空间向量立体几何(绝对经典)

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)

A B

C

D A 1B 1

C 1

D 1G

1)1(AA AD AB ++1

111)1(AC CC AC AA AC AA AD AB =+=+=++解M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

推论:如果 为经过已知点A且平行

已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量.l

l a

a

O

A

B

P a

若P为A,B中点,

则()12

=+ OP OA OB

2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使, a b y

x , p ,

a b O

M a b A B A '

P

p p xa yb =+ 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使

或对空间任一点O,有

=+

MP xMA yMB =++ OP OM xMA yMB 注意：空间四点P 、M 、A 、B 共面

⇔存在唯一实数对,,x y MP xMA yMB =+ （）使得(1)

OP xOM yOA zOB x y z ⇔=++++= 其中，

例1：已知m,n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α。

n m

g g m n αl l 证明：在α内作不与m、n重合的任一条

直线g,在l、m、n、g上取非零向

量l、m、n、g ，因m与n相交，得向量

m、n 不平行，由共面向量定理

可知，存在唯一的有序实数对（x，y），

使

g =x m +y n ,

l ·g =x l ·m +y l ·n

∵ l ·m =0,l ·n =0

∴ l ·g =0

∴ l⊥g

∴ l⊥g

这就证明了直线l垂直于平面α内的任一条直线，所以l⊥α

巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理

αa A O P ().

,0

,,,,0

,0

,PA a PA a a OA a PO a PA OA

y PO x PA y x OA PO OA PO a OA a OA a PO a PO PO a

a ⊥⊥∴=⋅+⋅=⋅∴+==⋅∴⊥=⋅∴⊥∴⊥即使

有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量

相交，得又又而上取非零向量证明：在αPA a OA

a a PA OA PA PO ⊥⊥⊂求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,ααα

复习:

2. 向量的夹角:

a b

O A

B

a

b

θ0a b π≤≤ ，a b ，向量 的夹角记作:a b 与a b = ||||cos ,a b a b 1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 设12121

2

x x y y z z =++cos ||||a b

a b a b =

，121212

222222

111222++=++⋅++x x y y z z x y z x y z 5.向量的模长:2222

||a a x y z ==++ (,,)

a x y z = 设4.有关性质:(1)

两非零向量

111222(,,),(,,)

a x y z

b x y z == 1212

120

x x y y z z ++=0a b a b ⊥⇔=⇔ (2)||||||a b a b ≤ ||||,a b a b a b =⇒ 同方向

||||,a b a b a b =-⇒ 反方向

注意：此公式的几何意义是表示长方体的对

角线的长度。

O

A

B

P

3.A 、B 、P 三点共线的充要条件

A 、

B 、P 三点共线AP t AB =

A (1)

O P xO yO B x y =++= 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，

，如

果

，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？a b b y x p +=αa b 共线，

，分别与b b y a ,a x 确定的平面内

，都在b b y a ,a x ∴确定的平面内，，并且此平行四边形在b a 共面

，与即确定的平面内，在b b b y a p ,a a x p +=∴a b A B P

p C

p

例5 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量 A

,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====求证：①四点E 、F 、G 、H 共面；

②平面AC //平面EG.

B

C

D

O

E

F

G H 证明：∵四边形ABCD 为①∴AC AB AD =+（﹡）

EG OG OE =-kOC kOA =-()k OC OA =-kAC =（﹡）代入()k AB AD =+()k OB OA OD OA =-+-O F O E O H O E =-+-所以 E 、F 、G 、H 共面。

EF EH =+证明：由面面平行判定定理的推论得：②EF OF OE =-=kOB kOA -()k OB OA =-kAB

=由①知EG kAC =//EG AC ⇒//EF AB //EG AC 面面A

B

C D O

E F

G

H