直线方程几种形式的选择

例谈直线方程几种形式的选择

在求直线方程时，最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）中的哪一种好呢，则要根据题设和结论的关系进行选择。本文准备通过事例来说明。

1。已知斜率时，可设斜截式

例1求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程。 解：设直线L 的方程为b x y +=

4

3

令x=0得y=b ；令y=0得b x 34-=。

∴|b|+12||||3534=+-b b ，∴b=±4,∴直线L 的方程为44

3

±=

x y 。

点评：在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b 表示直线在y 轴上的截距。

2。已知直线过一点时，可设点斜式 例2直线L 过点P （2，3），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点。当|PA|•|PB|最小时，求直线L 的方程。

思路1：引进斜率，设L 方程为y-3=k(x-2) (k<0)，则A )0,2(3

k -，B （0,3-2k ）。因此

|PA|•|PB|=12)44)(9(2

92≥++k k ，所以当k= -1时|PA|•|PB|取最小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。

思路2：设L 倾斜角为α（α为钝角），将其补角记为θ（θ为锐角）。则|PA|=θsin 3

，|PB|=θcos 2

，∴|PA|•|PB|=122sin 12

cos sin 6≥=

θ

θθ，因此当θ=450，即斜率k= -1时|PA|•|PB|取最

小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。

点评：设了点斜式后，常常需要求出直线在x 轴和y 轴上的截距，然后解题。 3。与截距相关问题，可设截距式 例3直线L 过点P （4，3），且在x 轴、y 轴上的截距之比为1：2，求直线L 的方程。

解：设直线L 方程为：12=+a

y a

x

，

将点P （4，3）代入直线方程得，2

11=

a ，

∴直线L 的方程为：2x+y-11=0。

点评：截距式与直线在x 轴和y 轴上的截距相关，结合不等式知识解题。像上面的例2也可以考虑利用设直线的截距式来解，请大家试试看。

4。适时应用“两点确定一条直线”

例4若2x 1-3y 1=4,2x 2-3y 2=4,则经过两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的直线方程为_____________。 分析：由条件知，点A 、B 都在直线2x-3y=4上，而两点确定一条直线，故可得直线AB 的方程即为2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。

例5过点M （0，1）作直线L ，使它被两条已知直线L 1：x-3y+10=0和L 2:2x+y-8=0所截

得的线段AB 被点M 平分。求直线L 的方程。

解：设点A （a,b ）在L 1上，由题设知，点B （-a,2-b ）必在L 2上，

∴⎩⎨

⎧=--+-=+-08)2(20103b a b a ∴⎩⎨⎧=-=2

4

b a 即A （-4，2）、B （4，0）

根据两点式可得，直线AB 方程为：x+4y-4=0。

点评：以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。 5。用直线方程几种形式，应注意弥补其缺陷

例6过点（3，-2）且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条？

错解：设直线截距式方程为：1=+a

y

a

x ，将（3，-2）代入得a=1，

∴直线方程为：x+y-1=0。

剖析：以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0，因而出现了少解。事实上，当直线过原点时，其在两轴上截距均为0，也相等，这时设直线方程为y=kx ，易得23-=k ，此时直线方程是3x+2y=0 。因此共有两条直线符合要求。

例7经过点P （1，2）作直线L ，使它到点A （-1，-1）的距离为2。求L 的方程。 错解：设L 的方程为y-2=k(x-1)，即 kx-y+(2-k)=0

利用点到直线距离公式解得k=125

，故L 的方程为5x-12y+19=0。

剖析：由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢？原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用，还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件：到A 点的距离为2。因此L 的方程有两解：5x-12y+19=0和x=1。

点评：在直线方程的几种形式中，点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用，截 距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用，两点式表示的直线必须不与坐标轴 平行。