第七章 统计质量控制的基本原理和常用工具
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解： 9件样品中不合格品的件数为超几何分布随机变量
C C P( X d ) 9 C40
d 12
9 d 28
(d=0,1,2,….,9)
12 该批产品总体不合格品率 p 40 0.3，合格品率 q 1 p 0.7 所以，抽取的9件样品中合格品的件数平均值（即数学期望）：
40 9 N n ) 1.50 方差 D( X ) npq 9 0.3 0.7 ( 40 1 N 1
DX 2 将标准正态分布的密度函数记为 (x) ，分布函数记为 (x)
x 1 1 ( x) e , ( x) e dt 2 2 标准正态分布的密度函数值和分布函数值有表可查。 对于一般的正态分布，可先将其转化为标准正态分布。
EX ,
即
x2 2
EX np DX np(1 p)
二项分布随机变量源于n重贝奴利试验或源于
某有限总体的n次还原抽样，适用于计件型质 量特性值的控制和检验问题； 二项分布是一种简单又非常重要的分布。 “简单”——因为它描述的结果只有“非此即 彼” （合格或不合格、成功或失败）； “重要”——因为这种模型在产品抽样检验中 用 得最多； 贝奴利试验：将试验E独立地重复进行n次， 如果每次都只有两种可能的结果A和Ā，且 P（A）=p，P（ Ā ）=1-p=q（0<p<1），
2. 系统性波动——由少量的、但较显著的可控因 素的作用而引起，这种波动不具有随机性。 其特点： （1）系统性波动也称为异常波动。 （2）系统性波动在未查明原因、采取纠正措施 前始终具有系统性，往往导致生产过程的 失控，对工序质量的影响十分显著，甚至 是破坏性的。 （3）系统性波动虽然常由突发性因素引起，但 在现有生产技术条件下一般易于识别和消 除。 工序质量控制的任务是及时发现异常波动，查明 原因，采取有效的技术组织措施消除系统性波 动，使生产过程重新回到受控状态。
(四) 几种离散型概率分布之间的关系 当 n 0.1(样本容量相对总体较小)，或当 N D p 0.1 (总体不合格品率较低)时， N 超几何分布可以用二项分布来近似。
及 p 0.1 时， 超几何分布可以用泊松分布来近似。 当n较大（如 n 100 ），p较小（如 p 0.1 ）， 同时 np 4时，二项分布可以用泊松分布来近似。 有关研究表明，当样本中不合格品数平均值 np 5 时，泊松分布以正态分布为极限分布。
0.35k e 0.35 P( X k ) k!
所以，所求各事件的概率依次为：
k 0,1,2,
P( A) P( X 0) e0.35 0.7047 P( B) P( X 1) 0.35e
0.35
0.2466
P(C ) P( X 1) P( X 0) P( X 1) 0.9513
偶然性和系统性、正常和异常之间的关系是相对而
言的： 1. 对微小的、不可控的随机性因素缺少有效的控 制，常会累积成或诱发出系统性因素，导致异 常波动，使生产过程失控。 2. 由于技术和管理的进步，使原来难以识别和消 除的正常波动变得可以识别并消除。这时，原 来的正常波动在新的生产技术条件下将被转化 为异常波动。 为了不断提高生产过程质量控制的水平，在有效控制 正常波动，及时消除异常波动的基础上，应当通过质 量改进，使一些不可控随机性因素逐渐成为可控的系 统性因素，不断推进质量管理的水平。
在工序质量控制中，由于产品及工艺的不同，工序质
量取决于： 1. 有时是产品质量特性。如尺寸、重量、精度、 纯度、强度、额定电流或电压等； 2. 有时是工艺质量特性。如生产装置的温度、压 力、浓度、时间等； 3. 有时也可表现为物耗或效率等。 因此，工序质量波动的具体表现就是生产过程中这 些质量特性的波动。
统计质量控制——就是对生产过程中工序质量特性值
总体进行随机抽样，通过所得样本对总体作出统计推 断，采取相应对策，保持或恢复工序质量的受控状态。 在统计质量控制中，工序质量特性值的观测数据是工 序质量的表现，不仅反映了工序质量的波动性，也反 映了这种波动的规律性。 根据质量特性值的属性，质量数据可分成： 1.计数值（计件值、计点值）——离散型； 2.计量值 ——————连续型； 在统计质量控制（SPC）中常见的： 离散型随机变量：超几何分布、二项分布、泊松分布； 连续型随机变量：正态分布；
生产制造质量是产品设计、工艺选择、计划调度、
人员培训、工装设备、物资供应、计量检验、安全 文明、人际关系、劳动纪律等工作在生产现场的综 合反映，工序质量是诸多因素的综合作用。 常将影响工序质量的因素归纳为“5M1E‖，即： 1. 操作者（man）； 2. 机器设备（machine）； 3. 材料（material）； 4. 工艺方法（method）； 5. 测试手段（measure）； 6. 环境条件（environment）。 工序质量控制常表现为对“5M1E‖这六大因素的控制。
E( X ) np
D( X ) npq (
N n ) N 1
其中，
p
D N
为总体不合格品率，
为总体合格品率。
N D q 1 p N
超几何分布随机变量源于有限总体和不放回抽样 模型，适用于计件型质量特性值的控制和检验问 题。
例1 某批产品共40件，其中不合格品有12件。现从中 任意取9件，以X表示其中不合格品的件数。求X 的概率分布及其数字特征。
标准差
E( X ) np 9 0.3 2.7
DX 1.23
(二) 二项分布（binomial probability distribution）
设无限总体不合格品率为p（合格品率q＝1－p）。 对其作随机抽样，样本容量为n。样本中不合格品 数X为一离散型随机变量，服从二项分布，其恰为d 的概率： d P( X d ) Cn p d (1 p) nd 其中，d＝0,1,2,…,n。 它的数学期望和方差分别为
第七章
统计质量控制的 基本原理和常用工具
第一节 统计质量控制的基本原理 第二节 统计过程控制的常用工具
学习目标
1．认识统计质量控制的基本原理； 2．熟悉统计质量控制中常用的几个随机变量的 定义、特点、计算和相互关系； 3．了解统计过程控制中常用的几种工具的概念 和使用方法。
第一节 统计质量控制的基本原理
P( X d ) C d (0.2)d (0.8)20d 20
d 0,1,2,,20
（三） 泊松分布（Poisson distribution）
设离散型随机变量X服从泊松分布，则其取值k 的概率：
P( X k )
k e k!
k 0,1Leabharlann Baidu2,
其中：n为样本容量，p为不合格率（或缺陷率等）。 np 是样本中不合格品的平均数（或缺陷 等的平均数）。 泊松分布随机变量X的数学期望和方差分别为：
t2 2
例5 已知 X ~ N (, 2 ) , 求 P(|
X
X P(| |k ) P( k X k ) 解：
|k ) ，其中 k 1,2,3,4,5,6
( k ) ( k ) (k ) [1 (k )] 2(k ) 1 所以，所求概率依次为： X P(| | 1) 2(1) 1 0.6826 X P(| | 2) 2 (2) 1 0.9544 X P(| | 3) 2 (3) 1 0.9973 X P(| | 4) 2(4) 1 0.99994
质量特性值的波动具有统计规律性。 所谓统计规律，是指对于随机现象应用分布
（distribution）来进行描述，从分布中可以知道波动 的范围，以及出现大波动的可能性（概率， probability）有多大； 在受控状态下的大量观测结果必然呈现某种统计意 义上的规律性。这种统计规律性是统计质量控制的 必要前提和客观基础。
当样本容量n较大，且
n 0 .1 N
(五) 正态分布（normal
f ( x) 1 2
distribution） 设连续型随机变量X的概率密度为
( x )2 2 2
e
x
其中 , 0为常数，则称X服从参数为 ， 的正态分布， 2 记为 X ~ N (, ) 若X～N(0,1)，则称X为标准正态分布随机变量。 正态分布随机变量X的数学期望和方差分别为：
设有限总体由N个产品组成，其中有D个不合格品。 对该总体作不放回随机抽样，样本容量为n。样本 中不合格品数X为一离散型随机变量，服从超几何 分布,其恰为d的概率：
C C P( X d ) C
d D
nd N D n N
容易知道，d＝0，1，2，…，min(n，D)。
数学期望和方差分别为：
例2 某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合 格品。已知某一大批该产品的合格品率为0.2。 现从中随机地抽查20只，求20只元件中恰有d只 为合格品的概率。 解 ： 本例属破坏性检验，当然是不放回抽样。但由 于该批元件总数很大，抽样数量又很少，对总体 的影响是微不足道的，故可作为无限总体放回抽 样处理且实验的结果就是合格或不合格两种。因 此，抽查的20只元件中的合格品数X可看作是二 项分布随机变量，其恰为d的概率：
一、质量波动及其统计规律
质量差异是生产制造过程的固有本性，质量的波动具
有客观必然性； 从引起质量波动的原因来看，质量波动可分为： 偶然性波动和系统性波动两类。 1. 偶然性波动——大量的、微小的不可控因素的作 用而引起，这种波动具有随机性。 其特点：偶然性波动对工序质量的影响比较小， 在现有生产技术条件下也难以识别和消除。 因此，偶然性波动也称为正常波动。工序质量控 制的任务是使正常波动维持在适度的范围内。
例3 设临床统计资料表明，服用某药剂产生副作用的 概率为0.002。求在1000例服用该药物的病人中， 恰有k例出现副作用的概率。 解 ：因为样本容量n＝1000， 副作用发生率p＝0.002， 所以，1000例中发生副作用的病人数的数学期 望： np2 。 因此，1000例服用此药的病人中发生副作用的 人数X服从如下的泊松分布：
P( X k )
k e2 2 k!
k 0,1,2,
例4 某织物每百平方米平均有7个疵点。现抽检了5平方米这种织 物，试求下列事件的概率：A={无疵点}，B={恰好有一个疵 点}, C={最多有一个疵点}。 解 ：因为该种织物每平方米平均有7个疵点，故在5平方米该种织 物上平均应有=np=5x7/100=0.35个疵点。这就是说，5平 方米该种织物上的疵点数X服从参数的泊松分布，即
E( X ) np
D( X ) np
泊松分布是应用最广泛的随机变量之一。常常
用来描绘稀有事件计数资料的统计规律。如： 纺纱机上的断头数、布匹上的疵点数、产品 表面上的缺陷数等； 泊松分布随机变量在计点值型质量特性值的控 制和检验中有重要应用； 理论上泊松分布有可数无限个可能取值，但随 着k值的增大，P（X=k）迅速变小，因此，实 际上真正有意义的是为数有限（稀有）的较小 的几个k值；
*对于连续型计量特征值，如长度、重量、时间、强
度、纯度等，最常用的是正态分布；
*对于测量结果只有合格与不合格的离散型计件特征
值，最常用的是二项分布； *对于离散型的计点特征值，如铸件上的沙眼数、布 上的疵点数等数据，最常用的是泊松分布；
二、几个常用的随机变量（服从的分布）
（一）超几何分布（hypergeometric distribution）
C C P( X d ) 9 C40
d 12
9 d 28
(d=0,1,2,….,9)
12 该批产品总体不合格品率 p 40 0.3，合格品率 q 1 p 0.7 所以，抽取的9件样品中合格品的件数平均值（即数学期望）：
40 9 N n ) 1.50 方差 D( X ) npq 9 0.3 0.7 ( 40 1 N 1
DX 2 将标准正态分布的密度函数记为 (x) ，分布函数记为 (x)
x 1 1 ( x) e , ( x) e dt 2 2 标准正态分布的密度函数值和分布函数值有表可查。 对于一般的正态分布，可先将其转化为标准正态分布。
EX ,
即
x2 2
EX np DX np(1 p)
二项分布随机变量源于n重贝奴利试验或源于
某有限总体的n次还原抽样，适用于计件型质 量特性值的控制和检验问题； 二项分布是一种简单又非常重要的分布。 “简单”——因为它描述的结果只有“非此即 彼” （合格或不合格、成功或失败）； “重要”——因为这种模型在产品抽样检验中 用 得最多； 贝奴利试验：将试验E独立地重复进行n次， 如果每次都只有两种可能的结果A和Ā，且 P（A）=p，P（ Ā ）=1-p=q（0<p<1），
2. 系统性波动——由少量的、但较显著的可控因 素的作用而引起，这种波动不具有随机性。 其特点： （1）系统性波动也称为异常波动。 （2）系统性波动在未查明原因、采取纠正措施 前始终具有系统性，往往导致生产过程的 失控，对工序质量的影响十分显著，甚至 是破坏性的。 （3）系统性波动虽然常由突发性因素引起，但 在现有生产技术条件下一般易于识别和消 除。 工序质量控制的任务是及时发现异常波动，查明 原因，采取有效的技术组织措施消除系统性波 动，使生产过程重新回到受控状态。
(四) 几种离散型概率分布之间的关系 当 n 0.1(样本容量相对总体较小)，或当 N D p 0.1 (总体不合格品率较低)时， N 超几何分布可以用二项分布来近似。
及 p 0.1 时， 超几何分布可以用泊松分布来近似。 当n较大（如 n 100 ），p较小（如 p 0.1 ）， 同时 np 4时，二项分布可以用泊松分布来近似。 有关研究表明，当样本中不合格品数平均值 np 5 时，泊松分布以正态分布为极限分布。
0.35k e 0.35 P( X k ) k!
所以，所求各事件的概率依次为：
k 0,1,2,
P( A) P( X 0) e0.35 0.7047 P( B) P( X 1) 0.35e
0.35
0.2466
P(C ) P( X 1) P( X 0) P( X 1) 0.9513
偶然性和系统性、正常和异常之间的关系是相对而
言的： 1. 对微小的、不可控的随机性因素缺少有效的控 制，常会累积成或诱发出系统性因素，导致异 常波动，使生产过程失控。 2. 由于技术和管理的进步，使原来难以识别和消 除的正常波动变得可以识别并消除。这时，原 来的正常波动在新的生产技术条件下将被转化 为异常波动。 为了不断提高生产过程质量控制的水平，在有效控制 正常波动，及时消除异常波动的基础上，应当通过质 量改进，使一些不可控随机性因素逐渐成为可控的系 统性因素，不断推进质量管理的水平。
在工序质量控制中，由于产品及工艺的不同，工序质
量取决于： 1. 有时是产品质量特性。如尺寸、重量、精度、 纯度、强度、额定电流或电压等； 2. 有时是工艺质量特性。如生产装置的温度、压 力、浓度、时间等； 3. 有时也可表现为物耗或效率等。 因此，工序质量波动的具体表现就是生产过程中这 些质量特性的波动。
统计质量控制——就是对生产过程中工序质量特性值
总体进行随机抽样，通过所得样本对总体作出统计推 断，采取相应对策，保持或恢复工序质量的受控状态。 在统计质量控制中，工序质量特性值的观测数据是工 序质量的表现，不仅反映了工序质量的波动性，也反 映了这种波动的规律性。 根据质量特性值的属性，质量数据可分成： 1.计数值（计件值、计点值）——离散型； 2.计量值 ——————连续型； 在统计质量控制（SPC）中常见的： 离散型随机变量：超几何分布、二项分布、泊松分布； 连续型随机变量：正态分布；
生产制造质量是产品设计、工艺选择、计划调度、
人员培训、工装设备、物资供应、计量检验、安全 文明、人际关系、劳动纪律等工作在生产现场的综 合反映，工序质量是诸多因素的综合作用。 常将影响工序质量的因素归纳为“5M1E‖，即： 1. 操作者（man）； 2. 机器设备（machine）； 3. 材料（material）； 4. 工艺方法（method）； 5. 测试手段（measure）； 6. 环境条件（environment）。 工序质量控制常表现为对“5M1E‖这六大因素的控制。
E( X ) np
D( X ) npq (
N n ) N 1
其中，
p
D N
为总体不合格品率，
为总体合格品率。
N D q 1 p N
超几何分布随机变量源于有限总体和不放回抽样 模型，适用于计件型质量特性值的控制和检验问 题。
例1 某批产品共40件，其中不合格品有12件。现从中 任意取9件，以X表示其中不合格品的件数。求X 的概率分布及其数字特征。
标准差
E( X ) np 9 0.3 2.7
DX 1.23
(二) 二项分布（binomial probability distribution）
设无限总体不合格品率为p（合格品率q＝1－p）。 对其作随机抽样，样本容量为n。样本中不合格品 数X为一离散型随机变量，服从二项分布，其恰为d 的概率： d P( X d ) Cn p d (1 p) nd 其中，d＝0,1,2,…,n。 它的数学期望和方差分别为
第七章
统计质量控制的 基本原理和常用工具
第一节 统计质量控制的基本原理 第二节 统计过程控制的常用工具
学习目标
1．认识统计质量控制的基本原理； 2．熟悉统计质量控制中常用的几个随机变量的 定义、特点、计算和相互关系； 3．了解统计过程控制中常用的几种工具的概念 和使用方法。
第一节 统计质量控制的基本原理
P( X d ) C d (0.2)d (0.8)20d 20
d 0,1,2,,20
（三） 泊松分布（Poisson distribution）
设离散型随机变量X服从泊松分布，则其取值k 的概率：
P( X k )
k e k!
k 0,1Leabharlann Baidu2,
其中：n为样本容量，p为不合格率（或缺陷率等）。 np 是样本中不合格品的平均数（或缺陷 等的平均数）。 泊松分布随机变量X的数学期望和方差分别为：
t2 2
例5 已知 X ~ N (, 2 ) , 求 P(|
X
X P(| |k ) P( k X k ) 解：
|k ) ，其中 k 1,2,3,4,5,6
( k ) ( k ) (k ) [1 (k )] 2(k ) 1 所以，所求概率依次为： X P(| | 1) 2(1) 1 0.6826 X P(| | 2) 2 (2) 1 0.9544 X P(| | 3) 2 (3) 1 0.9973 X P(| | 4) 2(4) 1 0.99994
质量特性值的波动具有统计规律性。 所谓统计规律，是指对于随机现象应用分布
（distribution）来进行描述，从分布中可以知道波动 的范围，以及出现大波动的可能性（概率， probability）有多大； 在受控状态下的大量观测结果必然呈现某种统计意 义上的规律性。这种统计规律性是统计质量控制的 必要前提和客观基础。
当样本容量n较大，且
n 0 .1 N
(五) 正态分布（normal
f ( x) 1 2
distribution） 设连续型随机变量X的概率密度为
( x )2 2 2
e
x
其中 , 0为常数，则称X服从参数为 ， 的正态分布， 2 记为 X ~ N (, ) 若X～N(0,1)，则称X为标准正态分布随机变量。 正态分布随机变量X的数学期望和方差分别为：
设有限总体由N个产品组成，其中有D个不合格品。 对该总体作不放回随机抽样，样本容量为n。样本 中不合格品数X为一离散型随机变量，服从超几何 分布,其恰为d的概率：
C C P( X d ) C
d D
nd N D n N
容易知道，d＝0，1，2，…，min(n，D)。
数学期望和方差分别为：
例2 某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合 格品。已知某一大批该产品的合格品率为0.2。 现从中随机地抽查20只，求20只元件中恰有d只 为合格品的概率。 解 ： 本例属破坏性检验，当然是不放回抽样。但由 于该批元件总数很大，抽样数量又很少，对总体 的影响是微不足道的，故可作为无限总体放回抽 样处理且实验的结果就是合格或不合格两种。因 此，抽查的20只元件中的合格品数X可看作是二 项分布随机变量，其恰为d的概率：
一、质量波动及其统计规律
质量差异是生产制造过程的固有本性，质量的波动具
有客观必然性； 从引起质量波动的原因来看，质量波动可分为： 偶然性波动和系统性波动两类。 1. 偶然性波动——大量的、微小的不可控因素的作 用而引起，这种波动具有随机性。 其特点：偶然性波动对工序质量的影响比较小， 在现有生产技术条件下也难以识别和消除。 因此，偶然性波动也称为正常波动。工序质量控 制的任务是使正常波动维持在适度的范围内。
例3 设临床统计资料表明，服用某药剂产生副作用的 概率为0.002。求在1000例服用该药物的病人中， 恰有k例出现副作用的概率。 解 ：因为样本容量n＝1000， 副作用发生率p＝0.002， 所以，1000例中发生副作用的病人数的数学期 望： np2 。 因此，1000例服用此药的病人中发生副作用的 人数X服从如下的泊松分布：
P( X k )
k e2 2 k!
k 0,1,2,
例4 某织物每百平方米平均有7个疵点。现抽检了5平方米这种织 物，试求下列事件的概率：A={无疵点}，B={恰好有一个疵 点}, C={最多有一个疵点}。 解 ：因为该种织物每平方米平均有7个疵点，故在5平方米该种织 物上平均应有=np=5x7/100=0.35个疵点。这就是说，5平 方米该种织物上的疵点数X服从参数的泊松分布，即
E( X ) np
D( X ) np
泊松分布是应用最广泛的随机变量之一。常常
用来描绘稀有事件计数资料的统计规律。如： 纺纱机上的断头数、布匹上的疵点数、产品 表面上的缺陷数等； 泊松分布随机变量在计点值型质量特性值的控 制和检验中有重要应用； 理论上泊松分布有可数无限个可能取值，但随 着k值的增大，P（X=k）迅速变小，因此，实 际上真正有意义的是为数有限（稀有）的较小 的几个k值；
*对于连续型计量特征值，如长度、重量、时间、强
度、纯度等，最常用的是正态分布；
*对于测量结果只有合格与不合格的离散型计件特征
值，最常用的是二项分布； *对于离散型的计点特征值，如铸件上的沙眼数、布 上的疵点数等数据，最常用的是泊松分布；
二、几个常用的随机变量（服从的分布）
（一）超几何分布（hypergeometric distribution）