简单的线性规划问题_PPT

思路方法技巧 求线性目标函数的最值问题
设 z ＝ 2x ＋ y ， 式 中 变 量 x 、 y 满 足 条 件
x－4y≤－3 3x＋5y≤25 x≥1
，求 z 的最大值和最小值．
[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于 x、y 的一 次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．
[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所 示．
当直线 z＝2x＋3y 过可行域上点 M 时，截距最小，z 最小．解 方程组35xx＋＋66yy＝＝4555 ，得 M 点的坐标为(5,5)．
此时 zmin＝2×5＋3×5＝25 (m2)． 答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省．
4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元，而 6 个茶杯与
＝2x＋y 的最大值和最小值分别为( )
A．4 和 3
B．4 和 2
C．3 和 2
D．2 和 0
[答案] B
[解析] 本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求 法．
画出可行域如图： 作 l0：2x＋y＝0.
所以当直线 z＝2x＋y 过 A(2,0)时 z 最大，过 B(1,0)时 z 最小， zmax＝4，zmin＝2.
解方程组xx－＝31y＝－2 ，得最优解yx＝＝11 . ∴z 最小＝2×1＋3×1＝5.
建模应用引路
线性规划在实际问题中的应用
某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A、B 两种规格金属板，每张面积分 别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种 产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个．问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的 用料面积最省？
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
探索延拓创新
非线性目标函数的最值问题
x－y＋2≥0 已知 x、y 满足x＋y－4≥0
2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝yx＋ ＋11的取值范围．
[分析] (1)将 z 化为 z＝x2＋(y－5)2，问题转化为求可行域 中的点与定点的最小距离问题；
(2)将式子化为 z＝yx－－－－11或 y＋1＝z(x＋1)，问题转化为 求可行域中的点与定点的连线的斜率的最值问题
④ 求值 ：解有关的方程组，求出最优点的坐标，再代入目 标函数，求出目标函数的值．
y≤x 已知 z＝2x＋y，式子中变量 x、y 满足条件x＋y≤1
y≥－1
，则 z
的最大值是________．
[答案] 3
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．
作直线 l0：2x＋y＝0，平移直线 l0，当直线 l0 经过平面区域内 的点 A(2，－1)时，z 取最大值 2×2－1＝3.
因为 x、y 为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2)，这时 S ＝13，所要求的最大值为 13.
[辨析] 显然整点 B(2,1)满足约束条件，且此时 S＝14，故 上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整 点．
而要先对边界点作目标函数 t＝Ax＋By 的图像， 则最优解是在可行域内离直线 t＝Ax＋By 最近的整点．
二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
线性规划的概念
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
[解析] (1)作出可行域，如图． 并求出点 A、B 的坐标分别为(1,3)、(3,1)．
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5) 的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线 MN，垂足为 N，则：z 最小＝|MN|2＝(|0－52＋2|)2＝92.
(2)z＝yx＋＋11＝yx－－－－11表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(－1，－1)连线的斜率，可知，kAQ 最大，kQB 最小．而 kQA＝31＋＋11 ＝2，kQB＝13＋＋11＝12.
[解析] 设 A、B 两种金属板分别取 x 张、y 张，用料面积 为 z，则约束条件为
3x＋6y≥45
5x＋6y≥55
x≥0
.
y≥0
目标函数 z＝2x＋3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所 示．
z＝2x＋3y 变为 y＝－23x＋3z，得斜率为－23，在 y 轴上截距 为3z且随 z 变化的一族平行直线．
自主预习
1.线性规划的基本概念 (1)如果对于变量 x、y 的约束条件，都是关于 x、y 的一次不 等式，则称这些约束条件为 线性约束条件． z＝f(x，y)是欲求最 大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫做 目标函数 ，当 f(x，y)是 x、y 的一次解析式时，z＝f(x，y)叫做 线性目标函数．
3 包茶叶的价格之和大于 24 元，则 2 个茶杯和 3 包茶叶的价格
比较( )
A．2 个茶杯贵
B．3 包茶叶贵
C．相同
D．无法确定
[答案] A
[解析] 设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，则
Βιβλιοθήκη Baidu
4x＋5y＜22 6x＋3y＞24 x，y∈N
，U＝2x－3y 取值的符号判断如下：
由 y＝23x－U3 .当 U＝0 时，过点 A(3,2)，往下平移．经过可 行域内的点－U3 ＜0，∴U＞0，即 2x＞3y.往上平移不经过可行 域内的点．∴选 A.
2．简单线性规划问题的图解法 简单线性规划问题的图解法就是利用 数形结合 的思想根据 线性目标函数的几何意义，求线性目标函数在线性约束条件下的 最优解，一般步骤如下： ① 作图 ：画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域； ② 找初始直线 ：列目标函数，找初始直线 l0；
③ 平移 ：将直线 l0 平行移动，以确定最优解所对应的点 的位置；
3x＋2y≤10 设变量 x、y 满足条件xx＋ ∈4Zy，≤y1∈1 Z .
x>0，y>0
求 S＝5x＋4y 的最大值．
[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑 x、 y 为整数的条件，则当直线 5x＋4y＝S 过点 A(95，2130)时，S＝5x ＋4y 取最大值，Smax＝951.
[正解] 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作 直线 l: 5x＋4y＝0，平行移动直线 l 经过可行域内的整点 B(2,1) 时，Smax＝14.
目标函数表示点(x，y)与点 M(1,1)的距离的平方．由图可 知，z 的最小值为点 M 与直线 x－y＝1 的距离的平方．即 zmin ＝(|1－12－1|)2＝12.
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
∴z 的取值范围为[12，2]．
[点评] 求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数 所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列 结合的体现．
在条件00≤ ≤xy≤ ≤22 x－y≥1
下，z＝(x－1)2＋(y－1)2 的取值范围是
________．
[答案] [12，2]
[解析] 由约束条件作出可行域如图．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
[分析] 如表
[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为 xt、yt，则
10x＋4y≤300 5x＋4y≤200 4x＋9y≤360 x≥0，y≥0
.平面区域如图所示．
新课引入
战国时期的齐国大臣田忌与国王赛马，用自己的下等马对国 王的上等马，用自己的上等马对国王的中等马，用自己的中等马 对国王的下等马，这样田忌以 2:1 取得了胜利，这个故事讲述了 规划的威力．社会实际生产生活中，我们常常希望以最少的投入 获得最大的回报．线性规划提供了解决问题的有效工具.