这些东西的情境。

比如，我们会发现速度一定，路程和时间的关系；价格一定，总价和数量的关系，都是随着数量的增长、时间的增长，我们付出的钱、走过的路程在增长。

于是，我们抽象出了一个在数学中非常重要的所谓正比例函数，并且把所有这样有特点的函数，用正比例函数这样一个模型清晰的刻画出来。

在此基础上，我们又拓展成为线性函数、反比例函数、二次函数。

我们对这样一些函数的变化，提供了一个深入的思考。

所有这些都是我们理解在高中要学习的单调性的基础，也是学习单调性，用抽象的符号语言，刻画单调性的情境。

因为有这样的情景，才
能使我们更好的、更自然的、更顺畅地帮助学生建立用符号语言来刻画这样函数的变化，形成了一个函数变化的符号语言的描述。

而在解决实际问题的过程中，情景更是重要。

当我们走进超市、走进机场、走进商店、上网，我们都会去思考，我们将碰到哪些量？哪些量是取固定值的量？哪些量是可以取其他数值的量，帮我们建立常量与变量的概念，帮助我们认识常量变量的概念。

我们还需要发现哪些量与质量之间保持什么样的关系，等量关系，不等量关系，函数关系？我们需要用数学语言把这样一些关系确切的表达出来。

所有这样的一些活动，学习活动、应用活动，都是在情境中完成的。

那么在情境中，问题就变成了核心。

我们需要在原来的基础上，提升什么？搞清楚什么？就单调性的概念来说，我们知道随着X 的增长Y 在增长，我们觉得这样已经描述了函数的变化，我们势必就要问这样的问题：随着X 的增长这句话如何来刻画呢，如何定量的来刻画呢？我们就可以选用这样的语言，对于这个范围里的任意X1 ﹤X2 ，它就表现出在这个范围里，随着X 的增长，Y 会发生什么样的变化？于是，我们说当FX1 和FX2 之间有什么关系？如果FX1 ﹤FX2 ，我们就说随着X 增长Y 在增长，因为这样的X1 和X2 ，在给定的范围里是任意取的，就使得我们能够得到一个更准确的符号的描述。

而这种描述就会使得我们对于所谓函数的变化、单调性的概念，有一个更好的认识。

与此同时，我们就能够把图形的语言，自然的语言，符号的语言，有机的结合起来。

情境，包括数学的情节，科学的情景，现实的情景。

我们的问题，我想是在情境中存在的数学的问题，而这个数学的问题是经过对实际问题的提炼形成的问题。

（二）知识与技能
关于知识与技能，我想大家都非常清楚，我们总希望多掌握一些知识，多掌握一些办法，这样也许我们能解决的问题就会更多一些。

核心素养的提升是离不开知识、离不开技能的，是以知识和技能作为重要的载体。

当核心素养形成，也许知识并不一定记忆得非常牢靠。

（三）思维与表达。

数学的核心素养所强调的是我们的核心素养是思维品质和关键能力。

所以思维对于我们学习数学来说，是极为重要的。

我想用一个最简单的例子和老师来讨论，有时候我们做对了一个题目，完全正确。

但是如果你愿意试一下，你可以让学生把他做对的题目讲一下，你就会发现，很多时候孩子们并没有真正的懂得解决这个问题的思路，没有真正的抓住解决这个问题的关键步骤，也不能很好地表述解决这个问题所需要的、所依托的思想和方法。

也就是说，他的思维还没有达到我们希望达到的一个水平。

因为我们都知道，通过记忆，通过模仿，我们都可以做对题目，但是记忆和模仿虽然对于数学的学习都是很重要的，但是我相信大家一定承认，这不是最重要的，而最重要的东西恰恰是思维品质，恰恰是合理的思维品质的一个应用、理解，所以思维是我们非常需要强调的。

而思维品质的达成，常常不是外显的东西，是需要我们老师去帮助学生、去识别学生，在认知过程中，还存在需要改进的方面。

这个时候，我们就需要看学生的表达。

有时候我们看题目，不仅是看它对还是不对，而是看他表达的清楚不清楚。

这个表达，包括书面表达，更包括口头表达。

希望老师重视学生的口头表达，在课堂教学中，常常要跟学生互动，互动的目的是考察、是思考学生理解的程度、学生的问题所在。

思维与表达对于学生核心素养的提升是非常重要的。

有时候一说你就会发现他的问题所在，尤其是现。