高一数学检测试卷(含答案)

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高一数学检测试题
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)在每小题给出的四个选项
中只有一个选项符合题目要求
1.(5分)如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图,则下列说法正确的是()
A.中位数是64B.众数为66C.极差为18D.平均数是64 2.(5分)已知α∈(0,π),且cosα=﹣,则cos(2π+α)•tanα=()A.B.﹣C.﹣D.
3.(5分)若直线mx+ny=1与x2+y2=1相交,则点(m,n)()A.在圆上B.在圆外
C.在圆内D.以上都有可能
4.(5分)样本容量为100的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a,样本数据落在[2,10)内的频率为b,则a,b分别是()
A.32,0.4B.8,0.1C.32,0.1D.8,0.4 5.(5分)两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4ay+4a2﹣1=0恰有三条公切线,则a2=()
A.B.C.D.
6.(5分)在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的,它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成,若直角三角形的直角边的边长分别是3和4,在绘图内随机取一点,则此点取自内部小正方形部分的概率为()
A.B.C.D.
7.(5分)已知角α的终边在直线y=﹣3x上,则sinαcosα等于()A.B.﹣C.D.﹣
8.(5分)已知直线kx﹣y﹣k=0与曲线y=交于M,N两点,O为坐标原点,当△OMN的面积最大时,实数k的值为()
A.﹣B.C.﹣1D.1
9.(5分)现要完成下列3项抽样调查:
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;
②科技报告厅有32排座位,每排40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报
告会结束后,为了听取意见,邀请32名听众进行座谈;
③某中学高三年级有12个班,文科班4个,理科班8个,为了了解全校学生对
知识的掌握情况,拟抽取一个容量为50的样本.
较为合理的抽样方法是()
A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样
B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样
C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样
D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样
10.(5分)已知sinα+cosα=,α∈(0,π),则=()A.B.﹣C.D.﹣
11.(5分)若点P在直线x+2y+10=0上,PA与圆x2+y2=4相切与A点,则三角形POA面积的最小值为()
A.12B.8C.4D.2
12.(5分)已知圆O:x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动弧长达到点N,以x轴的正半轴为始边,ON为终边的角记为α,则sinα=()
A.B.C.D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)sin(﹣1740°)=.
14.(5分)某扇形的圆心角为2弧度,周长为4cm,则该扇形面积为cm2.15.(5分)点P是圆x2+y2=16内任意一点,则P到直线x+y=2的距离小于的概率为
16.(5分)已知圆C的方程为x2+(y﹣1)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,且点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E:(x﹣3)2+(y﹣1)2=1上,则r的取值范围是
三、解答题(共6小题,满分70分)
17.(10分)已知角θ的终边经过点P(m,)(m≠0),且cosθ=,请确定角θ所在的象限,并求sinθ,tanθ的值
18.(12分)如图某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求3月1日至14日空气质量指数的中位数;
(2)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(3)求此人停留期间只有一天空气质量优良的概率.
19.(12分)已知圆C经过点A(3,﹣2),并与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=﹣4x上.
(1)求圆C的方程;
(2)点P(5,2)为圆C外一点,国点P作圆的两条切线,切点分别为M,N,求MN所在直线方程.
20.(12分)为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.为了解大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的7个大棚,并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表:
大棚面积(亩)x 4.5 5.0 5.5 6.0 6.57.07.5
年利润(万元)y677.48.18.99.611.1
由所给数据的散点图可以看出,各样本点都分布在一条直线附近,并且y与x有很强的线性相关关系.
(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩,估计小明家的大棚当年的利润为多少;
(Ⅲ)另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润(单位:万元),其中无丝豆为:
1.5,1.7,
2.1,2.2,2.5;彩椒为:1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种
蔬菜比较好?
参考数据:,.
参考公式:,.
21.(12分)已知点A(2,2)和圆E:(x﹣4)2+(y﹣1)2=5.
(1)求过点P(0,4)且与圆E相切于点A的圆的方程;
(2)若点B是圆E上的动点,求线段PB的中点M的轨迹.
22.(12分)已知圆C:x2+(y﹣1)2=r2被x轴截得的弦长为2,直线l:y=x+m (m∈R),O为坐标原点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1,求直线l的方程;
(3)若直线l与圆C相交于M,N两点,且OM⊥ON,求实数m的值.
2017-2018学年山东省烟台市高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)在每小题给出的四个选项
中只有一个选项符合题目要求
1.(5分)如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图,则下列说法正确的是()
A.中位数是64B.众数为66C.极差为18D.平均数是64【解答】解:根据茎叶图中的数据知,
这组数据的中位数是×(62+67)=64.5,∴A错误;
这组数据的众数是67,∴B错误;
极差是76﹣58=18,∴C正确;
平均数是×(58+59+61+62+67+67+70+76)=65,∴D错误.
故选:C.
2.(5分)已知α∈(0,π),且cosα=﹣,则cos(2π+α)•tanα=()A.B.﹣C.﹣D.
【解答】解:∵α∈(0,π),且cosα=﹣,
∴sinα=,
则cos(2π+α)•tanα=cosα•tanα=sinα=.
故选:A.
3.(5分)若直线mx+ny=1与x2+y2=1相交,则点(m,n)()A.在圆上B.在圆外
C.在圆内D.以上都有可能
【解答】解:根据题意,若直线mx+ny=1与x2+y2=1相交,
则有d=<1,变形可得m2+n2>1,
则点(m,n)在圆外;
故选:B.
4.(5分)样本容量为100的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a,样本数据落在[2,10)内的频率为b,则a,b分别是()
A.32,0.4B.8,0.1C.32,0.1D.8,0.4
【解答】解:由样本的频率分布直方图知:
数据在区间[6,10)上的频率是4×0.08=0.32,
又样本容量为n=100,
所以数据在区间[6,10)上的频数是a=100×0.32=32,
样本数据落在[2,10)内的频率为
b=4×(0.02+0.08)=0.4.
故选:A.
5.(5分)两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4ay+4a2﹣1=0恰有三条公切线,则a2=()
A.B.C.D.
【解答】【解答】解:由题意知该两圆外切,两圆的标准方程分别为
(x+a)2+y2=4和x2+(y﹣2a)2=1,
圆心分别为C(﹣a,0),D(0,2a),半径分别为2和1,
∴=2+1,
解得a2=.
故选:B.
6.(5分)在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的,它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成,若直角三角形的直角边的边长分别是3和4,在绘图内随机取一点,则此点取自内部小正方形部分的概率为()
A.B.C.D.
【解答】解:如图,∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4,
∴大正方形的边长为5,小正方形的边长为4﹣3=1.
大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,
由测度比为面积比,可得在绘图内随机取一点,则此点取自内部小正方形部分的概率为.
故选:A.
7.(5分)已知角α的终边在直线y=﹣3x上,则sinαcosα等于()A.B.﹣C.D.﹣
【解答】解:∵角α的终边在直线y=﹣3x上,∴tanα=﹣3,则sinαcosα====﹣,
故选:D.
8.(5分)已知直线kx﹣y﹣k=0与曲线y=交于M,N两点,O为坐标原点,当△OMN的面积最大时,实数k的值为()
A.﹣B.C.﹣1D.1
【解答】解:直线kx﹣y﹣k=0恒过定点(1,0)与曲线y=是以原点为圆
心,1为半径的圆的x轴上方的部分,直线与圆交于M,N两点,
当△OMN的面积最大时,就是N到x轴距离的最大值,此时N(0,1),
此时0﹣1﹣k=0,可得k=﹣1.
故选:C.
9.(5分)现要完成下列3项抽样调查:
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;
②科技报告厅有32排座位,每排40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报
告会结束后,为了听取意见,邀请32名听众进行座谈;
③某中学高三年级有12个班,文科班4个,理科班8个,为了了解全校学生对
知识的掌握情况,拟抽取一个容量为50的样本.
较为合理的抽样方法是()
A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样
B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样
C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样
D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样
【解答】解:在①中因为个体数量较少,采用简单随机抽样即可;
在②中,因为个体数量多,且已按座位自然分组,故采用系统抽样较好;
在③中,因为文科生和理科生的差异明显,故采用分层抽样较好.
故选:A.
10.(5分)已知sinα+cosα=,α∈(0,π),则=()A.B.﹣C.D.﹣
【解答】解:由sinα+cosα=,α∈(0,π),
得,∴2sinαcosα=,
则sinα>0,cosα<0,
∴sinα﹣cosα==.
联立,解得sinα=,cosα=,
tanα==.
∴==.
故选:B.
11.(5分)若点P在直线x+2y+10=0上,PA与圆x2+y2=4相切与A点,则三角形POA面积的最小值为()
A.12B.8C.4D.2
【解答】解:如图:三角形POA面积的最小值就是S=的最小值,只需AP最小,也就是OP取得最小值,OP最小值为:=2,则AP==4,
三角形POA面积的最小值为:=4.
故选:C.
12.(5分)已知圆O:x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动弧长达到点N,以x轴的正半轴为始边,ON为终边的角记为α,则sinα=
()
A.B.C.D.
【解答】解:由题意得,M(0,2),
并画出图象如下:
∵点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N,
∴旋转的角的弧度数为=,
即以ON为终边的角α=,则sinα=,
故选:D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)sin(﹣1740°)=.
【解答】解:原式=﹣sin1740°=﹣sin(5×360°﹣60°)=sin60°=,
故答案为:.
14.(5分)某扇形的圆心角为2弧度,周长为4cm,则该扇形面积为1cm2.【解答】解:设该扇形的半径为r,
根据题意,有l=αr+2r
4=2r+2r
r=1
S扇形=αr2=×2×12=1.
故答案为:1.
15.(5分)点P是圆x2+y2=16内任意一点,则P到直线x+y=2的距离小于的概率为
【解答】解:由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=2的距离为,故到直线x+y=2距离为的点在直线x+y=0和x+y+4=0上,
满足P到直线x+y=2的距离小于的点位于两直线之间的弧上,且两段弧度和为90°.
故概率P=.
故答案为:.
16.(5分)已知圆C的方程为x2+(y﹣1)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,且点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E:(x﹣3)2+(y﹣1)2=1上,则r的取值范围是(,)
【解答】解:由题意,圆E:(x﹣3)2+(y﹣1)2=1关于直线x﹣y=0的对称圆的方程:
(x﹣1)2+(y﹣3)2=1,
圆C的方程为x2+(y﹣1)2=r2(r>0),
若圆C上存在点P,且点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E:(x﹣3)2+(y﹣1)2=1上,
只需圆C与对称圆相交即可,
即:r﹣1<<r+1,解得<r<.
则r的取值范围是:(,).
故答案为:(,).
三、解答题(共6小题,满分70分)
17.(10分)已知角θ的终边经过点P(m,)(m≠0),且cosθ=,请确定角θ所在的象限,并求sinθ,tanθ的值
【解答】解:∵角θ的终边经过点P(m,)(m≠0),且cosθ==,
∴m=±2.
当m=2,角θ在第一象限,并x=m=2,y=,r=|OP|=5,
sinθ==,tanθ==.
当m=﹣2,角θ在第二象限,并x=m=﹣2,y=,r=|OP|=5,
sinθ==,tanθ==﹣.
18.(12分)如图某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求3月1日至14日空气质量指数的中位数;
(2)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(3)求此人停留期间只有一天空气质量优良的概率.
【解答】解:(1)由某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图得3月1日至14日空气质量指数从小到大为:
25,37,40,57,79,86,86,121,143,158,160,160,217,220,
∴3月1日至14日空气质量指数的中位数为:=103.5.
(2)3月1日至14日空气重度污染的天数为2天,
∴此人到达当日空气重度污染的概率p=.
(3)3月1日至14日连续两天中只有一天空气优良包含的基本事件有:
(3,4),(6,7),(7,8),(11,12),
3月1日至14日连续两天包含的基本事件有13个,分别为:
(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),
(8,9),(9,10),(10,11),(11,12),(12,13),(13,14),
∴此人停留期间只有一天空气质量优良的概率p=.
19.(12分)已知圆C经过点A(3,﹣2),并与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=﹣4x上.
(1)求圆C的方程;
(2)点P(5,2)为圆C外一点,国点P作圆的两条切线,切点分别为M,N,求MN所在直线方程.
【解答】解:(1)设圆心C为(a,b),
∵点A(3,﹣2)在直线x+y=1,且圆C经过A与直线x+y=1相切,
∴,解得.
∴r=.
∴圆C的方程为(x﹣1)2+(y+4)2=8;
(2)由P(5,2),C(1,﹣4),
得以PC为直径的圆的方程为(x﹣3)2+(y+1)2=13,
联立,
得MN所在直线方程为:2x+3y+6=0.
20.(12分)为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.为了解大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的7个大棚,并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表:
大棚面积(亩)x 4.5 5.0 5.5 6.0 6.57.07.5
年利润(万元)y677.48.18.99.611.1
由所给数据的散点图可以看出,各样本点都分布在一条直线附近,并且y与x有很强的线性相关关系.
(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩,估计小明家的大棚当年的利润为多少;
(Ⅲ)另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润(单位:万元),其中无丝豆为:
1.5,1.7,
2.1,2.2,2.5;彩椒为:1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种
蔬菜比较好?
参考数据:,.
参考公式:,.
【解答】解:(Ⅰ)根据题意,,,则,
==,=8.3﹣1.571×6=﹣1.126,
那么回归方程为:.
(Ⅱ)将x=8.0代入方程得,
即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为11.442万元.
(Ⅲ)近5年来,无丝豆亩平均利润的平均数为,方差+(2.1﹣2)2+(2.2﹣2)2+(2.5﹣2)2]=0.128.
彩椒亩平均利润的平均数为,
方差为+(1.9﹣2)2+(2.2﹣2)2+(2.2﹣2)2]=0.028.因为m=n,,∴种植彩椒比较好.
21.(12分)已知点A(2,2)和圆E:(x﹣4)2+(y﹣1)2=5.
(1)求过点P(0,4)且与圆E相切于点A的圆的方程;
(2)若点B是圆E上的动点,求线段PB的中点M的轨迹.
【解答】解:(1)∵点A(2,2)和圆E:(x﹣4)2+(y﹣1)2=5.点P(0,4),设过点P(0,4)且与圆E相切于点A的圆的圆心C(a,b),
∴,
解得a=,b=,
∴圆C的半径r==,
∴过点P(0,4)且与圆E相切于点A的圆的方程为(x﹣)2+(y﹣)2=.(2)∵点B是圆E上的动点,P(0,4),
∴设B(4+cosθ,1+sinθ),
∴线段PB的中点M(,),
∴线段PB的中点M的轨迹的参数方程为,0≤θ<2π,
∴线段PB的中点M的轨迹方程为(x﹣2)2+(y﹣)2=.
22.(12分)已知圆C:x2+(y﹣1)2=r2被x轴截得的弦长为2,直线l:y=x+m (m∈R),O为坐标原点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1,求直线l的方程;
(3)若直线l与圆C相交于M,N两点,且OM⊥ON,求实数m的值.
【解答】解:(1)圆心坐标C(0,1),半径r,
圆心到x轴的距离d=1,
∵被x轴截得的弦长为2,
∴r2=d2+()2=1+3=4,即r=2,
则圆的标准方程为x2+(y﹣1)2=4;
(2)若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1,
则圆心到直线的距离d=1,
即d===1,得|m﹣1|=,
得m=或m=﹣+1,
则直线方程为y=x+或y=x﹣+1.
(3)若直线l与圆C相交于M,N两点,且OM⊥ON,设M(x1,y1)、N(x2,y2),
直线y=x+m代入圆的方程x2+(y﹣1)2=4
得2x2+2(m﹣1)x+(m﹣1)2﹣4=0,
所以x1+x2=﹣(m﹣1),x1x2=
因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,
则2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
即(m﹣1)2﹣4﹣m(m﹣1)+m2=0,
得m2﹣m﹣3=0,
得m=.。

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