遥感第六章 图像变换

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6.1.5 频率域图像（1）
• 图像的空间频率
0空间频率
低空间频率
高空间频率
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主成分与波段
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设图像数据X(n,m,k)(n行,m列,k个波段) 对于任一位置，可以用K个指标来描述 我们希望能用K1个指标来描述，其中 K1<K，而且信息没有太大的失真 在统计学中，该方法称为降维方法
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6.1.1 基本概念（3）
• 离散信号的滤波过程
输入 时间域 x(n∆) 滤波器 h(n ∆) H ∆(f) 输出 y(n ∆)=x(n ∆)*h(n ∆)
频率域 X ∆(f)
Y ∆(f)=X ∆(f)H ∆(f)
称y(n ∆)为x(n ∆)与h(n ∆)的卷积 公式展开如下：
y ( n∆ ) = ∆ ∑ h(t ∆) x[n − t )∆ ]
若f(x,y)为(x,y)二元连续函数，则有：
• F(u,v)的傅立叶变换为
∞
F ( u, v ) = ∫
F(u,v)的傅立叶逆变换为
∞
−∞
− j 2π ( ux + vy ) dxdy ∫ f ( x, y ) exp
f ( x, y ) = ∫
−∞
j 2π ( ux + vy ) dudv ∫ F ( u, v ) exp
6.2 主成分变换（1）
• K-L变换 • PCA变换 • Hotelling变换 • 目的
– 减少图像波段之间的相 关性，去除多余的信 息，减少图像的数据量
• 方法
– 统计学中的正交变换方 法
Pearcon 1901首次引入 Hotelling在20世纪20年代进行了发展
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两个过程：正变换和逆变换
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6.1 傅立叶变换
• 目的
– 进行数据压缩、图像的增强、特征提取
• 方法
– 信号处理中的频率域分析方法
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二 有关傅里叶的几个应用
• 傅里叶级数，傅里叶积分，傅里叶变换
• 周期信号可以分解为傅里叶级数
– 用来分析研究序列的周期或频率
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• 傅立叶的《热分析理论》
– 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和 或余弦和的形式
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N −1 M −1
j 2π ( ux N + vy M )
• 为了减少运算步骤和节省时间，一般遥感图像处 理系统都采用快速傅立叶变换（FFT）方法，用 两次一维的FFT进行快速运算处理，把遥感图像 转换为一系列不同频率的二维的正弦/余弦波。快 速傅立叶变换已经有了专门的软件包，使用非常 方便。 • 图像的傅立叶变换要求图像的行数和列数为2的倍 数。考虑到计算的复杂性和遥感图像数据量较 大，对遥感图像进行傅立叶变换需要计算机具有 较高的内存和计算速度。一般地，进行傅立叶变 换所需的内存是图像大小的8倍左右。
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傅立叶变换
• 满足一定条件的某个函数都能表示成三角 函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积 分的线性组合
– 连续傅立叶变换
离散傅立叶变换
数字图像处理中常用
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6.1.5 频率域图像（3）
• IKNOS图像及其频率域图像
原始图像：IKNOS图像全色波段
频率域图像
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• 快速傅立叶变换（FFT）的计算公式
N −1 M −1 x =0 y =0
F ( u, v ) ← ∑ ∑ f ( x, y ) e
− j 2π ( ux N + vy M )

• 快速傅立叶逆变换（IFFT）的计算公式
f ( u, v ) ← ∑ ∑ F ( u, v ) e
u =0 v =0
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6.1.3 傅立叶变换的基本性质
• 对称性 • 加法定理 • 位移定理 • 相似性定理 • 卷积定理 • 共轭性 • Rayleigh定理 • 可分离性 • 旋转
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傅里叶变换的性质
• • • • • • 谱分量的平均值是空间域的整数倍 变换域具有周期性的特点 对称共轭性 平移性 分配性和比例性 可分离性
– 图像的变换可以通过两次一维数据的变换得到
• 卷积定理
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6.1.4 快速傅立叶变换
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6.1.1 基本概念（6）
• 假设f(x,y)代表原始图像，g(x,y)代表处理 后的图像，则有：
g ( x, y ) = h ( x, y ) ∗ f ( x, y )
其中，h(x,y)是响应函数 • 其频率域的乘积关系：
6.1.6 傅立叶变换的流程
• 正向FFT－定义滤波器－逆向FFT
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傅里叶变换步骤
• • • • 选择适当的变换函数 进行傅里叶变换 分析变换的结果，确定滤波器 进行傅里叶逆变换
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• 逆变换为：
f (x, y) = ∑ ∑ F(u, v)e j2π (ux/N + vy/M)
u =0 v=0 N −1 M −1
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6.1.2 二维离散傅立叶变换（2）
（a） 原始图像 （b）离散傅立叶频谱
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6.1.1 基本概念（2）
• 连续信号的滤波过程
输入 时间域 x(t) 滤波器 h(t) 输出 y(t)=x(t)*h(t)
频率域 X(f)
H(f)
Y(f)=X(f)H(f)
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6.1.1 基本概念（1）
• 傅立叶变换
X
• 傅立叶逆变换
x (t ) = ∫
−∞
( f ) = ∫−∞ x ( t ) e − i 2 π ft dt
+∞
+∞
X ( f ) e i 2π ft df
我们称X(f) 为x(t)的连续频谱，简称为频谱
x (t ) = s (t ) + n (t )
保持或 增强信 号 削弱干 扰
t =−∞
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+∞
6.1.1 基本概念（4）
• 图像 二维空间信息 空间域和频率域的关系
• 空间上的高频率波决定图像的细节 • 空间上的低频率波决定图像的背景和动态 范围
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第六章 图像变换Байду номын сангаас
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概述
• 变换是为达到图像处理某种目的而使用的 数学方法，由于这种变换方法是针对图像 函数而言，所以称之为图像变换
将图像从空间域转换为变换域的过程 将图像从空间域转换为变换域的过程
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变换结果
主成分 P=f(xi),Xi：第i个自变量 对于遥感图像： P=f(Bi) 例如TM的第一主成分: P1=a+a1*b1+a2*b2+a3*b3+..+a7*b7 (a0,a1,..a7可以大于0，也可以小于0)
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1 傅里叶级数
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
连续的数据
周期性时间函数可以看作是多个具有不同相位和周期的正弦和余弦三角函数的合成
low pass
High pass
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变换的性质和特点
• 正交性
– 变换后，各个成分之间不存在相关性
• 变换前后方差总和不变。
– 变换后方差在各个成分之间进行重新分配。如果波段 之间具有很强的相关性，那么，第一主成分将具有最 大的代表性（具有最大的方差比例）
G ( u, v ) = H ( u, v ) ⋅ F ( u, v )
传递函数/滤波器
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6.1.2 二维离散傅立叶变换（1）
• N行M列的图像f(x,y)的二维离散傅立叶变换 为：
1 N −1 M −1 − j2π (ux/N + vy/M) F(u, v) = f (x, y)e ∑ ∑ NM x =0 y =0
6.1.5 频率域图像（2）
• SPOT图像及其频率域图像
原始图像：SPOT图像全色波段
频率域图像
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• 图像中心为原始图像的平均亮度值，频率 为0。从图像中心向外，频率增高。高亮度 表明频率特征明显。此外，频率域图像中 明显的频率变化方向与原始图像中地物分 布方向相垂直。也就是说，如果原始图像 中有多种水平分布的地物，那么频率域图 像中在垂直方向的频率变化比较明显。如 果原始图像中地物左下－右上分布，那么 频率域图像中在左上－右下方向频率变化 比较明显（上图对比），反之亦然。
Y=f(x,y) 空间域：研究对象是空间坐标的函数
Y=f(ω) 频率域：研究对象是频率的函数 或其他域 什么是时间域？
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图像变换的目的
• • • • 简化图像处理 便于图像特征提取 图像压缩 从概念上增强对图像信息的理解