高一数学检测试卷(含答案)

高一数学检测试题
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项
中只有一个选项符合题目要求
1．（5分）如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（）
A．中位数是64B．众数为66C．极差为18D．平均数是64 2．（5分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣，则cos（2π+α）•tanα=（）A．B．﹣C．﹣D．
3．（5分）若直线mx+ny=1与x2+y2=1相交，则点（m，n）（）A．在圆上B．在圆外
C．在圆内D．以上都有可能
4．（5分）样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6，10）内的频数为a，样本数据落在[2，10）内的频率为b，则a，b分别是（）
A．32，0.4B．8，0.1C．32，0.1D．8，0.4 5．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4ay+4a2﹣1=0恰有三条公切线，则a2=（）
A．B．C．D．
6．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知角α的终边在直线y=﹣3x上，则sinαcosα等于（）A．B．﹣C．D．﹣
8．（5分）已知直线kx﹣y﹣k=0与曲线y=交于M，N两点，O为坐标原点，当△OMN的面积最大时，实数k的值为（）
A．﹣B．C．﹣1D．1
9．（5分）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排座位，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报
告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对
知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．
较为合理的抽样方法是（）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
10．（5分）已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则=（）A．B．﹣C．D．﹣
11．（5分）若点P在直线x+2y+10=0上，PA与圆x2+y2=4相切与A点，则三角形POA面积的最小值为（）
A．12B．8C．4D．2
12．（5分）已知圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长达到点N，以x轴的正半轴为始边，ON为终边的角记为α，则sinα=（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）sin（﹣1740°）=．
14．（5分）某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为cm2．15．（5分）点P是圆x2+y2=16内任意一点，则P到直线x+y=2的距离小于的概率为
16．（5分）已知圆C的方程为x2+（y﹣1）2=r2（r＞0），若圆C上存在点P，且点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，则r的取值范围是
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知角θ的终边经过点P（m，）（m≠0），且cosθ=，请确定角θ所在的象限，并求sinθ，tanθ的值
18．（12分）如图某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求3月1日至14日空气质量指数的中位数；
（2）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（3）求此人停留期间只有一天空气质量优良的概率．
19．（12分）已知圆C经过点A（3，﹣2），并与直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣4x上．
（1）求圆C的方程；
（2）点P（5，2）为圆C外一点，国点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，求MN所在直线方程．
20．（12分）为促进农业发展，加快农村建设，某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”．为了解大棚的面积与年利润之间的关系，随机抽取了其中的7个大棚，并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表：
大棚面积（亩）x 4.5 5.0 5.5 6.0 6.57.07.5
年利润（万元）y677.48.18.99.611.1
由所给数据的散点图可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且y与x有很强的线性相关关系．
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩，估计小明家的大棚当年的利润为多少；
（Ⅲ）另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润（单位：万元），其中无丝豆为：
1.5，1.7，
2.1，2.2，2.5；彩椒为：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，请分析种植哪种
蔬菜比较好？
参考数据：，．
参考公式：，．
21．（12分）已知点A（2，2）和圆E：（x﹣4）2+（y﹣1）2=5．
（1）求过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的方程；
（2）若点B是圆E上的动点，求线段PB的中点M的轨迹．
22．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=r2被x轴截得的弦长为2，直线l：y=x+m （m∈R），O为坐标原点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1，求直线l的方程；
（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数m的值．
2017-2018学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项
中只有一个选项符合题目要求
1．（5分）如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（）
A．中位数是64B．众数为66C．极差为18D．平均数是64【解答】解：根据茎叶图中的数据知，
这组数据的中位数是×（62+67）=64.5，∴A错误；
这组数据的众数是67，∴B错误；
极差是76﹣58=18，∴C正确；
平均数是×（58+59+61+62+67+67+70+76）=65，∴D错误．
故选：C．
2．（5分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣，则cos（2π+α）•tanα=（）A．B．﹣C．﹣D．
【解答】解：∵α∈（0，π），且cosα=﹣，
∴sinα=，
则cos（2π+α）•tanα=cosα•tanα=sinα=．
故选：A．
3．（5分）若直线mx+ny=1与x2+y2=1相交，则点（m，n）（）A．在圆上B．在圆外
C．在圆内D．以上都有可能
【解答】解：根据题意，若直线mx+ny=1与x2+y2=1相交，
则有d=＜1，变形可得m2+n2＞1，
则点（m，n）在圆外；
故选：B．
4．（5分）样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6，10）内的频数为a，样本数据落在[2，10）内的频率为b，则a，b分别是（）
A．32，0.4B．8，0.1C．32，0.1D．8，0.4
【解答】解：由样本的频率分布直方图知：
数据在区间[6，10）上的频率是4×0.08=0.32，
又样本容量为n=100，
所以数据在区间[6，10）上的频数是a=100×0.32=32，
样本数据落在[2，10）内的频率为
b=4×（0.02+0.08）=0.4．
故选：A．
5．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4ay+4a2﹣1=0恰有三条公切线，则a2=（）
A．B．C．D．
【解答】【解答】解：由题意知该两圆外切，两圆的标准方程分别为
（x+a）2+y2=4和x2+（y﹣2a）2=1，
圆心分别为C（﹣a，0），D（0，2a），半径分别为2和1，
∴=2+1，
解得a2=．
故选：B．
6．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，
∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4﹣3=1．
大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，
由测度比为面积比，可得在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为．
故选：A．
7．（5分）已知角α的终边在直线y=﹣3x上，则sinαcosα等于（）A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：∵角α的终边在直线y=﹣3x上，∴tanα=﹣3，则sinαcosα====﹣，
故选：D．
8．（5分）已知直线kx﹣y﹣k=0与曲线y=交于M，N两点，O为坐标原点，当△OMN的面积最大时，实数k的值为（）
A．﹣B．C．﹣1D．1
【解答】解：直线kx﹣y﹣k=0恒过定点（1，0）与曲线y=是以原点为圆
心，1为半径的圆的x轴上方的部分，直线与圆交于M，N两点，
当△OMN的面积最大时，就是N到x轴距离的最大值，此时N（0，1），
此时0﹣1﹣k=0，可得k=﹣1．
故选：C．
9．（5分）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排座位，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报
告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对
知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．
较为合理的抽样方法是（）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【解答】解：在①中因为个体数量较少，采用简单随机抽样即可；
在②中，因为个体数量多，且已按座位自然分组，故采用系统抽样较好；
在③中，因为文科生和理科生的差异明显，故采用分层抽样较好．
故选：A．
10．（5分）已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则=（）A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：由sinα+cosα=，α∈（0，π），
得，∴2sinαcosα=，
则sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα==．
联立，解得sinα=，cosα=，
tanα==．
∴==．
故选：B．
11．（5分）若点P在直线x+2y+10=0上，PA与圆x2+y2=4相切与A点，则三角形POA面积的最小值为（）
A．12B．8C．4D．2
【解答】解：如图：三角形POA面积的最小值就是S=的最小值，只需AP最小，也就是OP取得最小值，OP最小值为：=2，则AP==4，
三角形POA面积的最小值为：=4．
故选：C．
12．（5分）已知圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长达到点N，以x轴的正半轴为始边，ON为终边的角记为α，则sinα=
（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，M（0，2），
并画出图象如下：
∵点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，
∴旋转的角的弧度数为=，
即以ON为终边的角α=，则sinα=，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）sin（﹣1740°）=．
【解答】解：原式=﹣sin1740°=﹣sin（5×360°﹣60°）=sin60°=，
故答案为：．
14．（5分）某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为1cm2．【解答】解：设该扇形的半径为r，
根据题意，有l=αr+2r
4=2r+2r
r=1
S扇形=αr2=×2×12=1．
故答案为：1．
15．（5分）点P是圆x2+y2=16内任意一点，则P到直线x+y=2的距离小于的概率为
【解答】解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=2的距离为，故到直线x+y=2距离为的点在直线x+y=0和x+y+4=0上，
满足P到直线x+y=2的距离小于的点位于两直线之间的弧上，且两段弧度和为90°．
故概率P=．
故答案为：．
16．（5分）已知圆C的方程为x2+（y﹣1）2=r2（r＞0），若圆C上存在点P，且点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，则r的取值范围是（，）
【解答】解：由题意，圆E：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1关于直线x﹣y=0的对称圆的方程：
（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，
圆C的方程为x2+（y﹣1）2=r2（r＞0），
若圆C上存在点P，且点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，
只需圆C与对称圆相交即可，
即：r﹣1＜＜r+1，解得＜r＜．
则r的取值范围是：（，）．
故答案为：（，）．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知角θ的终边经过点P（m，）（m≠0），且cosθ=，请确定角θ所在的象限，并求sinθ，tanθ的值
【解答】解：∵角θ的终边经过点P（m，）（m≠0），且cosθ==，
∴m=±2．
当m=2，角θ在第一象限，并x=m=2，y=，r=|OP|=5，
sinθ==，tanθ==．
当m=﹣2，角θ在第二象限，并x=m=﹣2，y=，r=|OP|=5，
sinθ==，tanθ==﹣．
18．（12分）如图某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求3月1日至14日空气质量指数的中位数；
（2）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（3）求此人停留期间只有一天空气质量优良的概率．
【解答】解：（1）由某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图得3月1日至14日空气质量指数从小到大为：
25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，
∴3月1日至14日空气质量指数的中位数为：=103.5．
（2）3月1日至14日空气重度污染的天数为2天，
∴此人到达当日空气重度污染的概率p=．
（3）3月1日至14日连续两天中只有一天空气优良包含的基本事件有：
（3，4），（6，7），（7，8），（11，12），
3月1日至14日连续两天包含的基本事件有13个，分别为：
（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，7），（7，8），
（8，9），（9，10），（10，11），（11，12），（12，13），（13，14），
∴此人停留期间只有一天空气质量优良的概率p=．
19．（12分）已知圆C经过点A（3，﹣2），并与直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣4x上．
（1）求圆C的方程；
（2）点P（5，2）为圆C外一点，国点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，求MN所在直线方程．
【解答】解：（1）设圆心C为（a，b），
∵点A（3，﹣2）在直线x+y=1，且圆C经过A与直线x+y=1相切，
∴，解得．
∴r=．
∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8；
（2）由P（5，2），C（1，﹣4），
得以PC为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=13，
联立，
得MN所在直线方程为：2x+3y+6=0．
20．（12分）为促进农业发展，加快农村建设，某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”．为了解大棚的面积与年利润之间的关系，随机抽取了其中的7个大棚，并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表：
大棚面积（亩）x 4.5 5.0 5.5 6.0 6.57.07.5
年利润（万元）y677.48.18.99.611.1
由所给数据的散点图可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且y与x有很强的线性相关关系．
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩，估计小明家的大棚当年的利润为多少；
（Ⅲ）另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润（单位：万元），其中无丝豆为：
1.5，1.7，
2.1，2.2，2.5；彩椒为：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，请分析种植哪种
蔬菜比较好？
参考数据：，．
参考公式：，．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，，，则，
==，=8.3﹣1.571×6=﹣1.126，
那么回归方程为：．
（Ⅱ）将x=8.0代入方程得，
即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为11.442万元．
（Ⅲ）近5年来，无丝豆亩平均利润的平均数为，方差+（2.1﹣2）2+（2.2﹣2）2+（2.5﹣2）2]=0.128．
彩椒亩平均利润的平均数为，
方差为+（1.9﹣2）2+（2.2﹣2）2+（2.2﹣2）2]=0.028．因为m=n，，∴种植彩椒比较好．
21．（12分）已知点A（2，2）和圆E：（x﹣4）2+（y﹣1）2=5．
（1）求过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的方程；
（2）若点B是圆E上的动点，求线段PB的中点M的轨迹．
【解答】解：（1）∵点A（2，2）和圆E：（x﹣4）2+（y﹣1）2=5．点P（0，4），设过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的圆心C（a，b），
∴，
解得a=，b=，
∴圆C的半径r==，
∴过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=．（2）∵点B是圆E上的动点，P（0，4），
∴设B（4+cosθ，1+sinθ），
∴线段PB的中点M（，），
∴线段PB的中点M的轨迹的参数方程为，0≤θ＜2π，
∴线段PB的中点M的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣）2=．
22．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=r2被x轴截得的弦长为2，直线l：y=x+m （m∈R），O为坐标原点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1，求直线l的方程；
（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数m的值．
【解答】解：（1）圆心坐标C（0，1），半径r，
圆心到x轴的距离d=1，
∵被x轴截得的弦长为2，
∴r2=d2+（）2=1+3=4，即r=2，
则圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=4；
（2）若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1，
则圆心到直线的距离d=1，
即d===1，得|m﹣1|=，
得m=或m=﹣+1，
则直线方程为y=x+或y=x﹣+1．
（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
直线y=x+m代入圆的方程x2+（y﹣1）2=4
得2x2+2（m﹣1）x+（m﹣1）2﹣4=0，
所以x1+x2=﹣（m﹣1），x1x2=
因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，
则2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
即（m﹣1）2﹣4﹣m（m﹣1）+m2=0，
得m2﹣m﹣3=0，
得m=．。