空间向量立体几何(绝对经典)

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

(如图)A BCD A 1B 1C 1D 1G1)1(AA AD AB ++1111)1(AC CC AC AA AC AA AD AB =+=+=++解M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量.ll aaOABP a若P为A,B中点,则()12=+ OP OA OB2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使, a b yx , p ,a b OM a b A B A 'Pp p xa yb =+ 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有=+MP xMA yMB =++ OP OM xMA yMB 注意：空间四点P 、M 、A 、B 共面⇔存在唯一实数对,,x y MP xMA yMB =+ （）使得(1)OP xOM yOA zOB x y z ⇔=++++= 其中，例1：已知m,n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α。

n mg g m n αl l 证明：在α内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g ，因m与n相交，得向量m、n 不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g =x m +y n ,l ·g =x l ·m +y l ·n∵ l ·m =0,l ·n =0∴ l ·g =0∴ l⊥g∴ l⊥g这就证明了直线l垂直于平面α内的任一条直线，所以l⊥α巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理αa A O P ().,0,,,,0,0,PA a PA a a OA a PO a PA OAy PO x PA y x OA PO OA PO a OA a OA a PO a PO PO aa ⊥⊥∴=⋅+⋅=⋅∴+==⋅∴⊥=⋅∴⊥∴⊥即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在αPA a OAa a PA OA PA PO ⊥⊥⊂求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,ααα复习:2. 向量的夹角:a bO ABabθ0a b π≤≤ ，a b ，向量 的夹角记作:a b 与a b = ||||cos ,a b a b 1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 设121212x x y y z z =++cos ||||a ba b a b =，121212222222111222++=++⋅++x x y y z z x y z x y z 5.向量的模长:2222||a a x y z ==++ (,,)a x y z = 设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,,),(,,)a x y zb x y z == 1212120x x y y z z ++=0a b a b ⊥⇔=⇔ (2)||||||a b a b ≤ ||||,a b a b a b =⇒ 同方向||||,a b a b a b =-⇒ 反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。

OABP3.A 、B 、P 三点共线的充要条件A 、B 、P 三点共线AP t AB =A (1)O P xO yO B x y =++= 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，，如果，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？a b b y x p +=αa b 共线，，分别与b b y a ,a x 确定的平面内，都在b b y a ,a x ∴确定的平面内，，并且此平行四边形在b a 共面，与即确定的平面内，在b b b y a p ,a a x p +=∴a b A B Pp Cp例5 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量 A,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====求证：①四点E 、F 、G 、H 共面；②平面AC //平面EG.BCDOEFG H 证明：∵四边形ABCD 为①∴AC AB AD =+（﹡）EG OG OE =-kOC kOA =-()k OC OA =-kAC =（﹡）代入()k AB AD =+()k OB OA OD OA =-+-O F O E O H O E =-+-所以 E 、F 、G 、H 共面。

EF EH =+证明：由面面平行判定定理的推论得：②EF OF OE =-=kOB kOA -()k OB OA =-kAB=由①知EG kAC =//EG AC ⇒//EF AB //EG AC 面面ABC D OE FGH共线向量 共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共面，或直线平行于平面)0(// ≠a b a b a λ=pa bby x p +=αAB t OA OP +=ACy AB x OA OP ++=小结共面)1(A P =++=y x OB y O x O )1(0=++=++=z y x OC z OB y OA x OP 3）射影e a e a AB B A e l AB B A B l B A l A l l e l a AB ⋅=〉〈=,cos ,111111射影。

方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。

作上与是，和轴＝已知向量BAleA B注意：　在轴l 上的正射影A1B 1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l 的方向的相对关系，大小代表在l 上射影的长度。

例2：已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥ABACOB C B OA ⊥⊥，证明：由已知A B C O 0)(0)(0,0=-⋅=-⋅=⋅=⋅OA OC OB OB OC OA AC OB BC OA 所以OAOB OC OB OBOA OC OA ⋅=⋅⋅=⋅所以00)(0=⋅=⋅-=⋅-⋅OC BA OC OB OA OC OB OC OA 所以AB OC ⊥所以3.已知空间四边形 ，求证： 。

,,OABC OB OC AOB AOC θ=∠=∠=OA BC⊥O A C B 证明：∵()||||cos ||||cos ||||cos ||||cos 0OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OCOA OB OA OB OA OB θθθθ=-=-=⋅-⋅=⋅-⋅=OA BC∴⊥4.空间向量基本定理 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{x，y，z }，使得p＝x a＋y b＋z c.其中{a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量 若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R) a //b A P P B l =uuu r uu u r 121212(,,)111x x y y z z P l l l l l l ++++++线面平行面面平行(五)、空间位置关系的向量法：异面直线所成角的范围： 0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦αA B C D 1D ,CD AB θ<> 与的关系？思考：,DC AB θ<> 与的关系？结论：cos θcos ,CD AB <> =||题型一：线线角θ•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入题型二：线面角直线与平面所成角的范围： [0,]2πθ∈A B αO ,n BA θ<> 与的关系？思考：n θ结论：sin θcos ,n AB <> =||题型二：线面角•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入题型三：二面角二面角的范围：[0,]θπ∈1n2nθθ2n 1n cos θ12|cos ,|n n -<>=cos θ12|cos ,|n n <>=αβαβA B O 关键：观察二面角的范围•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入2、E 为平面α外一点,F 为α内任意一 点, 为平面α的法向量,则点E 到平面的距离为: 3、a,b 是异面直线,E,F 分别是直线a,b 上的点, 是a,b 公垂线的方向向量,则a,b 间距离为||||n EF n d ⋅=||||n EF n d ⋅=n n αnF EO⋅xzy几何法坐标法一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A (x 1,y 1,z 1)与B (x 2,y 2,z2)确定的直线AB 的方向向量是212121(,,)A B x x y y z z =--- zxyA B求平面的法向量的坐标的一般步骤:§第一步(设):设出平面法向量的坐标为n =(x,y,z).§第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组§第三步(解):把z 看作常数,用z 表示x 、y.§第四步(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n 的坐标.1112220xx y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩§例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B 1C 1D 1中,O是面AC 的中心,求面OA 1D 1的法向量.A AB CDO A1B1C1D1zx y解：以A 为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA 1D 1的法向量的法向量为n =(x,y,z),那么O(1，1，0)，A 1(0，0，2)，D 1(0，2，2)得平面OA 1D 1的法向量的坐标n =(2,0,1).取z =120x zy =⎧⎨=⎩解得:2020x y z x y z --+=⎧⎨-++=⎩得:1OA 1OD由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）§例2已知平行六面体ABCD-A1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,∠C1CB=∠C 1CD=∠BCD=θ,求证: C C 1⊥BD A1B1C1D1C B AD§证明：设 a , b , c ,§依题意有| a |=|b |，§于是 a – b§ ∵ = c (a – b)= c·a –c·b§ = |c|·|a|cos θ–|c|·|b| cos θ=0§ ∴C C 1⊥BD=CD =CB =1CC=BD =-CB CD∙1CC BD §例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1,§D,E 分别是AC,CC 1的中点,求证:§(1)A 1E ⊥平面DBC 1;§(2)AB 1 ∥ 平面DBC 1A1C1B1ACBEDz x y§解：以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴建立空间直角坐标系D-xyz.则§A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A 1(-1,0,2),B 1(0, ,2),C 1(1,0,2).§设平面DBC 1的法向量为n =(x,y,z),则§ 解之得 ，§取z = 1得n =(-2,0,1)§(1) =- n,从而A 1E ⊥平面DBC 1§(2) ,而 n =-2+0+2=0§∴AB 1 ∥平面DBC 133⎩⎨⎧==+0302y z x ⎩⎨⎧=-=02y zx )1,0,2(1-=E A )2,3,1(1=AB ⋅1AB §例4 正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点,求证:平面AED ⊥平面A 1FDzx yA B CDF EA1B1C1D1§证明:以A 为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz,⎩⎨⎧==+0202y z x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=021y zx ∴平面AED ⊥平面A 1FD§∵n 1 ·n2 = -2+0+2=0§同理可得平面A1FD 的法向量为n 2=(2,0,1)§取z=2得n 1=(-1,0,2)解得：§设平面AED 的法向量为n 1=(x,y,z)得)1,0,2(=AE )0,2,0(=AD 于是 ，§设：正方体的棱长为2,§那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),§例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M 是AB 的中点,则对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为_____. B CA M x zyB1C1D1A1CD§解: 以A 为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),30153452444041042=⋅⋅=++++++-=§∴cosθ =|cosα|CM 1DB §设DB 1与CM 所成角为θ, 与 所成角为α,)0,2,1(--=CM )2,2,2(1-=DB 于是：§(2)直线与与平面所成的角§若n 是平面α的法向量, a 是直线L 的方向向量,设L 与α所成的角θ, n 与a 所成的角α§则 θ= α- 或θ= -α§ § § § §于是,§因此θθnαα|||||||||||||cos |sin n a n a n a n a ⋅⋅=⋅⋅==αθ||||||arcsin n a n a ⋅⋅=θ2π2πn aa§例6正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,高为 ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角。